最后更新: 2025-12-26 15:40 查看: 34 次纠错评论(0) 课件开VIP

伽罗瓦扩张2

定理 6．7．3 设 $E$ 是域 $F$ 的扩域，那么以下三个条件等价．
（1）$E$ 是某个可分多项式在 $F$ 上的分裂域．
（2）$E$ 是 $F$ 的有限伽罗瓦扩张．
（3）$E$ 是 $F$ 的有限可分正规扩张．
证明 由定理 6．7．2 知，若（1）成立，则（2）成立；再由定理 6．4．4 知，若（3）成立，则（1）成立．下面只要证明若（2）成立，则（3）成立．

设 $E$ 是 $F$ 的有限伽罗瓦扩张，并令 $G=\operatorname{Gal}(E / F)$ ，则 $F=\operatorname{Inv}(G)$ ，且 $|G|=[E: F]<\infty$ ．因为 $E / F$ 是有限扩张，当然也是代数扩张．任取 $\alpha \in E$ ，并设 $f(x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式．要证 $E / F$ 为正规可分扩张，只需要证明 $f(x)$ 在 $E[x]$ 中完全分解为一次因式的乘积．

注意到对任意 $\sigma \in G$ ，有 $f(\sigma(\alpha))=\sigma(f(\alpha))=0$ ，故有 $(x-\sigma(\alpha)) \mid f(x)$ ．令

$$
\Omega=\{\sigma(\alpha) \mid \sigma \in G\}=\left\{\alpha_1=\alpha, \alpha_2, \cdots, \alpha_r\right\}, \quad 1 \leqslant r \leqslant n,
$$

其中 $\alpha_i$ 两两不同．记 $g(x)=\prod_{i=1}^r\left(x-\alpha_i\right)$ ，则在 $E[x]$ 上有 $g(x) \mid f(x)$ ．下面证明 $g(x)$ 就是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式．

事实上，对任意 $\tau \in G$ ，有

$$
\tau(g(x))=\prod_{i=1}^r\left(x-\tau\left(\alpha_i\right)\right) .
$$

由于 $G$ 为群，$G=\tau G=\{\tau \sigma \mid \sigma \in G\}$ ，故

$$
\left\{\tau\left(\alpha_1\right), \tau\left(\alpha_2\right), \cdots, \tau\left(\alpha_r\right)\right\}=\{\tau \sigma(\alpha) \mid \sigma \in G\}=\Omega,
$$

于是有

$$
\tau(g(x))=\prod_{i=1}^r\left(x-\tau\left(\alpha_i\right)\right)=\prod_{i=1}^r\left(x-\alpha_i\right)=g(x),
$$

这说明 $g(x)$ 展开后的系数在 $G$ 的任意元素作用下保持不动，所以 $g(x)$ 的系数都属于 $F=\operatorname{Inv}(G)$ ，即 $g(x) \in F[x]$ ．由前面的分析知，在 $E[x]$ 上有 $g(x) \mid f(x)$ ，而 $f(x), g(x) \in F[x]$ ，故在 $F[x]$ 上也有 $g(x) \mid f(x)$ ．又因为 $f(x)$ 在 $F[x]$ 上不可约，所以 $g(x)=f(x)$ 为 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式．

综上可知，任何在 $E$ 中有根的不可约多项式在 $E$ 上都能完全分解成互不相同的一次因子的乘积．故 $E$ 是 $F$ 的可分正规扩域．

利用正规扩张和可分扩张的性质，由定理6．7．3容易得到下列结论（自证）．
推论 6．7．3 设 $E$ 是域 $F$ 的有限伽罗瓦扩张，$F \subseteq K \subseteq E$ ，令 $G=\operatorname{Gal}(E / F)$ ， $H=\operatorname{Gal}(E / K)$ ，则 $K=\operatorname{Inv}(H)$ ，即 $E$ 是 $K$ 的伽罗瓦扩张．

由定理 6．7．3，在处理具体问题的时候，视情况可以把一个有限的伽罗瓦扩张看作一个可分多项式的分裂域或一个可分正规扩张，从而使问题比较容易处理．下面利用定理 6．7．3 分析复合域的扩张性质．

设在基域 $F$ 上给定三个代数扩张 $E / F, K / F$ 和 $L / F$ ，又设有两个 $F$－嵌入 $\sigma: E \rightarrow L$ 和 $\tau: K \rightarrow L$ 。那么 $L$ 中同时包含 $\sigma(E)$ 和 $\tau(K)$ 的所有子域的交叫做 $E$ 和 $K$ 的一个复合域，记作 $\sigma(E) \cdot \tau(K)$ 。 一般来说，$E$ 和 $K$ 的复合域与嵌入的方式有关，当嵌入不同时得到的复合域可能不是 $F$－同构的．然而，当 $E$ 是 $F$ 上一个有限正规扩张时，则 $E$ 和 $K$ 的复合域与嵌入的方式无关，就是说不论如何嵌入，它们总是 $F$－同构的．

这是因为，设 $E / F$ 是一个有限正规扩张，则 $E$ 是 $F$ 上一个多项式 $f(x)$ 的分裂域。在 $F$－嵌入 $\sigma$ 作用下 $f(x)$ 不变，$\sigma(E)$ 仍然是 $f(x)$ 在 $F$ 上的分裂域。设。 $\sigma(E)=F\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right), f(x)$ 在 $\sigma(E)$ 内有分解 $f(x)=\left(x-\alpha_1\right) \cdots\left(x-\alpha_n\right)$ ．显然有

$$
\sigma(E) \subseteq \tau(K)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \subseteq \sigma(E) \cdot \tau(K)
$$

又 $\tau(K) \subseteq \tau(K)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ ．根据 $\sigma(E) \cdot \tau(K)$ 的定义有

$$
\sigma(E) \cdot \tau(K) \subseteq \tau(K)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)
$$

所以 $\sigma(E) \cdot \tau(K)=\tau(K)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \cdot \tau(K)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right)$ 是 $F$ 上的多项式 $f(x)$ 在 $\tau(K)$ 上的分裂域．根据引理 6．4．2，对不同的两对 $F$－嵌入 $\sigma_i: E \rightarrow L$ 和 $\tau_i: K \rightarrow L, i=1,2$ ，总是有

$$
\tau_1(K)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right) \cong \tau_2(K)\left(\alpha_1, \cdots, \alpha_n\right),
$$

即

$$
\sigma_1(E) \cdot \tau_1(K) \cong \sigma_2(E) \cdot \tau_2(K)
$$

因此，有限正规扩张和任意扩张 $K / F$ 的复合域 $\sigma(E) \cdot \tau(K)$ 与 $F$－嵌入 $\sigma, \tau$ 无关，由 $E / F$ 和 $K / F$ 唯一决定．以后 $\sigma(E) \cdot \tau(K)$ 简记作 $E \cdot K$ ．

根据定理 6．7．3，这个结论可表述成：若 $E / F$ 是 $F$ 上的多项式 $f(x)$ 的分裂域，$K / F$ 为任意扩张，则 $E / F$ 和 $K / F$ 的复合域和 $f(x)$ 在 $K$ 上的分裂域同构．进而可以得到

定理 6．7．4 设 $E / F$ 为一个有限的伽罗瓦扩张，$K / F$ 为任意域的扩张，则复合域 $E \cdot K$ 是 $K$ 上的伽罗瓦扩张且有

$$
\operatorname{Gal}(E \cdot K / K) \cong \operatorname{Gal}(E / E \cap K),
$$

而且这个同构可由映射 $\sigma \mapsto \bar{\sigma}=\left.\sigma\right|_E, \sigma \in \operatorname{Gal}(E \cdot K / K)$ 来实现．
证明 先证明 $\psi: \sigma \rightarrow \bar{\sigma}$ 为群同态．根据定理 6．7．3 和上面的讨论，$E / F$是 $F$ 上的一个可分多项式 $f(x)$ 的分裂域．因而 $E \cdot K$ 是 $K$ 上的伽罗瓦扩张．令 $K_1=E \cap K$ ．对于 $\sigma \in \operatorname{Gal}(E \cdot K / K), \sigma$ 保持 $K$ 的元素不变，当然也保持 $K_1=E \cap K$ 的元素不变，而且 $\sigma$ 保持 $f(x)$ 的根集合变到自身，因而 $\sigma$保持 $E$ 变到自身．所以 $\sigma$ 在 $E$ 上诱导出 $E$ 的一个 $K_1$－自同构 $\bar{\sigma}=\left.\sigma\right|_E$ 。对 $\sigma, \tau \in \operatorname{Gal}(E \cdot K / K)$ ，显然有 $\bar{\sigma} \cdot \bar{\tau}=\overline{\sigma \tau}$ 。因而映射 $\sigma \mapsto \bar{\sigma}$ 是 $\operatorname{Gal}(E \cdot K / K)$ 到 $\operatorname{Gal}(E / E \cap K)$ 的一个同态．

再证明映射 $\psi$ 是单射．若 $\bar{\sigma}=1$ ，则 $\bar{\sigma}$ 保持 $f(x)$ 的每个根不动又保持 $K$的元素不动，当然 $\sigma$ 保持 $f(x)$ 在 $K$ 上的分裂域，即 $E \cdot K$ 的元素不动，因而 $\sigma=1$ ．

最后证明映射 $\psi$ 是满射．这只需要证明 $|\operatorname{Gal}(E \cdot K / K)|=|\operatorname{Gal}(E / E \cap K)|$ ．由于 $E \cdot K / K$ 和 $E / K_1$ 有限可分，根据定理 6．5．6，$E$ 可表成 $K_1$ 上的单扩张，即有 $E=K_1(\theta)$ 。设 $g(x)$ 为 $\theta$ 在 $K_1$ 上的极小多项式，则 $\left[E: K_1\right]=\operatorname{deg} g(x)$ 。由于 $E / K_1$ 正规，$g(x)$ 的全部根 $\theta_1=\theta, \theta_2, \cdots, \theta_r$ 全在 $E$ 中．另一方面 $K(\theta)$ 既包含 $K$ 又包含 $E=K_1(\theta)$ ，因而 $K(\theta)$ 包含 $K$ 与 $E$ 的复合域 $E \cdot K$ ，所以 $E \cdot K=K(\theta)$ ．求证 $g(x)$ 也是 $\theta$ 在 $K$ 上的极小多项式．这只需证明 $g(x)$ 在 $K$ 上不可约．假设 $g(x)=\psi(x) \varphi(x)$ 为在 $K$ 中的任一分解，$\psi(x)$ 和 $\varphi(x)$ 的首项系数为 $1, \psi(x)$ 和 $\varphi(x)$ 的系数都是 $\theta, \theta_2, \cdots, \theta_r$ 的多项式，系数为 $\pm 1$ ，因而 $\psi(x)$ 和 $\varphi(x)$ 的系数全属于 $E$ ，从而它们的系数全属于 $K_1=E \cap K$ 。那么 $g(x)=\psi(x) \varphi(x)$ 是 $K_1$ 内的一个分解．由 $g(x)$ 在 $K_1$ 上的不可约性，从而推出 $\psi(x)=1$ 或 $\varphi(x)=1$ ．所以 $g(x)$在 $K$ 上也不可约．由此可知 $[E \cdot K: K]=\operatorname{deg} g(x)$ ．总之 $[E \cdot K: K]=\left[E: K_1\right]$ ．

综合起来，映射 $\sigma \mapsto \bar{\sigma}$ 是 $\operatorname{Gal}(E \cdot K / K)$ 到 $\operatorname{Gal}(E / E \cap K)$ 的一个同构．

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：伽罗瓦扩张

下一篇：伽罗瓦基本定理

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)