最后更新: 2025-12-26 15:37 查看: 7 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

伽罗瓦扩张

本节介绍伽罗瓦群、不动域、伽罗瓦扩张等概念，讨论伽罗瓦扩张的性质，并证明有限伽罗瓦扩张就是有限正规可分扩张．

定义 6．7．1 设 $E / F$ 为域扩张．$E$ 的全部 $F$－自同构构成一个群，叫做 $E / F$的伽罗瓦群，记作 $\operatorname{Gal}(E / F)$ ．即有

$$
\operatorname{Gal}(E / F)=\{\sigma \in \operatorname{Aut}(E) \mid \text { 对任意 } a \in F, \sigma(a)=a\} \text {. }
$$

显然， $\operatorname{Gal}(E / F)$ 是 $E$ 的自同构群 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群．
定义6．7．2 设 $E$ 为域，$G$ 为 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群．若 $E$ 的元素 $\alpha$ 满足：对所有 $\sigma \in G$ ，都有 $\sigma(\alpha)=\alpha$ ，则称 $\alpha$ 为 $G$ 的一个不动点．$E$ 中 $G$ 的全部不动点的集合记为 $\operatorname{Inv}(G)$ ．可以证明， $\operatorname{Inv}(G)$ 构成 $E$ 的一个子域（留作习题），叫做 $G$ 的不动域．即有

$$
\operatorname{Inv}(G)=\{\alpha \in E \mid \text { 对任意 } \sigma \in G \text {, 都有 } \sigma(\alpha)=\alpha\} \text {. }
$$

关于伽罗瓦群和不动域，由定义不难得到下列性质。
性质 6．7．1 设 $E$ 为域，$F, F_1, F_2$ 为 $E$ 的子域，$G, G_1, G_2$ 为 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群，则有

（1）若 $F_1 \subseteq F_2$ ，则 $\operatorname{Gal}\left(E / F_2\right) \leqslant \operatorname{Gal}\left(E / F_1\right)$ ；
（2）若 $G_1 \leqslant G_2$ ，则 $\operatorname{Inv}\left(G_2\right) \subseteq \operatorname{Inv}\left(G_1\right)$ ；
（3）$F \subseteq \operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))$ ；
（4）$G \leqslant \operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(G))$ ．
例 6．7．1 设 $E=\mathbf{Q}(\sqrt[3]{2}), F=\mathbf{Q}$ ，则 $\operatorname{Gal}(E / F)=\{e\}$ 是单位群，

$$
\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))=E
$$

解 事实上，对任意 $\eta \in \operatorname{Gal}(E / F), \eta(\sqrt[3]{2})$ 是 $x^3-2$ 的一个根．又 $\eta(\sqrt[3]{2}) \in \mathbf{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathbf{R}$ ，而 $x^3-2$ 的实根只有 $\sqrt[3]{2}$ ，故只有 $\eta(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}$ ，从而 $\eta=e$ 。

例6．7．2 设 $F=\mathbf{F}_p(t)$ 为特征 $p$ 的素域 $\mathbf{F}_p$ 上的有理分式域。令 $g(x)=x^2+ t x+t, f(x)=g\left(x^n\right)$ 。设 $E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域．$f(x)$ 只有两个不同的根，记为 $\alpha, \beta$ ．由于 $g(x)$ 在 $F$ 上不可约，$f(x)$ 在 $F$ 上也不可约．$E$ 只有一个非平凡的 $F$－自同构 $\sigma$ 将 $\alpha$ 变成 $\beta$ ．因而 $\operatorname{Gal}(E / F)=\langle\sigma\rangle$ 是一个二阶群．令 $\alpha+\beta=a$ ， $\alpha \beta=b, F_1=F(a, b)$ ，易见 $a^p=-t, b^p=t$ ．由此可见 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的不动域包含 $F_1$ ．读者不难证明，$F_1$ 就是 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的不动域．

从例 6．7．1 和例 6．7．2 可以看出，当域扩张 $E / F$ 不正规或不可分时， $\operatorname{Gal}(E / F)$的不动域可以大于 $F$ ．下面将会看到，在这些情况下， $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的不动域一定比 $F$ 大。

定义 6．7．3 设 $E$ 是域 $F$ 的扩域，若 $F=\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))$ ，则 $E$ 叫做 $F$ 的一个伽罗瓦扩张，或称 $E$ 在 $F$ 上是伽罗瓦的。

一般来说，设 $F_1$ 为域扩张 $E / F$ 的伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的不动域，则 $E$ 是 $F_1$ 上的伽罗瓦扩张．这是现在流行的伽罗瓦扩张的定义．现在的定义突出了伽罗瓦群的地位和作用，强调了它和基域的关系，但从定义一点也看不出 $E$ 对 $F$ 的次数和伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的阶有什么关系．下面两个引理完全确定了这两者的关系。

引理 6．7．1（阿廷（Artin）引理）设 $G$ 为域 $E$ 的一个有限自同构群，即 $G \leqslant \operatorname{Aut}(E),|G|<\infty, F$ 为它的不动域，则 $[E: F] \leqslant|G|$ ．

证明 设 $|G|=n, G=\left\{\sigma_1=1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n\right\}$ ，并设 $u_1, \cdots, u_{n+1}$ 是 $E$ 中的任意 $n+1$ 个全不为 0 的元素．用 $\sigma_i$ 作用于 $u_j$ 得到一个 $n \times(n+1)$ 的矩阵

$$
\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_1\left(u_1\right) & \sigma_1\left(u_2\right) & \cdots & \sigma_1\left(u_{n+1}\right) \\
\sigma_2\left(u_1\right) & \sigma_2\left(u_2\right) & \cdots & \sigma_2\left(u_{n+1}\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\sigma_n\left(u_1\right) & \sigma_n\left(u_2\right) & \cdots & \sigma_n\left(u_{n+1}\right)
\end{array}\rig

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