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有限生成模分解的应用

本节介绍有限生成模分解的两个应用，考虑有限生成交换群的分解和有限维线性空间上线性变换的标准形问题，用到整数环 $\mathbf{Z}$ 上有限生成模和域 $F$ 的一元多项式环 $F[\lambda]$ 上有限生成模分解的结构．

1．有限生成交换群的分解
设 $G$ 是一个有限生成加法交换群，则 $G$ 是一个有限生成 $\mathbf{Z}$－模．于是

$$
G=\operatorname{Tor}(G) \oplus F, \quad F \cong \mathbf{Z}^{(r)} .
$$

令 $G_0=\operatorname{Tor}(G)$ ，并设 $G_0=\left\langle x_1, \cdots, x_m\right\rangle, x_i$ 的阶为 $n_i$ 。于是 $G_0$ 的每个元素 $x$可以表示成

$$
x=k_1 x_1+\cdots+k_m x_m, \quad 0 \leqslant k_i \leqslant n_i-1,
$$

故 $G_0$ 为有限交换群．由西罗定理知，一个有限交换群 $G_0$ 可以分解成它的西罗 $p_i$－子群 $G_{p_i}$ 的直和

$$
G_0=G_{p_1} \oplus \cdots \oplus G_{p_t},
$$

这里的每个西罗 $p_i$－子群就是 7.5 节的定理 7．5．2 给出的 $G_0$ 的 $p_i$－分量．
再由 7.5 节的定理 7．5．3 知，每个有限交换 $p$ 群 $G_p$ 又能分解成一些循环 $p$－子群的直和，即

$$
G_p=\bigoplus_i \mathbf{Z} \alpha_i,
$$

其中 $o\left(\alpha_i\right)=p^{e_i}, e_1 \geqslant e_2 \geqslant \cdots, p^{e_1}, p^{e_2}, \cdots$ 是 $G_p$ 的一组不变量．
这样秩 $r$ 和阶 $p_i^{e_{i j}}, i=1,2, \cdots, t, j=1,2, \cdots$ 就构成了有限生成交换群 $G$的一组完全不变量．总结以上讨论得

定理 7．7．1 一个有限生成的交换群 $G$ 可以分解成 $r$ 个无限循环子群与若干个有限循环 $p$ 群的直和，$r$ 和有限循环 $p$ 群的阶 $p_i^{e_{i j}}, i=1,2, \cdots, t, j=1,2, \cdots$构成 $G$ 的一组完全不变量，即两个有限生成交换群同构的充要条件是它们的不变量相同。

例 7．7．1 一个 $24=2^3 \cdot 3$ 阶交换群互不同构的类型只有三种，用不变量写出来就是

$$
(3,8), \quad(3,4,2), \quad(3,2,2,2),
$$

即一种是一个 3 阶循环子群和一个 8 阶循环子群的直和，一种是一个 3 阶循环子群、一个 4 阶循环子群和一个 2 阶循环子群的直和，一种是一个 3 阶循环子群和 3 个 2 阶循环子群的直和．故同构意义下 24 阶交换群有且只有以下三个：

$$
\mathbf{Z}_3 \oplus \mathbf{Z}_8, \quad \mathbf{Z}_3 \oplus \mathbf{Z}_4 \oplus \mathbf{Z}_2, \quad \mathbf{Z}_3 \oplus \mathbf{Z}_2 \oplus \mathbf{Z}_2 \oplus \mathbf{Z}_2
$$

2．有限维线性空间的单个线性变换
以下设 $V$ 是域 $F$ 上的一个 $n$ 维线性空间，$T$ 是 $V$ 的一个线性变换，$u_1, \cdots, u_n$是 $V$ 在 $F$ 上的一组基．$T$ 在 $u_1, \cdots, u_n$ 下的矩阵为 $A$ ，则

$$
T\left(u_1, \cdots, u_n\right)=\left(u_1, \cdots, u_n\right) A .
$$

设 $v_1, \cdots, v_n$ 是 $V$ 的另一组基，并设 $\left(v_1, \cdots, v_n\right)=\left(u_1, \cdots, u_n\right) P$ ，则

$$
\begin{aligned}
T\left(v_1, \cdots, v_n\right) & =T\left(\left(u_1, \cdots, u_n\right) P\right)=T\left(u_1, \cdots, u_n\right) P \\
& =\left(u_1, \cdots, u_n\right) A P=\left(v_1, \cdots, v_n\right) P^{-1} A P .
\end{aligned}
$$

$T$ 在基 $v_1, \cdots, v_n$ 下的矩阵为 $P^{-1} A P$ 。我们的问题是求一适当的基 $v_1, \cdots, v_n$ 使得 $T$ 在 $v_1, \cdots, v_n$ 下的矩阵具有标准的形状。

为了解决上面的问题，将 $V$ 看作 $F[\lambda]$－模：

$$
f(\lambda) \cdot x=f(T)(x), \quad x \in V, \quad f(\lambda) \in F[\lambda] .
$$

设 $V$ 可以分解成一些 $F[\lambda]$－子模的直和 $V=V_1 \oplus \cdots \oplus V_s$ ．由于对任意 $x \in V_i$ ， $\lambda \cdot x \in V_i$ ，故 $V_i$ 是 $T$ 的不变子空间，其中 $i=1,2, \cdots, s$ ．分别在 $V_1, \cdots, V_s$ 内

取基，使得它们构成 $V$ 的一组基，则在这组基下线性变换 $T$ 的矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
A_1 & & & \\
& A_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_s
\end{array}\right),
$$

其中 $A_i$ 就是 $T$ 在 $V_i$ 的基下的矩阵。由此可见，求 $T$ 的矩阵的标准形状的问题与 $V$ 作为 $F[\lambda]$－模的分解有密切的关系．

由线性代数的知识知，$V$ 看作主理想整环 $F[\lambda]$ 上的模，是一个有限生成的扭模，基 $u_1, \cdots, u_n$ 就是一组生成元。对于每个元素 $x \in V, \operatorname{ann}(x)=(m(\lambda)), m(\lambda)$是 $x$ 的极小多项式．若 $x \neq 0$ ，则 $\operatorname{deg} m(\lambda)>0$ ．

由有限生成模标准分解的结论知，$V$ 可以分解成一些循环子模的直和

$$
V=F[\lambda] \cdot z_1 \oplus \cdots \oplus F[\lambda] \cdot z_s
$$

其中 $\operatorname{ann}\left(z_i\right)=\left(d_i(\lambda)\right), d_{i+1}(\lambda) \mid d_i(\lambda)$ ，即 $\left(d_1(\lambda)\right) \supseteq\left(d_2(\lambda)\right) \supseteq \cdots \supseteq\left(d_s(\lambda)\right)$ ，且 $d_i(\lambda) \neq 0, d_1(\lambda), \cdots, d_s(\lambda)$ 称为线性变换 $T$ 的不变因子．

1）有理标准形
定理 7．7．2 在分解式（7．7．1）中，每个循环子模 $V_i=F[\lambda] \cdot z_i$ 作为 $F[\lambda]$－模，都是 $T$ 的不变子空间，它的维数 $\operatorname{dim} V_i=\operatorname{deg} d_i(\lambda)=n_i$ ，而且 $z_i, \lambda z_i \cdots, \lambda^{n_i-1} z_i$是 $V_i$ 的一基．设

$$
d_i(\lambda)=\lambda^{n_i}+b_{i n_i-1} \lambda^{n_i-1}+\cdots+b_{i 1} \lambda+b_{i 0},
$$

则 $T$ 在 $V_i$ 内诱导出的线性变换 $T_i$ 在 $z_i, \lambda z_i \cdots, \lambda^{n_i-1} z_i$ 下的矩阵为

$$
B_i=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & -b_{i 0} \\
1 & 0 & \cdots & 0 & -b_{i 1} \\
0 & 1 & \cdots & 0 & -b_{i 2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
-b_{i n_i-1}
\end{array}\right),
$$

$B_i$ 叫做多项式 $d_i(\lambda)$ 的相伴矩阵．
证明 由于对任意 $x \in V_i$ ，有 $\lambda \cdot x \in V_i$ ，故 $V_i$ 是 $T$ 的不变子空间．
下面确定 $V_i$ 的维数和基．
由于 $\operatorname{ann}\left(z_i\right)=\left(d_i(\lambda)\right)$ ，故对任意 $f(\lambda) \in F[\lambda], f(\lambda) \cdot z_i=0$ 的充要条件是 $d_i(\lambda) \mid f(\lambda)$ ，由此可知，$z_i, \lambda z_i \cdots, \lambda^{n_i-1} z_i$ 在 $F$ 上线性无关．

$$
B_i=\left(\begin{array

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