最后更新: 2025-12-26 15:52 查看: 24 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

尺规作图问题求解

尺规作图问题是初等平面几何的基本问题之一，简单来讲就是在平面上应用无刻度的直尺和圆规从已知的图形（如点、直线和圆等）出发作出未知的图形．利用尺规可以作垂线、平行线、二等分线段、二等分任意角．历史上还曾提出过化圆为方、立方倍积、三等分任意角、分圆问题等著名的作图问题，本节将利用域扩张的理论知识解决这些问题．

下面先给出几何作图问题的代数描述．
已知平面内两点，以其中一点为原点，以两点间的距离为单位长度可以建立平面直角坐标系．从单位长度出发可以作出所有的整数和有理数．更一般地，设已知平面上 $m$ 个点 $P_1, \cdots, P_m$ ，它们的坐标分别为 $\left(x_1, y_1\right), \cdots,\left(x_m, y_m\right)$ 。令 $F=\mathbf{Q}\left(x_1, y_1, \cdots, x_m, y_m\right)$ ，从这些已知点出发，通过有限次下列操作可构造出的点称为可构造点，对应的坐标称为可构造数，这些操作是
（i）通过已得到的两点画一条直线；
（ii）以已得到的某个点为圆心，以已得到的某两个点之间的距离为半径画圆；
（iii）计算并标出两直线的交点坐标；
（iv）计算并标出一直线和一圆的交点坐标；
（v）计算并标出两圆的交点坐标．
因而尺规作图问题可以转化为求出所有可构造数的问题．
关于可构造数，下面的结论成立。
引理6．9．1 设 $a, b$ 为非零实数，则 $a \pm b, a b, a / b$ 和 $\sqrt{a}(a>0)$ 都可以由 $a, b$ 作出．

证明 显然 $a+b, a-b$ 可由 $a, b$ 作出，$a b, a / b$ 和 $\sqrt{a}$ 的作法如图 6－1．

![图片](/uploads/2025-12/c0f9db.jpg)
 
 定理 6．9．1 设 $K$ 是所有可构造数的集合，则 $K$ 构成一个域，并且是实数域 $\mathbf{R}$ 的子域，有理数域 $\mathbf{Q}$ 的扩域，即有 $\mathbf{Q} \subseteq K \subseteq \mathbf{R}$ ．

证明 显然 $K$ 为 $\mathbf{R}$ 的一个子集，证 $K$ 是一个域。对任意 $a, b \in K$ ，显然 $a+b, a-b$ 都可以用尺规作出，即有 $a+b, a-b \in K$ 。另一方面，从图 6－1 可

以看出，$a b$ 也可由 $a, b$ 作出，并且当 $a \neq 0$ 时 $a^{-1}$ 也可由 $a$ 作出，故 $a b \in K$ 且 $a^{-1} \in K$ ，因此 $K$ 是一个域，并且是 $\mathbf{R}$ 的一个子域．

再证 $K$ 是 $\mathbf{Q}$ 的扩域．从单位长度 1 出发显然可以作出所有的整数，再图 6－1知，已知两个整数可以作出它们的商，因此所有有理数都可以作出，即有 $\mathbf{Q} \subseteq K$ ．

综上知 $K$ 构成一个域，并且 $\mathbf{Q} \subseteq K \subseteq \mathbf{R}$ ．
定理 6．9．2（可构造数的充要条件）实数 $\alpha$ 可构造的充分必要条件是存在一个有限的二次根式扩张链

$$
\mathbf{Q}=K_0 \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots \subseteq K_n \subseteq \mathbf{R}
$$

使得 $\alpha \in K_n$ ，其中 $\left[K_{i+1}: K_i\right]=2, K_{i+1}=K_i\left(\alpha_{i+1}\right)$ 而且 $\alpha_{i+1}^2 \in K_i, i= 0,1, \cdots, n-1$ ．

证明 先证必要性．设 $\alpha$ 可构造，则在 $\mathbf{Q}=K_0$ 上通过有限步操作（i）～（v）可得到 $\alpha$ ．设在这有限步操作中逐次作出数 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m=\alpha$ ，并令 $K_i= K_{i-1}\left(\alpha_i\right)(i=1,2, \cdots, m)$ ．由于每次操作是对已知可构造数进行四则运算或开方，故 $\left[K_{i+1}: K_i\right]=1$ 或 2 ．由此可得如上的二次根式扩张链．

再证充分性．若存在上述二次根式扩张链

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