最后更新: 2025-12-26 17:04 查看: 37 次纠错评论(0) 课件开VIP

有限生成模的标准分解及其唯一性

设 $R$ 是主理想整环，$M$ 是有限生成 $R$－模．由定理 7．4．4，有

$$
M=\operatorname{Tor}(M) \oplus F,
$$

其中 $F$ 为自由模，$F \cong R^{(t)}, \operatorname{Tor}(M)$ 为 $M$ 的扭子模。再由定理 7．5．4，有

$$
\operatorname{Tor}(M)=\bigoplus_{i=1}^m N_i,
$$

其中 $N_i=R y_i, \operatorname{ann}\left(N_i\right)=\operatorname{ann}\left(y_i\right)=\left(p_i^{n_i}\right), p_i$ 为 $R$ 中的素元，$i=1, \cdots, m$ ．由此可以得到如下有限生成模的第一标准分解．

定理 7．6．1 主理想整环 $R$ 上任一有限生成模 $M$ 都可以分解成一自由子模与若干个循环 $p$ 模的直和，即

$$
M=F \oplus \bigoplus_{i=1}^s \bigoplus_{j_i=1}^{r_i} N_{i j_i},
$$

其中 $F \cong R^{(t)}, \operatorname{ann}\left(N_{i j_i}\right)=\left(p_i^{n_{i j_i}}\right), p_1, \cdots, p_s$ 是互不相伴的素元且

$$
n_{i 1} \geqslant n_{i 2} \geqslant \cdots \geqslant n_{i r_i}, \quad i=1, \cdots, s,
$$

$t$ 被 $M$ 唯一决定，称为 $M$ 的秩。
在这个分解式中，属于不同的素元的循环 $p$ 模可以合并为一些较大的循环模。为此，我们先证明

引理 7．6．1 设 $M$ 是主理想整环 $R$ 上的模，$x, y \in M, \operatorname{ann}(x)=(f)$ ， $\operatorname{ann}(y)=(g)$ 。如果 $(f, g)=1$ ，则

$$
R x+R y=R(x+y),
$$

且 $\operatorname{ann}(x+y)=(f g)$ ．
证明 显然 $R(x+y) \subseteq R x+R y$ ，下面证 $R x+R y \subseteq R(x+y)$ ．
由于 $(f, g)=1$ ，故存在 $u, v \in R$ ，使得 $u f+v g=1$ ，于是

$$
v g(x+y)=v g x=(1-u f) x=x \in R(x+y),
$$

同理 $u f(x+y)=u f y=(1-v g) y=y \in R(x+y)$ ，这就证明了

$$
R x+R y \subseteq R(x+y)
$$

故有 $R x+R y=R(x+y)$ ．
令 $\operatorname{ann}(x+y)=(h)$ ．显然，$f g \in \operatorname{ann}(x+y)$ ，故 $(f g) \subseteq(h)$ ．
反过来，由 $\operatorname{ann}(x)=(f), \operatorname{ann}(y)=(g)$ 和 $h f y=h f(x+y)=0$ 知，$g \mid h f$ ．又因为 $(f, g)=1$ ，故 $g \mid h$ ．同理由 $h g x=h g(x+y)=0$ 得 $f \mid h$ ，故有 $f g \mid h$ ，从而 $(h) \subseteq(f g)$ ．

综上知 $(f g)=(h)$ ，从而 $\operatorname{ann}(x+y)=(h)=(f g)$ ．
利用引理 7．6．1，由定理 7．6．1 不难给出如下有限生成模的第二标准分解。
定理 7．6．2 主理想整环 $R$ 上任一有限生成模 $M$ 都可以分解成一自由子模与若干个循环模的直和，即

$$
M=F \oplus \bigoplus_{k=1}^l M_k,
$$

其中 $F \cong R^{(t)}, M_k=R z_k, \operatorname{ann}\left(M_k\right)=\left(d_k\right)$ ，且

$$
d_{k+1} \mid d_k, \quad k=1, \cdots, l-1 .
$$

证明 由定理 7．6．1知，$M$ 有第一标准分解

$$
M=F \oplus \bigoplus_{i=1}^s \bigoplus_{j_i=1}^{r_i} N_{i j_i},
$$

其中 $F \cong R^{(t)}, N_{i j_i}=R y_{i j_i}, \operatorname{ann}\left(N_{i j_i}\right)=\left(p_i^{n_{i j_i}}\right), p_1, \cdots, p_s$ 是互不相伴的素元．
令 $l=\max _i\left(r_i\right)$ ，并设

$$
z_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}
y_{i j_i}, & j \leqslant r_i \\
0, & j>r_i
\end{array},\right.
$$

再令 $x_k=z_{1 k}+z_{2 k}+\cdots+z_{s k}, k=1, \cdots, l$ ．由引理 7．6．1可知

$$
R x_k=R z_{1 k}+R z_{2 k}+\cdots+R z_{s k}, \quad k=1, \cdots, l,
$$

且 $\operatorname{ann}\left(x_k\right)=\left(p_1^{n_{1 k}} p_2^{n_{2 k}} \cdots p_l^{n_{l k}}\right)$ ，这里约定当 $k>r_i$ 时 $n_{i k}=0$ ．
令 $R x_k=M_k, \operatorname{ann}\left(x_k\right)=\left(d_k\right)$ ，于是我们有

$$
M=F \oplus \bigoplus_{k=1}^l M_k
$$

且 $d_{k+1} \mid d_k, k=1, \cdots, l-1$ ．
例 7．6．1 设主理想整环 $R$ 上有限生成模 $M$ 的第一标准分解为

$$
M=F \oplus\left(N_{11} \oplus N_{12} \oplus N_{13} \oplus N_{21} \oplus N_{22} \oplus N_{31} \oplus N_{32} \oplus N_{33} \oplus N_{34}\right),
$$

其中 $N_{i j_i}=R y_{i j_i}, \operatorname{ann}\left(N_{i j_i}\right)=\left(p_i^{n_{i j_i}}\right), M$ 的初等因子为

$$
\begin{array}{lll}
p_1^{n_{11}}, & p_1^{n_{12}}, & p_1^{n_{13}}, \\
p_2^{n_{21}}, & p_2^{n_{22}}, & \\
p_3^{n_{31}}, & p_3^{n_{32}}, & p_3^{n_{33}},
\end{array} p_3^{n_{34}},
$$

其中 $n_{11} \geqslant n_{12} \geqslant n_{13}, n_{21} \geqslant n_{22}, n_{31} \geqslant n_{32} \geqslant n_{33} \geqslant n_{34}$ ．
令 $\alpha_1=y_{11}+y_{21}+y_{31}, \alpha_2=y_{12}+y_{22}+y_{32}, \alpha_3=y_{13}+y_{33}, \alpha_4=y_{34}$ ，则有

$$
M=F \oplus\left(M_1 \oplus M_2 \oplus M_3 \oplus M_4\right),
$$

其中 $M_k=R \alpha_k, k=1, \cdots, 4, \operatorname{ann}\left(M_1\right)=\left(p_1^{n_{11}} p_2^{n_{21}} p_3^{n_{31}}\right), \operatorname{ann}\left(M_2\right)=\left(p_1^{n_{12}} p_2^{n_{22}}\right. \left.p_3^{n_{32}}\right), \operatorname{ann}\left(M_3\right)=\left(p_1^{n_{13}} p_3^{n_{33}}\right), \operatorname{ann}\left(M_4\right)=\left(p_3^{n_{34}}\right)$ ．

记 $\operatorname{ann}\left(M_k\right)=\left(d_k\right)$ ，则有 $d_{k+1} \mid d_k, k=1,2,3$ ．
下面来讨论有限生成模标准分解的唯一性问题．在两种标准分解式中，子模 $N_{i j_i}$ 和 $M_k$ 一般来说不是唯一决定的．我们将要证明：在第一标准分解

$$
M=F \oplus \bigoplus_{i=1}^s \bigoplus_{j_i=1}^{r_i} N_{i j_i}
$$

中，自由子模 $F$ 的秩以及 $N_{i j_i}$ 的零化子组

$$
\operatorname{ann}\left(N_{i j_i}\right)=\left(p_i^{n_{i j_i}}\right), \quad i=1, \cdots, s ; j_i=1, \cdots, r_i
$$

是被 $M$ 唯一决定的。同样第二标准分解

$$
M=F \oplus \bigoplus_{k=1}^l M_k
$$

中，自由子模 $F$ 的秩以及 $M_k$ 的零化子组

$$
\operatorname{ann}\left(M_k\right)=\left(d_k\right), \quad k=1, \cdots, l
$$

是被 $M$ 唯一决定的。
由于这两个标准分解互相唯一决定，所以只需要证明其中的一个具有上述的唯一性就行了。下面就第一标准分解来讨论唯一性。自由子模 $F$ 的秩被 $M$ 唯一决定，前面已经证明了，而 $\operatorname{Tor}(M)$ 是被 $M$ 唯一决定的，因此下面的讨论可以限制在扭模的情形。

我们先给出证明唯一性时需要用到的几个引理．

引理 7．6．2 设 $M$ 是环 $R$ 上的一个模，它有直和分解

$$
M=\bigoplus_{k=1}^m M_k
$$

则对任意 $a \in R$ ，有

$$
\begin{aligned}
a M & =\bigoplus_{k=1}^m a M_k \\
M / a M & =\bigoplus_{k=1}^m M_k / a M_k
\end{aligned}
$$

利用模直和的性质，可以证明引理7．6．1成立，证明留作习题．
引理 7．6．3 设 $N$ 是主理想整环 $R$ 上一循环 $p$ 模，$p$ 是 $R$ 中一素元．对于 $R$ 中任一元素 $q$ ，有
（1）若 $q$ 与 $p$ 不相伴，则 $q N=N$ ；
（2）若 $q$ 与 $p$ 相伴，则 $N / q N$ 为循环 $p$ 模，且 $\operatorname{ann}(N / q N)=(p)$ ．
证明 令 $N=R \alpha, \operatorname{ann}(\alpha)=\left(p^i\right)$ ．
（1）若 $q$ 与 $p$ 不相伴，则 $\left(p^i, q\right)=1$ ，于是存在 $u, v \in R$ ，使得 $u p^i+v q=1$ ，故有

$$
\alpha=\left(u p^i+v q\right) \alpha=v q \alpha \in q N,
$$

这就证明了 $q N=N$ ．

（2）若 $q$ 与 $p$ 相伴，不妨设 $q=p$ ．显然，$N / q N$ 非零模．
由于循环模的商模还是循环模，故 $N / q N$ 是循环模．又因为 $p \in \operatorname{ann}(N / q N)$ ，而 $p$ 为素元，故有 $\operatorname{ann}(N / q N)=(p)$ ，从而 $N / q N$ 是循环 $p$ 模。

引理 7．6．4 设 $M$ 是主理想整环 $R$ 上一有限生成的 $p$ 模，$p$ 是 $R$ 中一素元， $\operatorname{ann}(M)=(p)$ ，则 $M$ 的第一标准分解

$$
M=M_1 \oplus M_2 \oplus \cdots \oplus M_r
$$

中有 $\operatorname{ann}\left(M_i\right)=(p), i=1, \cdots, r$ ，且 $r$ 是唯一决定的．
证明 由 $M_i \subseteq M$ 可知， $\operatorname{ann}\left(M_i\right) \supseteq \operatorname{ann}(M)=(p)$ ．因为 $R$ 是主理想整环，素元 $p$ 生成的理想 $(p)$ 是极大理想，故有

$$
\operatorname{ann}\left(M_i\right)=\operatorname{ann}(M)=(p), \quad i=1, \cdots, r .
$$

因为 $\operatorname{ann}(M)=(p)$ ，所以 $M$ 可以看成商环 $R /(p)$ 上的模，而 $R /(p)$ 是域，$M$ 也可以看成域 $R /(p)$ 上一线性空间，$r$ 正是这个线性空间的维数，当然是唯一的．

下面来证明有限生成模第一标准分解的唯一性。
设 $M$ 是主理想整环 $R$ 上一有限生成的扭模，它的第一标准分解为

$$
\begin{gathered}
M=\bigoplus_{i=1}^s \bigoplus_{j_i=1}^{r_i} N_{i j_i} \\
\operatorname{ann}\left(N_{i j_i}\right)=\left(p_i^{n_{i j_i}}\right), \quad i=1, \cdots, s ; j_i=1, \cdots, r_i .
\end{gathered}
$$

设 $q$ 为 $R$ 中任一素元，由引理7．6．1，有

$$
M / q M=\bigoplus_{i=1}^s \bigoplus_{j_i=1}^{r_i} N_{i j_i} / q N_{i j_i}
$$

由引理7．6．2，当 $q$ 不与 $p_1, \cdots, p_s$ 中任一个相伴时，我们有 $M / q M=\{0\}$ ，而当 $q$ 与 $p_1, \cdots, p_s$ 中某一个相伴，譬如说 $q=p_1$ 时，我们有

$$
M / p_1 M=N_{11} / p_1 N_{11} \oplus \cdots \oplus N_{1 r_1} / p_1 N_{1 r_1},
$$

而 $r_1$ 就是域 $R /\left(p_1\right)$ 上线性空间 $M / p_1 M$ 的维数．换句话说，$M / p_1 M$ 在域 $R /\left(p_1\right)$上线性空间的维数就是元素组

$$
\begin{gathered}
p_1^{n_{11}}, \cdots, p_1^{n_{1 r_1}}, \\
\cdots \cdots \\
p_s^{n_{s 1}}, \cdots, p_1^{n_{s r_s}}
\end{gathered}
$$

中 $p_1$ 的方幂的个数．因此，$r_1$ 与分解无关，是被 $M$ 唯一决定的．
再看 $p_1 M / p_1^2 M$ 在域 $R /\left(p_1\right)$ 上的维数．同样

$$
p_1 M / p_1^2 M=p_1 N_{11} / p_1^2 N_{11} \oplus \cdots \oplus p_1 N_{1 r_1} / p_1^2 N_{1 r_1}
$$

显然 $\operatorname{ann}\left(p_1 N_{1 j}\right)=\left(p_1^{n_{1 j}-1}\right)$ ，因此 $p_1 M / p_1^2 M$ 在 $R /\left(p_1\right)$ 上的维数就是元素组

$$
p_1^{n_{11}-1}, \quad \cdots, \quad p_1^{n_{1 r_1}-1}
$$

中 $p_1$ 的方幂的个数，或者说是元素组

$$
p_1^{n_{11}}, \quad \cdots, \quad p_1^{n_{1 r_1}}
$$

中 $p_1^t(t \geqslant 2)$ 的个数．
一般地，$p_1^k M / p_1^{k+1} M$ 在域 $R /\left(p_1\right)$ 上的维数就是元素组

$$
p_1^{n_{11}}, \quad \cdots, \quad p_1^{n_{1 r_1}}
$$

中 $p_1^t(t \geqslant k+1)$ 的个数．
由此可见，在域 $R /\left(p_1\right)$ 上，$p_1^{k-1} M / p_1^k M$ 与 $p_1^k M / p_1^{k+1} M$ 的维数之差就是元素组

$$
p_1^{n_{11}}, \quad \cdots, \quad p_1^{n_{1 r_1}}
$$

中 $p_1^k$ 的个数．
这就证明了
定理 7．6．3 设 $M$ 为主理想整环 $R$ 上一有限生成扭模，它的第一标准分解是

$$
M=\bigoplus_{i=1}^s \bigoplus_{j_i=1}^{r_i} N_{i j_i},
$$

其中 $\operatorname{ann}\left(N_{i j_i}\right)=\left(p_i^{n_{i j_i}}\right), i=1, \cdots, s ; j_i=1, \cdots, r_i$ ，则元素组

$$
\begin{array}{rll}
p_1^{n_{11}}, & \cdots, & p_1^{n_{1 r_1}}, \\
& \cdots \cdots & \\
p_s^{n_{s 1}}, & \cdots, & p_1^{n_{s r_s}}
\end{array}
$$

在相伴的意义下是被 $M$ 唯一决定的。
由第一标准分解和第二标准分解的关系，同时也就证明了
定理 7．6．4 设 $M$ 为主理想整环 $R$ 上一有限生成扭模，它的第一标准分解是

$$
M=\bigoplus_{k=1}^l M_k,
$$

其中 $\operatorname{ann}\left(M_k\right)=\left(d_k\right), d_{k+1} \mid d_k, k=1, \cdots, l-1$ ，则元素组 $d_1, d_2, \cdots, d_l$ 在相伴的意义下是被 $M$ 唯一决定的。

注 7．6．1 由定理 7．6．4 和不变因子间的整除关系容易得到 $\operatorname{ann}(M)=\left(d_l\right)$ ．设 $M$ 为主理想整环 $R$ 上一有限生成模，由 $\operatorname{Tor}(M)$ 的第一标准分解所确定的元素组 $p_1^{n_{11}}, \cdots, p_1^{n_{1_{r_1}}} ; \cdots ; p_s^{n_{s 1}}, \cdots, p_s^{n_{s r_s}}$ 称为 $M$ 的初等因子，由 $\operatorname{Tor}(M)$ 的第二标准分解所确定的元素组 $d_1, \cdots, d_l$ 称为 $M$ 的不变因子，它们都是由模 $M$ 唯一决定的。

对于主理想整环 $R$ 上一有限生成模 $M$ ，它的秩与初等因子或者秩与不变因子是刻画模 $M$ 的结构的一组完全不变量．

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