最后更新: 2025-12-26 15:27 查看: 9 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

分圆域

6.6 分圆域

设 $P$ 是一个素域，$n$ 为正整数，多项式 $x^n-1$ 在素域 $P$ 上的分裂域 $E$ 称为 $n$ 次分圆域，本节简单介绍分圆域的性质。

当 $\operatorname{char}(F)=0$ 时，$P=\mathbf{Q}$ 为有理数域；当 $\operatorname{char}(F)=$ 素数 $p$ 时，$P=\mathbf{F}_p$ 为 $p$ 个元素的有限域。当 $\operatorname{char}(F)=p$ 并且 $p \mid n$ 时，$n$ 可写成 $n=p^r n^{\prime},\left(n^{\prime}, p\right)=1$ 。此时 $x^n-1=\left(x^{n^{\prime}}-1\right)^{p^r}$ ，故 $x^n-1$ 和 $x^{n^{\prime}}-1$ 在素域 $\mathbf{F}_p$ 上有相同的分裂域．当 $\operatorname{char}(F)=p$ 时，以下都假定 $(n, p)=1$ 。

因为 $\left(x^n-1\right)^{\prime}=n x^{n-1} \neq 0$ ，它与 $x^n-1$ 互素，故 $x^n-1$ 在分裂域 $E$ 中只有单根．因而 $x^n-1$ 在 $E$ 内有 $n$ 个不同的根，每个根 $\zeta$ 都适合 $\zeta^n=1$ ，称 $\zeta$ 为一个 $n$

次单位根．这 $n$ 个 $n$ 次单位根在 $E$ 中形成一个乘法群，记作 $G$ ，称为 $n$ 次单位根群．根据命题 5．1．2 知，当 $R$ 为整环时，$R^*$ 的任意一个有限子群都是循环群，故 $n$次单位根群 $G$ 是一个循环群．$G$ 的每个生成元叫做 $n$ 次本原单位根．

设 $\zeta$ 为一个本原 $n$ 次单位根，则 $G=\left\{1, \zeta, \zeta^2, \cdots, \zeta^{n-1}\right\}$ ，而且 $\zeta^v$ 为 $n$ 次本原单位根当且仅当 $(v, n)=1$ ．因而 $n$ 次本原单位根有 $\varphi(n)$ 个，其中 $\varphi(n)$ 为欧拉函数．当 $d \mid n$ 且 $d<n$ 时，$n$ 次本原单位根不能是任何 $x^d-1$ 的根．

多项式 $x^n-1$ 的分裂域 $E$ 是由它的全部根在 $P$ 上生成的，由于每个根都可以用某个 $n$ 次本原单位根 $\zeta$ 来表示，故 $E$ 是 $P$ 上的一个单扩张，$E=P(\zeta)$ ．下面确定分圆域的扩张次数和 $\zeta$ 的极小多项式。

对于有理数域 $\mathbf{Q}, n$ 次分圆域满足下面的性质．
定理 6．6．1 设 $n$ 为正整数，$E$ 为 $x^n-1$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域，则分圆域 $E=\mathbf{Q}(\zeta)$ 是一个单扩张，扩张次数 $[E: \mathbf{Q}]=\varphi(n)$ ，其中 $\zeta$ 为 $n$ 次本原单位根，$\zeta$ 的极小多项式为

$$
\Phi_n(x)=\prod_{\substack{1 \leqslant v<n \\(v, n)=1}}\left(x-\zeta^v\right),
$$

称 $\Phi_n(x)$ 为 $n$ 次分圆多项式．
证明 由前面的分析知，$E=\mathbf{Q}(\zeta)$ 为单扩张，其中 $\zeta$ 为 $n$ 次本原单位根．
设 $f(x)$ 为 $\zeta$ 的极小多项式，则 $[E: \mathbf{Q}]=\operatorname{deg} f(x)$ ，可以证明 $\operatorname{deg} f(x)=\varphi(n)$ ．
由于 $f(x) \mid\left(x^n-1\right)$ 但 $f(x) \nmid\left(x^d-1\right)$ ，其中 $d<n$ ，因而 $f(x)$ 的根只能是 $n$次本原单位根．下面再证明每个 $n$ 次本原单位根都是 $f(x)$ 的根．

为此先证明：对于 $f(x)$ 的任一根 $\zeta$ 和与 $n$ 互素的任一素数 $p, \zeta^p$ 也是 $f(x)$的一个根．

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