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伽罗瓦扩张

本节介绍伽罗瓦群、不动域、伽罗瓦扩张等概念，讨论伽罗瓦扩张的性质，并证明有限伽罗瓦扩张就是有限正规可分扩张．

定义 6．7．1 设 $E / F$ 为域扩张．$E$ 的全部 $F$－自同构构成一个群，叫做 $E / F$的伽罗瓦群，记作 $\operatorname{Gal}(E / F)$ ．即有

$$
\operatorname{Gal}(E / F)=\{\sigma \in \operatorname{Aut}(E) \mid \text { 对任意 } a \in F, \sigma(a)=a\} \text {. }
$$

显然， $\operatorname{Gal}(E / F)$ 是 $E$ 的自同构群 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群．
定义6．7．2 设 $E$ 为域，$G$ 为 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群．若 $E$ 的元素 $\alpha$ 满足：对所有 $\sigma \in G$ ，都有 $\sigma(\alpha)=\alpha$ ，则称 $\alpha$ 为 $G$ 的一个不动点．$E$ 中 $G$ 的全部不动点的集合记为 $\operatorname{Inv}(G)$ ．可以证明， $\operatorname{Inv}(G)$ 构成 $E$ 的一个子域（留作习题），叫做 $G$ 的不动域．即有

$$
\operatorname{Inv}(G)=\{\alpha \in E \mid \text { 对任意 } \sigma \in G \text {, 都有 } \sigma(\alpha)=\alpha\} \text {. }
$$

关于伽罗瓦群和不动域，由定义不难得到下列性质。
性质 6．7．1 设 $E$ 为域，$F, F_1, F_2$ 为 $E$ 的子域，$G, G_1, G_2$ 为 $\operatorname{Aut}(E)$ 的子群，则有

（1）若 $F_1 \subseteq F_2$ ，则 $\operatorname{Gal}\left(E / F_2\right) \leqslant \operatorname{Gal}\left(E / F_1\right)$ ；
（2）若 $G_1 \leqslant G_2$ ，则 $\operatorname{Inv}\left(G_2\right) \subseteq \operatorname{Inv}\left(G_1\right)$ ；
（3）$F \subseteq \operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))$ ；
（4）$G \leqslant \operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(G))$ ．
例 6．7．1 设 $E=\mathbf{Q}(\sqrt[3]{2}), F=\mathbf{Q}$ ，则 $\operatorname{Gal}(E / F)=\{e\}$ 是单位群，

$$
\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))=E
$$

解 事实上，对任意 $\eta \in \operatorname{Gal}(E / F), \eta(\sqrt[3]{2})$ 是 $x^3-2$ 的一个根．又 $\eta(\sqrt[3]{2}) \in \mathbf{Q}(\sqrt[3]{2}) \subseteq \mathbf{R}$ ，而 $x^3-2$ 的实根只有 $\sqrt[3]{2}$ ，故只有 $\eta(\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}$ ，从而 $\eta=e$ 。

例6．7．2 设 $F=\mathbf{F}_p(t)$ 为特征 $p$ 的素域 $\mathbf{F}_p$ 上的有理分式域。令 $g(x)=x^2+ t x+t, f(x)=g\left(x^n\right)$ 。设 $E$ 是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域．$f(x)$ 只有两个不同的根，记为 $\alpha, \beta$ ．由于 $g(x)$ 在 $F$ 上不可约，$f(x)$ 在 $F$ 上也不可约．$E$ 只有一个非平凡的 $F$－自同构 $\sigma$ 将 $\alpha$ 变成 $\beta$ ．因而 $\operatorname{Gal}(E / F)=\langle\sigma\rangle$ 是一个二阶群．令 $\alpha+\beta=a$ ， $\alpha \beta=b, F_1=F(a, b)$ ，易见 $a^p=-t, b^p=t$ ．由此可见 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的不动域包含 $F_1$ ．读者不难证明，$F_1$ 就是 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的不动域．

从例 6．7．1 和例 6．7．2 可以看出，当域扩张 $E / F$ 不正规或不可分时， $\operatorname{Gal}(E / F)$的不动域可以大于 $F$ ．下面将会看到，在这些情况下， $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的不动域一定比 $F$ 大。

定义 6．7．3 设 $E$ 是域 $F$ 的扩域，若 $F=\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))$ ，则 $E$ 叫做 $F$ 的一个伽罗瓦扩张，或称 $E$ 在 $F$ 上是伽罗瓦的。

一般来说，设 $F_1$ 为域扩张 $E / F$ 的伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的不动域，则 $E$ 是 $F_1$ 上的伽罗瓦扩张．这是现在流行的伽罗瓦扩张的定义．现在的定义突出了伽罗瓦群的地位和作用，强调了它和基域的关系，但从定义一点也看不出 $E$ 对 $F$ 的次数和伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(E / F)$ 的阶有什么关系．下面两个引理完全确定了这两者的关系。

引理 6．7．1（阿廷（Artin）引理）设 $G$ 为域 $E$ 的一个有限自同构群，即 $G \leqslant \operatorname{Aut}(E),|G|<\infty, F$ 为它的不动域，则 $[E: F] \leqslant|G|$ ．

证明 设 $|G|=n, G=\left\{\sigma_1=1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n\right\}$ ，并设 $u_1, \cdots, u_{n+1}$ 是 $E$ 中的任意 $n+1$ 个全不为 0 的元素．用 $\sigma_i$ 作用于 $u_j$ 得到一个 $n \times(n+1)$ 的矩阵

$$
\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_1\left(u_1\right) & \sigma_1\left(u_2\right) & \cdots & \sigma_1\left(u_{n+1}\right) \\
\sigma_2\left(u_1\right) & \sigma_2\left(u_2\right) & \cdots & \sigma_2\left(u_{n+1}\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\sigma_n\left(u_1\right) & \sigma_n\left(u_2\right) & \cdots & \sigma_n\left(u_{n+1}\right)
\end{array}\right),
$$

令 $\boldsymbol{v}_i=\left(\sigma_1\left(u_i\right), \sigma_2\left(u_i\right), \cdots, \sigma_n\left(u_i\right)\right), i=1,2, \cdots, n+1$ ，则 $n+1$ 个列向量 $\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_{n+1}$ 在 $E$ 上线性相关，于是存在一个整数 $r, 1 \leqslant r<n+1$ ，使得 $\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_r$线性无关而 $\boldsymbol{v}_1, \cdots, \boldsymbol{v}_{r+1}$ 线性相关．从而 $\boldsymbol{v}_{r+1}$ 可以唯一地表示成

$$
\boldsymbol{v}_{r+1}=\alpha_1 \boldsymbol{v}_1+\cdots+\alpha_r \boldsymbol{v}_r, \quad \alpha_i \in E,
$$

按分量的形式写出就是

$$
\sigma_i\left(u_{r+1}\right)=\alpha_1 \sigma_i\left(u_1\right)+\cdots+\alpha_r \sigma_i\left(u_r\right), \quad i=1, \cdots, n .
$$

用 $\sigma$ 作用于（6．7．2）式可得

$$
\sigma \sigma_i\left(u_{r+1}\right)=\sigma\left(\alpha_1\right) \sigma \sigma_i\left(u_1\right)+\cdots+\sigma\left(\alpha_r\right) \sigma \sigma_i\left(u_r\right), \quad i=1, \cdots, n .
$$

由于 $G$ 是一个群，$\sigma \sigma_1, \cdots, \sigma \sigma_n$ 不过是 $\sigma_1, \cdots, \sigma_n$ 的一个排列，故将（6．7．3）式中等式的次序作适当调整，再恢复向量的写法得
$\boldsymbol{v}_{r+1}=\sigma\left(\alpha_1\right) \boldsymbol{v}_1+\cdots+\sigma\left(\alpha_r\right) \boldsymbol{v}_r$ ，对所有 $\sigma \in G$ ．

与（6．7．1）式比较，由 $\boldsymbol{v}_{r+1}$ 表法的唯一性知，对任意 $\sigma \in G$ ，对任意 $j=1, \cdots, n$ ，有 $\sigma\left(\alpha_j\right)=\alpha_j$ ，从而 $\alpha_j \in \operatorname{Inv}(G)$ 。又因为 $F=\operatorname{Inv}(G)$ ，故 $\alpha_j \in \operatorname{Inv}(G), j=1, \cdots, n$ ．

特别地，在（6．7．2）式中取 $i=1$ 即得

$$
u_{r+1}=\alpha_1 u_1+\cdots+\alpha_r u_r
$$

故 $u_1, \cdots, u_r, u_{r+1}$ 在 $F$ 上线性相关．又因为 $1 \leqslant r<n+1$ ，故 $u_1, \cdots, u_n, u_{n+1}$在 $F$ 上也线性相关，从而 $[E: F] \leqslant n$ ．

引理 6．7．2 设 $\sigma_1, \cdots, \sigma_n$ 是域 $K$ 到 $E$ 的 $n$ 个不同的单同态，则 $\sigma_1, \cdots, \sigma_n$在 $E$ 上线性无关．也就是说，如果存在一个线性组合 $f(\alpha)=a_1 \sigma_1(\alpha)+\cdots+ a_r \sigma_r(\alpha), a_1, \cdots, a_r \in E$ ，使得对任意 $\alpha \in K$ ，都有 $f(\alpha)=0$ ，那么 $a_1=\cdots= a_r=0$ ．

证明 对同态的个数 $n$ 作归纳法．
当 $n=1$ 时，若对任意 $\alpha \in K$ ，都有 $a \sigma_1(\alpha)=0$ ，则有 $a \sigma_1(0)=a \sigma_1(1)=0$ ，于是

$$
a\left(\sigma_1(0)-\sigma_1(1)\right)=0
$$

因为 $\sigma_1$ 为单同态，$\sigma_1(0) \neq \sigma_1(1)$ ，即 $\sigma_1(0)-\sigma_1(1) \neq 0$ ，故有 $a=0$ ．
下面设结论对 $n-1$ 个 $\sigma$ 成立，其中 $n>1$ ．并设对任意 $\alpha \in K$ ，有

$$
a_1 \sigma_1(\alpha)+a_2 \sigma_2(\alpha)+\cdots+a_n \sigma_n(\alpha)=0
$$

若存在某个 $a_j=0$ ，则有

$$
a_1 \sigma_1(\alpha)+\cdots+a_{j-1} \sigma_{j-1}(\alpha)+a_{j+1} \sigma_{j+1}(\alpha)+\cdots+a_n \sigma_n(\alpha)=0
$$

由归纳假设知 $a_1=\cdots=a_{j-1}=a_{j+1}=\cdots=a_n=0$ ，结论得证。
若对任意 $i$ ，有 $a_i \neq 0$ ．由于 $\sigma_1, \sigma_2$ 为不同的同态，故存在 $\beta \in K$ 使得 $\sigma_1(\beta)=\sigma_2(\beta)$ 。一方面，由（6．7．4）式有

$$
\begin{aligned}
0 & =a_1 \sigma_1(\beta \alpha)+a_2 \sigma_2(\beta \alpha)+\cdots+a_n \sigma_n(\beta \alpha) \\
& =a_1 \sigma_1(\beta) \sigma_1(\alpha)+a_2 \sigma_2(\beta) \sigma_2(\alpha)+\cdots+a_n \sigma_n(\beta) \sigma_n(\alpha)
\end{aligned}
$$

另一方面，在（6．7．4）式两边同乘 $\sigma_1(\beta)$ 得

$$
a_1 \sigma_1(\beta) \sigma_1(\alpha)+a_2 \sigma_1(\beta) \sigma_2(\alpha)+\cdots+a_n \sigma_1(\beta) \sigma_n(\alpha)=0
$$

两式相减后得到

$$
a_2\left(\sigma_2(\beta)-\sigma_1(\beta)\right) \sigma_2(\alpha)+\cdots+a_n\left(\sigma_n(\beta)-\sigma_1(\beta)\right) \sigma_n(\alpha)=0
$$

因为 $a_2\left(\sigma_2(\beta)-\sigma_1(\beta)\right) \neq 0$ ，这与归纳假设 $\sigma_2, \cdots, \sigma_n$ 在 $E$ 上线性无关矛盾．故只有

$$
a_1=a_2=\cdots=a_n=0 .
$$

综上知，结论对任意正整数 $n$ 都成立．
推论 6．7．1 设 $E$ 是域，$G=\left\{\sigma_1, \cdots, \sigma_r\right\}$ 是 $\operatorname{Aut}(E)$ 的一个 $r$ 阶子群， $F=\operatorname{Inv}(G)$ ，则

$$
[E: F] \geqslant r .
$$

证明 若 $[E: F]=\infty$ ，则结论显然成立．下设 $[E: F]=n<\infty$ ．任取 $\sigma \in G$ ，由于 $F=\operatorname{Inv}(G), \sigma$ 保持 $F$ 中元素不动，故对任意 $\alpha, \beta \in E, c \in F$ ，有

$$
\begin{gathered}
\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \\
\sigma(c \alpha)=\sigma(c) \sigma(\alpha)=c \sigma(\alpha),
\end{gathered}
$$

故 $\sigma$ 是 $F$ 上线性空间 $E$ 的线性变换．对任意 $\alpha_1, \cdots, \alpha_r \in E, x \in E$ ，令

$$
\left(\alpha_1 \sigma_1+\cdots+\alpha_r \sigma_r\right)(x)=\alpha_1 \sigma_1(x)+\cdots+\alpha_r \sigma_r(x)
$$

则 $\alpha_1 \sigma_1+\cdots+\alpha_r \sigma_r$ 仍为 $F$ 上线性空间 $E$ 的线性变换．

由引理 6．7．2 知，$\alpha_1 \sigma_1+\cdots \alpha_r \sigma_r$ 为零变换当且仅当 $\alpha_i$ 全为零．另一方面， $E / F$ 的一个线性变换为零当且仅当它把 $E / F$ 的一组基 $u_1, \cdots, u_n$ 的每个 $u_j$ 变成零．联立这二者可知，$\alpha_i$ 全为零当且仅当对任意 $j, 1 \leqslant j \leqslant n$ ，有

$$
\left(\alpha_1 \sigma_1+\cdots+\alpha_r \sigma_r\right)\left(u_j\right)=0
$$

即 $\alpha_1 \sigma_1\left(u_j\right)+\alpha_2 \sigma_2\left(u_j\right)+\cdots+\alpha_r \sigma_r\left(u_j\right)=0$ ．这说明 $E^{(n)}$ 中下列 $r$ 个向量

$$
\begin{gathered}
\left(\sigma_1\left(u_1\right), \sigma_1\left(u_2\right), \cdots, \sigma_1\left(u_n\right)\right) \\
\left(\sigma_2\left(u_1\right), \sigma_2\left(u_2\right), \cdots, \sigma_2\left(u_n\right)\right) \\
\cdots \cdots \\
\left(\sigma_r\left(u_1\right), \sigma_r\left(u_2\right), \cdots, \sigma_r\left(u_n\right)\right)
\end{gathered}
$$

在 $E$ 上线性无关，故 $r \leqslant n$ ．
由引理6．7．1及推论6．7．1我们即得如下结论。
推论 6．7．2 设 $E$ 是任一域，$G$ 是 $\operatorname{Aut}(E)$ 的一个 $n$ 阶子群，则

$$
[E: \operatorname{Inv}(G)]=n .
$$

定理 6．7．1（1）若 $E$ 是 $F$ 的有限伽罗瓦扩张，则 $|\operatorname{Gal}(E / F)|=[E: F]$ ．
（2）设 $G$ 是 $\operatorname{Aut}(E)$ 的一个有限子群，$F=\operatorname{Inv}(G)$ ，则 $E / F$ 是有限伽罗瓦扩张，且

$$
G=\operatorname{Gal}(E / F)
$$

（3）设 $E$ 是 $F$ 的有限扩张，若存在子群 $G \leqslant \operatorname{Gal}(E / F)$ 使得 $|G|=[E: F]$ ，则 $E$ 是 $F$ 的伽罗瓦扩张且 $G=\operatorname{Gal}(E / F)$ 。

证明（1）因为 $E$ 是 $F$ 的有限伽罗瓦扩张，故 $F=\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))$ ．令 $G=\operatorname{Gal}(E / F)$ ，由推论 6．7．2 可得 $|\operatorname{Gal}(E / F)|=[E: F]$ 。
（2）一方面，由定义知 $F \subseteq \operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))$ ．另一方面，由于 $G \leqslant \operatorname{Gal}(E / F)$ ，故由性质 6．7．1 的结论（2）有 $\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F)) \subseteq \operatorname{Inv}(G)=F$ ，故 $F=\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F)$ ），从而 $E / F$ 是一个伽罗瓦扩张．

对于 $\operatorname{Aut}(E)$ 的有限子群 $G$ ，由推论 6．7．2 知，$[E: F]=[E: \operatorname{Inv}(G)]=|G|$ ，故 $E / F$ 是一个有限伽罗瓦扩张．再由结论（1）知，此时有 $|\operatorname{Gal}(E / F)|=[E: F]$ ．又因为 $G \leqslant \operatorname{Gal}(E / F)$ ，故有 $G=\operatorname{Gal}(E / F)$ ．
（3）设 $F_1=\operatorname{Inv}(G)$ ，求证 $F_1=F$ ．由结论（2）知，$E$ 是 $F_1$ 上的有限伽罗瓦扩张，且 $G=\operatorname{Gal}\left(E / F_1\right)$ 。再由结论（1）知，$|G|=\left|\operatorname{Gal}\left(E / F_1\right)\right|=\left[E: F_1\right]$ ．又因为 $|G|=[E: F]$ ，且由定义知 $F \subseteq \operatorname{Inv}(G)=F_1$ ，故 $F=F_1$ ．

因此，$E$ 是 $F$ 上的有限伽罗瓦扩张，且 $G=\operatorname{Gal}(E / F)$ ．

下面给出伽罗瓦扩张的几个等价条件．我们先证明域 $F$ 上可分多项式的分裂域还是 $F$ 上的伽罗瓦扩张，即有

定理 6．7．2 设 $E$ 是 $F[x]$ 中一个可分多项式的分裂域，则
（1）$|\operatorname{Gal}(E / F)|=[E: F]$ ；
（2）$F=\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))$ ，即 $E$ 是 $F$ 的伽罗瓦扩张．
证明（1）不妨设 $E$ 是 $F[x]$ 中可分多项式 $f(x)$ 的分裂域，则由定理 6．5．4知，$E$ 是 $F$ 上的可分扩张，且由可分正规扩张的性质知，$|\operatorname{Gal}(E / F)|=[E: F]$ ．
（2）设 $G=\operatorname{Gal}(E / F), F_1=\operatorname{Inv}(G)$ ，则 $F \subseteq \operatorname{Inv}(G)=F_1$ ，于是有

$$
\operatorname{Gal}\left(E / F_1\right) \leqslant \operatorname{Gal}(E / F)=G,
$$

另一方面，由性质 6．7．1 的结论（4）知，$G \leqslant \operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(G))$ ，即

$$
\operatorname{Gal}(E / F) \leqslant \operatorname{Gal}\left(E / F_1\right),
$$

故有 $\operatorname{Gal}\left(E / F_1\right)=\operatorname{Gal}(E / F)=G$ ．
因为 $E$ 也是 $f(x)$ 在 $F_1$ 上的分裂域，故由结论（1）知，$\left|\operatorname{Gal}\left(E / F_1\right)\right|=\left[E: F_1\right]$ ，且 $|\operatorname{Gal}(E / F)|=[E: F]$ ．又因为 $F \subseteq F_1 \subseteq E$ ，故 $\left[F_1: F\right]=1$ ，从而 $F= F_1=\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / F))$ ．因此 $E$ 是 $F$ 的伽罗瓦扩张．

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