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伽罗瓦基本定理

利用 6.7 节介绍的伽罗瓦扩张的性质，可以给出如下伽罗瓦扩张中伽罗瓦群
的子群和中间域间的对应关系.
定理 6．8．1（伽罗瓦基本定理）设 $E$ 是 $F$ 的有限伽罗瓦扩张，$G=\operatorname{Gal}(E / F)$ ，并设

$$
\Gamma=\{H \mid H \leqslant G\}, \quad \Sigma=\{K \mid F \subseteq K \subseteq E\},
$$

则有
（1）$\varphi: H \mapsto \operatorname{Inv}(H)$ 是 $\Gamma$ 到 $\Sigma$ 的双射，$\psi: K \mapsto \operatorname{Gal}(E / K)$ 是 $\Sigma$ 到 $\Gamma$ 的双射，且它们互为逆映射，即有

$$
\operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(H))=H, \quad \operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / K))=K ;
$$

（2）$H_1 \leqslant H_2$ 当且仅当 $\operatorname{Inv}\left(H_2\right) \subseteq \operatorname{Inv}\left(H_1\right)$ ；
（3）$|H|=\left[E: \operatorname{Inv}\left(H_2\right)\right],[G: H]=[\operatorname{Inv}(H): F]$ ；
（4）若子群 $H$ 对应于中间域 $K$ ，则 $H$ 的共轭子群 $\sigma \tau H \sigma^{-1}$ 对应于 $K$ 的共轭子域 $\sigma(K), \sigma \in G$ ；
（5）若子群 $H$ 对应于中间域 $K$ ，则 $H$ 在 $G$ 中正规当且仅当 $\operatorname{Inv}(H)$ 在 $F$上是伽罗瓦的（正规的），此时将 $G$ 限制到 $K$ 上就得到 $K / F$ 的伽罗瓦群，即 $\operatorname{Gal}(K / F) \cong G / H$ ．

证明（1）先证 $\varphi$ 是 $\Gamma$ 到 $\Sigma$ 的双射．
设 $H \leqslant G$ ，则由性质 6．7．1 的结论（2）和（3）知，$F \subseteq \operatorname{Inv}(G) \subseteq \operatorname{Inv}(H) \subseteq E$ ，故 $\varphi$ 是映射．

今设 $F \subseteq K \subseteq E$ ，并令 $H=\operatorname{Gal}(E / K)$ ，则由定义知 $H \leqslant G$ ，故 $\varphi$ 是满射．
另一方面，如果 $\operatorname{Inv}\left(H_1\right)=\operatorname{Inv}\left(H_2\right)$ ，由定理 6．7．1 的结论（2）知，

$$
H_1=\operatorname{Gal}\left(E / \operatorname{Inv}\left(H_1\right)\right), \quad H_2=\operatorname{Gal}\left(E / \operatorname{Inv}\left(H_2\right)\right),
$$

故有 $H_1=H_2$ ，从而 $\varphi$ 是单射．综上知 $\varphi$ 是双射．
接着证 $\psi$ 是 $\Sigma$ 到 $\Gamma$ 的双射．
设 $F \subseteq K \subseteq E$ ，则 $\operatorname{Gal}(E / K) \leqslant \operatorname{Gal}(E / F)=G$ ，故 $\psi$ 是映射．
设 $H \leqslant G$ ，并令 $K=\operatorname{Inv}(H)$ ，显然 $F \subseteq K \subseteq E$ ，故 $\psi$ 是满射．此外，由定理 6．6．1的结论（2）知，$E / K$ 是伽罗瓦扩张，且 $H=\operatorname{Gal}(E / K)=\operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(H))$ ．

如果 $\left.\operatorname{Gal}\left(E / K_1\right)\right)=\operatorname{Gal}\left(E / K_2\right)$ ，由推论 6．6．3 知 $E / K_1$ 和 $E / K_2$ 都是伽罗瓦扩张，故有 $K_1=\operatorname{Inv}\left(\operatorname{Gal}\left(E / K_1\right)\right)=\operatorname{Inv}\left(\operatorname{Gal}\left(E / K_2\right)\right)=K_2$ ，故 $\psi$ 是单射．综上知 $\psi$ 是双射。

再证 $\operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(H))=H, \operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / K))=K$.
设 $H$ 是 $G$ 的任一子群，则由定理6．7．1的结论（2）知，$E$ 是 $\operatorname{Inv}(H)$ 的伽罗瓦扩张，并且

$$
H=\operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(H)) .
$$

反之，设 $K$ 是域扩张 $E / F$ 的任一中间域，则由推论 6．7．3 知，$E$ 是 $K$ 的伽罗瓦扩张，故

$$
K=\operatorname{Inv}(\operatorname{Gal}(E / K)) .
$$

（2）若 $H_1 \leqslant H_2$ ，则由性质 6．7．1 的结论（1）知， $\operatorname{Inv}\left(H_2\right) \subseteq \operatorname{Inv}\left(H_1\right)$ ．反之，若 $\operatorname{Inv}\left(H_2\right) \subseteq \operatorname{Inv}\left(H_1\right)$ ，由于 $E / \operatorname{Inv}\left(H_i\right)$ 是伽罗瓦扩张，故有

$$
H_1=\operatorname{Gal}\left(E / \operatorname{Inv}\left(H_1\right)\right) \leqslant \operatorname{Gal}\left(E / \operatorname{Inv}\left(H_1\right)\right)=H_2 .
$$

因此结论（2）成立。
（3）由定理 6．7．1 的结论（2）知，$E / \operatorname{Inv}(H)$ 是伽罗瓦扩张，且

$$
H=\operatorname{Gal}(E / \operatorname{Inv}(H)), \quad|H|=[E: \operatorname{Inv}(H)],
$$

又因为 $E / F$ 是伽罗瓦扩张，$G=\operatorname{Gal}(E / F),|G|=[E: F]$ ．由于

$$
|G|=|H| \cdot[G: H], \quad[E: F]=[E: \operatorname{Inv}(H)][\operatorname{Inv}(H): F],
$$

故有

$$
[G: H]=[\operatorname{Inv}(H): F],
$$

因此结论（3）成立．

（4）若子群 $H$ 对应于中间域 $K$ ，任取 $\sigma \in G$ ，要证 $H$ 的共轭子群 $\sigma H \sigma^{-1}$ 对应于 $K$ 的共轭子域 $\sigma(K)$ ，即要证 $\operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right)=\sigma(K)=\sigma(\operatorname{Inv}(H))$ ．

事实上，任取 $x \in \operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right)$ ，则对任意 $\tau \in H$ ，有

$$
\sigma \tau \sigma^{-1}(x)=x, \quad \text { 即 } \tau \sigma^{-1}(x)=\sigma^{-1}(x),
$$

也即 $\sigma^{-1}(x) \in \operatorname{Inv}(H)$ ，故 $x \in \sigma(\operatorname{Inv}(H))$ ，从而 $\operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right) \subseteq \sigma(\operatorname{Inv}(H))$ ．
反之，任取 $y \in \sigma(\operatorname{Inv}(H))$ ，则存在 $\alpha \in \operatorname{Inv}(H)$ ，使得 $y=\sigma(\alpha)$ ，于是
对任意 $\tau \in H$ ，有 $y=\sigma(\tau(\alpha))=\sigma \tau \sigma^{-1}(\sigma(\alpha))=\sigma \tau \sigma^{-1}(y)$ ，故有 $y \in \operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right)$ ，从而 $\sigma(\operatorname{Inv}(H)) \subseteq \operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right)$ ．

综上知， $\operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right)=\sigma(\operatorname{Inv}(H))$ ．
（5）设子群 $H$ 与中间域 $K$ 对应，即 $K=\operatorname{Inv}(H), H=\operatorname{Gal}(E / K)$ ．
若 $H$ 在 $G$ 中正规，则对任意 $\sigma \in G$ ，有 $\sigma H \sigma^{-1}=H$ ．于是由结论（4）知，

$$
\sigma(K)=\operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right)=\operatorname{Inv}(H)=K
$$

这说明 $\sigma$ 在 $K$ 上的限制 $\bar{\sigma}=\left.\sigma\right|_K \in \operatorname{Gal}(K / F)$ 。显然，$\overline{\sigma \tau}=\bar{\sigma} \cdot \bar{\tau}$ ，于是映射 $\psi: \sigma \mapsto \bar{\sigma}$ 是群 $G=\operatorname{Gal}(E / F)$ 到 $\operatorname{Gal}(K / F)$ 的同态，且同态核

$$
\operatorname{Ker}(\psi)=\left\{\sigma \in G|\sigma|_K=1_K\right\}=\operatorname{Gal}(E / K)=H
$$

由此诱导出 $G / H$ 到 $\operatorname{Gal}(K / F)$ 的单同态，从而 $|G / H| \leqslant|\operatorname{Gal}(K / F)|$ ．
另一方面，由结论（3）知，$[G: H]=[K: F]$ ．又由推论 6．6．1 知，$|\operatorname{Gal}(K / F)| \leqslant [K: F]$ ，故有 $|G / H|=[G: H]=[K: F]=|\operatorname{Gal}(K / F)|$ ，从而上述同态为同构．即有

$$
\operatorname{Gal}(K / F) \cong G / H
$$

由于 $[K: F]=|\operatorname{Gal}(K / F)|$ ，故由定理6．7．1的结论（3）知，$K$ 在 $F$ 上是伽罗瓦的．
反之，设 $K$ 是 $F$ 上的伽罗瓦扩张，任取 $\alpha \in K$ ，并设 $f(x)$ 是 $\alpha$ 在 $F$ 上的极小多项式，那么在 $K[x]$ 中有

$$
f(x)=\left(x-\alpha_1\right)\left(x-\alpha_2\right) \cdots\left(x-\alpha_m\right) \text {, 其中 } \alpha_1=\alpha \text {. }
$$

因为对任意 $\sigma \in G$ ，有 $f(\sigma(\alpha))=\sigma(f(\alpha))=0$ ，故存在正整数 $i$ ，使得 $\sigma(\alpha)=\alpha_i$ ，从而 $\sigma(\alpha) \in K$ ．这就证明了 $\sigma(K) \subseteq K$ ．

另一方面，由结论（4）知，$\sigma(K)=\operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right)$ ，又因为 $K=\operatorname{Inv}(H)$ ，故有

$$
\operatorname{Inv}\left(\sigma H \sigma^{-1}\right) \subseteq \operatorname{Inv}(H)
$$

于是由结论（2）知，对任意 $\sigma \in G$ ，有 $H \leqslant \sigma H \sigma^{-1}$ ，故 $H$ 是 $G$ 的正规子群．
下面举一些伽罗瓦扩张的例子，并给出相应的伽罗瓦群的子群和中间域。
例6．8．1 设 $E=\mathbf{Q}(\sqrt[4]{2}, \mathrm{i}), \mathrm{i}=\sqrt{-1}$ ．求 $\operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q})$ 的所有子群及其相对应的不动子域。

解 令 $\alpha=\sqrt[4]{2}$ ，则 $\mathbf{Q} \subseteq \mathbf{Q}(\alpha) \subseteq \mathbf{Q}(\alpha, \mathrm{i})$ ．因为 $x^4-2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上不可约，且 $\alpha^4-2=0$ ，故 $[\mathbf{Q}(\alpha): \mathbf{Q}]=4$ ．又因为 $x^2+1$ 在 $\mathbf{Q}(\alpha)$ 上不可约且 $\mathrm{i}^2+1=0$ ，故 $[\mathbf{Q}(\alpha, \mathrm{i}): \mathbf{Q}(\alpha)]=2$ ．故 $[E: \mathbf{Q}]=[E: \mathbf{Q}(\alpha)] \cdot[\mathbf{Q}(\alpha): \mathbf{Q}]=2 \times 4=8$ ．

注意到 $E$ 是可分多项式 $x^4-2$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域，$\pm \alpha, \pm \alpha \mathrm{i}$ 是多项式 $x^4-2$的四个根，故由定理 6．7．1 知，$|\operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q})|=[E: \mathbf{Q}]=8$ ．

因为 $1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3$ 是 $\mathbf{Q}(\alpha)$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的一组基， $1, \mathrm{i}$ 是 $E$ 在 $\mathbf{Q}(\alpha)$ 上的一组基，所以 $1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \mathrm{i}, \alpha \mathrm{i}, \alpha^2 \mathrm{i}, \alpha^3 \mathrm{i}$ 是 $E$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的一组基．故对任意 $\sigma \in \operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q})$ ， $\sigma$ 由 $\sigma(\alpha), \sigma(\mathrm{i})$ 完全确定．因为 $\sigma(\alpha)$ 仍为 $x^4-2$ 的根，$\sigma(\mathrm{i})$ 仍为 $x^2+1$ 的根，故有

$$
\sigma(\alpha)= \pm \alpha, \pm \alpha \mathrm{i}, \quad \sigma(\mathrm{i})= \pm \mathrm{i} .
$$

搭配之，我们有 $\operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q})=\left\{\eta_1, \eta_2, \cdots, \eta_8\left|\eta_i\right|_{\mathbf{Q}}=1_{\mathbf{Q}}\right\}$ ，其中

![图片](/uploads/2025-12/a93486.jpg)
 
 
 $\operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q})$ 有一个 1 阶子群 $G_1=\{1\}, 1$ 个 8 阶子群 $G_8=\operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q}), 5$ 个 2 阶子群：

$$
\begin{array}{lll}
G_{2,1}=\left\{1, \eta_2\right\}, & G_{2,2}=\left\{1, \eta_5\right\}, & G_{2,3}=\left\{1, \eta_7\right\} \\
G_{2,4}=\left\{1, \eta_6\right\}, & G_{2,5}=\left\{1, \eta_8\right\}
\end{array}
$$

3 个 4 阶子群：

$$
G_{4,1}=\left\{1, \eta_2, \eta_3, \eta_4\right\}, \quad G_{4,2}=\left\{1, \eta_2, \eta_5, \eta_6\right\}, \quad G_{4,3}=\left\{1, \eta_2, \eta_7, \eta_8\right\} .
$$

分别与上述子群相对应的不动子域为

$$
\begin{gathered}
\operatorname{Inv}\left(G_1\right)=E, \quad \operatorname{Inv}\left(G_8\right)=\mathbf{Q}, \\
\operatorname{Inv}\left(G_{2,1}\right)=\mathbf{Q}\left(\alpha^2, \mathrm{i}\right), \quad \operatorname{Inv}\left(G_{2,2}\right)=\mathbf{Q}(\alpha), \quad \operatorname{Inv}\left(G_{2,3}\right)=\mathbf{Q}((1+\mathrm{i}) \alpha), \\
\operatorname{Inv}\left(G_{2,4}\right)=\mathbf{Q}(\alpha \mathrm{i}), \quad \operatorname{Inv}\left(G_{2,5}\right)=\mathbf{Q}((1-\mathrm{i}) \alpha), \\
\operatorname{Inv}\left(G_{4,1}\right)=\mathbf{Q}(\mathrm{i}), \quad \operatorname{Inv}\left(G_{4,2}\right)=\mathbf{Q}\left(\alpha^2\right), \quad \operatorname{Inv}\left(G_{4,3}\right)=\mathbf{Q}\left(\mathrm{i} \alpha^2\right),
\end{gathered}
$$

下面再举一个计算伽罗瓦群的子群及其相对应的不动子域的例子．
例 6．8．2 设 $f(x)=x^4+2 x^2+2$ ，它在有理数域 $\mathbf{Q}$ 上不可约，设 $E$ 为 $f(x)$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域，则 $E / \mathbf{Q}$ 为伽罗瓦扩张．求伽罗瓦群 $\operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q})$ ，它的所有子群及其相对应的不动子域．

解 由于 $f(x)$ 只有偶次项，若 $\alpha$ 为 $f(x)$ 的一个根，则 $-\alpha$ 也是它的根．因此不妨设 $f(x)$ 的四个根为 $\alpha,-\alpha, \beta$ 和 $-\beta$ ，于是 $\alpha^2$ 和 $\beta^2$ 为 $x^2+2 x+2$ 的根，解出得 $\alpha^2=\mathrm{i}-1, \beta^2=-\mathrm{i}-1$ ．不妨记 $\alpha=\sqrt{\mathrm{i}-1}, \beta=\sqrt{-\mathrm{i}-1}$ ，则 $E=\mathbf{Q}(\alpha, \beta)$为 $f(x)$ 在 $\mathbf{Q}$ 上的分裂域， $\mathbf{Q}(\alpha)$ 和 $\mathbf{Q}(\beta)$ 为其中间域，且

$$
\mathbf{Q}(\alpha) \cap \mathbf{Q}(\beta)=\mathbf{Q}\left(\alpha^2\right)=\mathbf{Q}\left(\beta^2\right)=\mathbf{Q}(\mathrm{i}),
$$

$[E: \mathbf{Q}(\mathrm{i})]=4,[\mathbf{Q}(\mathrm{i}): \mathbf{Q}]=2$ ，故 $E / \mathbf{Q}$ 为 8 次伽罗瓦扩张， $\operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q})$ 为 8 阶群．
由于 $[E: \mathbf{Q}(\mathrm{i})]=4, E$ 的每个自同构都引起 $\mathbf{Q}(\mathrm{i})$ 的自同构．反之， $\mathbf{Q}(\mathrm{i})$ 的每个自同构在 $E$ 上有四个不同的延拓．另一方面，$\alpha$ 和 $\beta$ 在 $\mathbf{Q}(\mathrm{i})$ 上的极小多项式分别为 $x^2-(\mathrm{i}-1)$ 和 $x^2-(-\mathrm{i}-1) . \mathrm{Q}(\mathrm{i})$ 的自同构在 $E$ 上的每一个延拓由 $\alpha$和 $\beta$ 的象唯一决定。下面具体写出 $E$ 的 8 个自同构。为简单起见，$\alpha,-\alpha, \beta,-\beta$分别记作 $1,2,3,4$ ．

$\mathbf{Q}$（i）的恒等自同构在 $E$ 上有 4 个延拓，它们都保持 i 不动，也就保持 $x^2-(\mathrm{i}-$ 1）和 $x^2-(-\mathrm{i}-1)$ 不动，因而它们只能引起 $\alpha,-\alpha$ 之间的置换和 $\beta,-\beta$ 之间的置换，而且这两部分置换是独立的，所以这 4 个延拓用根的置换表示就是

$$
e=(1),(12),(34),(12)(34) .
$$

$\mathbf{Q}(\mathrm{i})$ 的自同构 $a+b \mathrm{i} \mapsto a-b \mathrm{i}, a, b \in \mathbf{Q}$ 将 i 变成 -i ，因而它在 $E$ 上的 4个延拓是将 $x^2-(\mathrm{i}-1)$ 的根和 $x^2-(-\mathrm{i}-1)$ 的根互换，即将 $\alpha$ 变成 $\beta$ 或 $-\beta$ ，同时将 $\beta$ 变成 $\alpha$ 或 $-\alpha$ 而且互不依赖．因而它在 $E$ 上的 4 个延拓用根的置换表示就是
(13) (24), (14) (23), (13 24), (14 23).

这样 $G=\operatorname{Gal}(E / \mathbf{Q})$ 由上面8个置换组成。
$G$ 除单位群和本身外有 3 个 4 阶子群和 5 个 2 阶子群：
4 阶子群：

$$
\begin{aligned}
V & =\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}, \\
Z & =\langle(1324)\rangle, \\
V_1 & =\{(1),(12),(34),(12)(34)\},
\end{aligned}
$$

2 阶子群：$\langle(12)\rangle,\langle(34)\rangle,\langle(12)(34)\rangle,\langle(13)(24)\rangle$ 和 $\langle(14)(23)\rangle$ ．
下面分析上述这些子群对应的不动域．

首先确定 4 阶子群的不动域。根据伽罗瓦基本定理可知， 4 阶子群的不动域都是 $\mathbf{Q}$ 上 2 次域．根据上面 $G$ 的构造可知 $\mathbf{Q}(\mathrm{i}) \subseteq \operatorname{Inv}\left(V_1\right)$ ．由于 $[E: \mathbf{Q}(\mathrm{i})]=\left|V_1\right| =4$ ，根据伽罗瓦基本定理， $\operatorname{Inv}\left(V_1\right)=\mathbf{Q}(\mathrm{i})$ ．由于 $\alpha^2 \beta^2=2$ ，不妨设 $\alpha \beta=\sqrt{2}$ ，显然 $\alpha \beta=\sqrt{2}$ 是 $V$ 的不动元，因而 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})=\mathbf{Q}(\alpha \beta) \subseteq \operatorname{Inv}(V)$ ．由于 $[E: \mathbf{Q}(\sqrt{2})]= |V|=4$ ，同理有 $\operatorname{Inv}(V)=\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ ．

注意到（1324）将 i 变成 -i ，而且将 $\alpha \beta=\sqrt{2}$ 变成 $-\alpha \beta=-\sqrt{2}$ ，因而 $\mathrm{i} \cdot \sqrt{2}=\sqrt{-2}$ 在（1324）下不动，故 $\sqrt{-2}$ 是 $Z$ 的不动元，于是 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})=\mathbf{Q}\left(\alpha \beta\left(\alpha^2-\right.\right. \left.\left.\beta^2\right)\right) \subseteq \operatorname{Inv}(Z)$ ．由于 $[E: \mathbf{Q}(\sqrt{-2})]=4=|Z|$ ，故有 $\operatorname{Inv}(Z)=\mathbf{Q}(\sqrt{-2})$ ．

最后来定出 2 阶子群的不动域。根据伽罗瓦基本定理可知， 2 阶子群的不动域都是 $\mathbf{Q}$ 上 4 次域．显然有

$$
\operatorname{Inv}(\langle(12)\rangle)=\mathbf{Q}(\beta), \quad \operatorname{Inv}(\langle(34)\rangle)=\mathbf{Q}(\alpha) .
$$

由于 $\langle(12)(34)\rangle=V \cap Z$ ，根据伽罗瓦基本定理，$\langle(12)(34)\rangle$ 的不动域包含 $V$ 和 $Z$ 的不动域的复合域 $\mathbf{Q}(\sqrt{2}) \cdot \mathbf{Q}(\sqrt{-2})=\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{-2})=\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \mathrm{i})$ ，又因为 $[\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \mathrm{i}): \mathbf{Q}]=4$ ，故

$$
\operatorname{Inv}(\langle(12)(34)\rangle)=\mathbf{Q}(\sqrt{2}, \mathrm{i}) .
$$

下面给出 $\langle(13)(24)\rangle$ 和 $\langle(14)(23)\rangle$ 的不动域．注意到 $\alpha+\beta$ 是（13）（24）的不动元，因而 $\mathbf{Q}(\alpha+\beta) \subseteq \operatorname{Inv}(\langle(13)(24)\rangle)$ ，可以证明 $[\mathbf{Q}(\alpha+\beta): \mathbf{Q}]=4$ ，故 $\operatorname{Inv}(\langle(13)(24)\rangle)=\mathbf{Q}(\alpha+\beta)$ 。令 $\tau=(1234)$ ，则 $(14)(23)=\tau(13)(24) \tau^{-1}$ 。根据伽罗瓦基本定理， $\mathbf{Q}(\tau(\alpha+\beta))=\mathbf{Q}(\beta-\alpha)$ 是 $\tau(13)(24) \tau^{-1}=(14)$（23）的不动域。

下面证明 $[\mathbf{Q}(\alpha+\beta): \mathbf{Q}]=4$ ．事实上，$(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+\beta^2+2 \alpha \beta=2+2 \sqrt{2}= 2(1+\sqrt{2})$ ，由此可知 $\mathbf{Q}(\sqrt{2}) \subseteq \mathbf{Q}(\alpha+\beta)$ ．又因为 2 在 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 中可以开平方，而 $1+\sqrt{2}$ 在 $\mathbf{Q}(\sqrt{2})$ 中不能开平方，故 $\alpha+\beta \notin \mathbf{Q}(\sqrt{2})$ ，从而 $[\mathbf{Q}(\alpha+\beta): \mathbf{Q}(\sqrt{2})]=2$ ，于是有 $[\mathbf{Q}(\alpha+\beta): \mathbf{Q}]=4$ ．

利用伽罗瓦理论，伽罗瓦证明了
方程有根式解的判别准则 在特征为 0 的域 $F$ 上，多项式 $f(x)$ 的根可用根式解当且仅当 $f(x)$ 的分裂域 $E / F$ 的伽罗瓦群是可解的．

可以证明，域 $F$ 上 $n$ 次一般方程 $f(x)=x^n+t_1 x^{n-1}+\cdots+t_n$ 在 $F\left(t_1, \cdots, t_n\right)$ 上的伽罗瓦群是 $n$ 个文字的对称群 $S_n$ ．由于当 $n \leqslant 4$ 时对称群 $S_n$ 是可解的，而当 $n \geqslant 5$ 时 $S_n$ 是不可解的，于是得

定理 6．8．2（阿贝尔－鲁菲尼）$n \geqslant 5$ 的一般方程 $f(x)=x^n+t_1 x^{n-1}+\cdots+ t_n$ 在 $F\left(t_1, \cdots, t_n\right)$ 上是不能用根式解的．

例6．8．3 考虑有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的二次多项式 $f(x)=x^2-3 x+5$ 的两个根

$$
x_1=\frac{1}{2}(3+\sqrt{-11}), \quad x_2=\frac{1}{2}(3-\sqrt{-11})
$$

全包含在 $K=\mathbf{Q}(\sqrt{-11})$ 中，$K / \mathbf{Q}$ 是一个单根式扩张，因而 $f(x)$ 的根不论按通常意义或按现在的定义都是可用根式解的．

例 6．8．4 考虑有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的多项式 $f(x)=x^4+2 x^2+2$ ，它的四个根为 $\alpha,-\alpha, \beta$ 和 $-\beta$ ，而

$$
\alpha=\sqrt{\sqrt{-1}-1}, \quad \beta=\sqrt{-\sqrt{-1}-1},
$$

且 $\alpha^2 \beta^2=2$ ．约 $\alpha \beta=\sqrt{2}$ ，于是 $\beta=\sqrt{2} \cdot \alpha^{-1} \cdot f(x)$ 的分裂域 $E=\mathbf{Q}(\alpha, \beta)= \mathbf{Q}(\sqrt{-1}, \sqrt{2}, \alpha)$ ，它本身就是一个根式扩张．因为 $E / \mathbf{Q}$ 有一个根式扩张链：

$$
\mathbf{Q} \subseteq \mathbf{Q}(\sqrt{-1})=F_1 \subseteq F_1(\sqrt{2})=F_2 \subseteq F_2(\alpha)=E
$$

因而 $f(x)$ 的根在现在的意义下是可用根式解的．

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