最后更新: 2025-12-26 17:08 查看: 31 次纠错评论(0) 课件开VIP

有限生成模分解的应用

本节介绍有限生成模分解的两个应用，考虑有限生成交换群的分解和有限维线性空间上线性变换的标准形问题，用到整数环 $\mathbf{Z}$ 上有限生成模和域 $F$ 的一元多项式环 $F[\lambda]$ 上有限生成模分解的结构．

1．有限生成交换群的分解
设 $G$ 是一个有限生成加法交换群，则 $G$ 是一个有限生成 $\mathbf{Z}$－模．于是

$$
G=\operatorname{Tor}(G) \oplus F, \quad F \cong \mathbf{Z}^{(r)} .
$$

令 $G_0=\operatorname{Tor}(G)$ ，并设 $G_0=\left\langle x_1, \cdots, x_m\right\rangle, x_i$ 的阶为 $n_i$ 。于是 $G_0$ 的每个元素 $x$可以表示成

$$
x=k_1 x_1+\cdots+k_m x_m, \quad 0 \leqslant k_i \leqslant n_i-1,
$$

故 $G_0$ 为有限交换群．由西罗定理知，一个有限交换群 $G_0$ 可以分解成它的西罗 $p_i$－子群 $G_{p_i}$ 的直和

$$
G_0=G_{p_1} \oplus \cdots \oplus G_{p_t},
$$

这里的每个西罗 $p_i$－子群就是 7.5 节的定理 7．5．2 给出的 $G_0$ 的 $p_i$－分量．
再由 7.5 节的定理 7．5．3 知，每个有限交换 $p$ 群 $G_p$ 又能分解成一些循环 $p$－子群的直和，即

$$
G_p=\bigoplus_i \mathbf{Z} \alpha_i,
$$

其中 $o\left(\alpha_i\right)=p^{e_i}, e_1 \geqslant e_2 \geqslant \cdots, p^{e_1}, p^{e_2}, \cdots$ 是 $G_p$ 的一组不变量．
这样秩 $r$ 和阶 $p_i^{e_{i j}}, i=1,2, \cdots, t, j=1,2, \cdots$ 就构成了有限生成交换群 $G$的一组完全不变量．总结以上讨论得

定理 7．7．1 一个有限生成的交换群 $G$ 可以分解成 $r$ 个无限循环子群与若干个有限循环 $p$ 群的直和，$r$ 和有限循环 $p$ 群的阶 $p_i^{e_{i j}}, i=1,2, \cdots, t, j=1,2, \cdots$构成 $G$ 的一组完全不变量，即两个有限生成交换群同构的充要条件是它们的不变量相同。

例 7．7．1 一个 $24=2^3 \cdot 3$ 阶交换群互不同构的类型只有三种，用不变量写出来就是

$$
(3,8), \quad(3,4,2), \quad(3,2,2,2),
$$

即一种是一个 3 阶循环子群和一个 8 阶循环子群的直和，一种是一个 3 阶循环子群、一个 4 阶循环子群和一个 2 阶循环子群的直和，一种是一个 3 阶循环子群和 3 个 2 阶循环子群的直和．故同构意义下 24 阶交换群有且只有以下三个：

$$
\mathbf{Z}_3 \oplus \mathbf{Z}_8, \quad \mathbf{Z}_3 \oplus \mathbf{Z}_4 \oplus \mathbf{Z}_2, \quad \mathbf{Z}_3 \oplus \mathbf{Z}_2 \oplus \mathbf{Z}_2 \oplus \mathbf{Z}_2
$$

2．有限维线性空间的单个线性变换
以下设 $V$ 是域 $F$ 上的一个 $n$ 维线性空间，$T$ 是 $V$ 的一个线性变换，$u_1, \cdots, u_n$是 $V$ 在 $F$ 上的一组基．$T$ 在 $u_1, \cdots, u_n$ 下的矩阵为 $A$ ，则

$$
T\left(u_1, \cdots, u_n\right)=\left(u_1, \cdots, u_n\right) A .
$$

设 $v_1, \cdots, v_n$ 是 $V$ 的另一组基，并设 $\left(v_1, \cdots, v_n\right)=\left(u_1, \cdots, u_n\right) P$ ，则

$$
\begin{aligned}
T\left(v_1, \cdots, v_n\right) & =T\left(\left(u_1, \cdots, u_n\right) P\right)=T\left(u_1, \cdots, u_n\right) P \\
& =\left(u_1, \cdots, u_n\right) A P=\left(v_1, \cdots, v_n\right) P^{-1} A P .
\end{aligned}
$$

$T$ 在基 $v_1, \cdots, v_n$ 下的矩阵为 $P^{-1} A P$ 。我们的问题是求一适当的基 $v_1, \cdots, v_n$ 使得 $T$ 在 $v_1, \cdots, v_n$ 下的矩阵具有标准的形状。

为了解决上面的问题，将 $V$ 看作 $F[\lambda]$－模：

$$
f(\lambda) \cdot x=f(T)(x), \quad x \in V, \quad f(\lambda) \in F[\lambda] .
$$

设 $V$ 可以分解成一些 $F[\lambda]$－子模的直和 $V=V_1 \oplus \cdots \oplus V_s$ ．由于对任意 $x \in V_i$ ， $\lambda \cdot x \in V_i$ ，故 $V_i$ 是 $T$ 的不变子空间，其中 $i=1,2, \cdots, s$ ．分别在 $V_1, \cdots, V_s$ 内

取基，使得它们构成 $V$ 的一组基，则在这组基下线性变换 $T$ 的矩阵为

$$
A=\left(\begin{array}{llll}
A_1 & & & \\
& A_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & A_s
\end{array}\right),
$$

其中 $A_i$ 就是 $T$ 在 $V_i$ 的基下的矩阵。由此可见，求 $T$ 的矩阵的标准形状的问题与 $V$ 作为 $F[\lambda]$－模的分解有密切的关系．

由线性代数的知识知，$V$ 看作主理想整环 $F[\lambda]$ 上的模，是一个有限生成的扭模，基 $u_1, \cdots, u_n$ 就是一组生成元。对于每个元素 $x \in V, \operatorname{ann}(x)=(m(\lambda)), m(\lambda)$是 $x$ 的极小多项式．若 $x \neq 0$ ，则 $\operatorname{deg} m(\lambda)>0$ ．

由有限生成模标准分解的结论知，$V$ 可以分解成一些循环子模的直和

$$
V=F[\lambda] \cdot z_1 \oplus \cdots \oplus F[\lambda] \cdot z_s
$$

其中 $\operatorname{ann}\left(z_i\right)=\left(d_i(\lambda)\right), d_{i+1}(\lambda) \mid d_i(\lambda)$ ，即 $\left(d_1(\lambda)\right) \supseteq\left(d_2(\lambda)\right) \supseteq \cdots \supseteq\left(d_s(\lambda)\right)$ ，且 $d_i(\lambda) \neq 0, d_1(\lambda), \cdots, d_s(\lambda)$ 称为线性变换 $T$ 的不变因子．

1）有理标准形
定理 7．7．2 在分解式（7．7．1）中，每个循环子模 $V_i=F[\lambda] \cdot z_i$ 作为 $F[\lambda]$－模，都是 $T$ 的不变子空间，它的维数 $\operatorname{dim} V_i=\operatorname{deg} d_i(\lambda)=n_i$ ，而且 $z_i, \lambda z_i \cdots, \lambda^{n_i-1} z_i$是 $V_i$ 的一基．设

$$
d_i(\lambda)=\lambda^{n_i}+b_{i n_i-1} \lambda^{n_i-1}+\cdots+b_{i 1} \lambda+b_{i 0},
$$

则 $T$ 在 $V_i$ 内诱导出的线性变换 $T_i$ 在 $z_i, \lambda z_i \cdots, \lambda^{n_i-1} z_i$ 下的矩阵为

$$
B_i=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & -b_{i 0} \\
1 & 0 & \cdots & 0 & -b_{i 1} \\
0 & 1 & \cdots & 0 & -b_{i 2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\
-b_{i n_i-1}
\end{array}\right),
$$

$B_i$ 叫做多项式 $d_i(\lambda)$ 的相伴矩阵．
证明 由于对任意 $x \in V_i$ ，有 $\lambda \cdot x \in V_i$ ，故 $V_i$ 是 $T$ 的不变子空间．
下面确定 $V_i$ 的维数和基．
由于 $\operatorname{ann}\left(z_i\right)=\left(d_i(\lambda)\right)$ ，故对任意 $f(\lambda) \in F[\lambda], f(\lambda) \cdot z_i=0$ 的充要条件是 $d_i(\lambda) \mid f(\lambda)$ ，由此可知，$z_i, \lambda z_i \cdots, \lambda^{n_i-1} z_i$ 在 $F$ 上线性无关．

其中每个 $B_i$ 是 $d_i(\lambda)$ 的相伴矩阵。 $B$ 称为线性变换 $T$ 的有理标准形．
从 $F[\lambda]$－模 $V$ 的分解以及 $T$ 的不变因子可以得到下列事实．
（i） $\operatorname{dim} V=\sum_{i=1}^s \operatorname{dim} V_i=\sum_{i=1}^s \operatorname{deg} d_i(\lambda)$ ．
（ii）$V$ 的零化子 $\operatorname{ann}(V)=\left(d_s(\lambda)\right)$ ，即 $d_s(\lambda)$ 是线性变换 $T$ 的极小多项式．这是因为，对任意 $f(\lambda) \in \operatorname{ann}(V)$ ，有 $f(\lambda) \cdot z_s=0$ ，从而 $d_s(\lambda) \mid f(\lambda), f(\lambda) \in \left(d_s(\lambda)\right), \operatorname{ann}(V) \subseteq\left(d_s(\lambda)\right)$ ；反之，设 $f(\lambda) \in\left(d_s(\lambda)\right)$ ，则 $d_i(\lambda)\left|d_s(\lambda)\right| f(\lambda)$ ，于是对所有 $i$ ，有 $f(\lambda) \cdot z_i=0$ ，于是 $f(\lambda) \in \operatorname{ann}(V)$ ，故 $\left(d_s(\lambda)\right) \subseteq \operatorname{ann}(V)$ ，因此 $\operatorname{ann}(V)=\left(d_s(\lambda)\right)$.

称多项式 $f(\lambda)=|\lambda E-A|$ 为线性变换 $T$ 的特征多项式，它与 $V$ 的基的选择无关．事实上，若从基 $u_1, \cdots, u_n$ 转化为基 $v_1, \cdots, v_n$ ，线性变换 $T$ 的矩阵从 $A$转化为 $B=P^{-1} A P$ ，故有

$$
|\lambda E-B|=\left|\lambda E-P^{-1} A P\right|=\left|P^{-1}(\lambda E-A) P\right|=|\lambda E-A|=f(\lambda) .
$$

（iii）由行列式的性质可以得到 $\left|\lambda E_{n i}-B_i\right|=d_i(\lambda)$ ，故线性变换 $T$ 的特征多项式为 $|\lambda E-A|=\prod_{i=1}^s d_i(\lambda)$ ，因此线性变换 $T$ 的特征多项式与其极小多项式有相同的不可约因子．显然，$A$ 是线性变换 $T$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 的根．

2）若尔当标准形
假设 $F[\lambda]$－模 $V$ 的不变因子 $d_i(\lambda)$ 在 $F[\lambda]$ 内可以分解为一次因式的方幂的乘积，则线性变换 $T$ 的矩阵还有另一个标准形式，即若尔当标准形．特别地，当 $F$为复数域时，这个假设对任何线性变换都是成立的．设 $d_s(\lambda)$ 在 $F[\lambda]$ 内可以分解为

$$
d_s(\lambda)=\prod_{i=1}^r\left(\lambda-\lambda_j\right)^{e_{s_j}}, \quad e_{s_j} \geqslant 1, \quad \lambda_i \neq \lambda_j, \quad i \neq i
$$

于是 $d_1(\lambda), \cdots, d_{s-1}(\lambda)$ 都可以分解为

$$
d_i(\lambda)=\prod_{j=1}^r\left(\lambda-\lambda_j\right)^{e_{i_j}}, \quad e_{i_j} \geqslant 0,
$$

由于 $d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)$ ，故有

$$
0 \leqslant e_{1_j} \leqslant e_{2_j} \leqslant \cdots \leqslant e_{s_j}, \quad j=1, \cdots, r .
$$

根据定理 7．6．1和定理 7．6．2，$F[\lambda] \cdot z_i$ 可以分解成一些循环 $\left(\lambda-\lambda_j\right)$－模的直和

$$
F[\lambda] \cdot z_i=\bigoplus_j F[\lambda] \cdot z_{i_j},
$$

其中 $\operatorname{ann}\left(z_{i_j}\right)=\left(\lambda-\lambda_j\right)^{e_{i_j}}, e_{i_j} \geqslant 1$ ，于是

$$
V=\bigoplus_i \bigoplus_j F[\lambda] \cdot z_{i_j} .
$$

每个 $F[\lambda] \cdot z_{i_j}$ 是 $T$ 的一个循环不变子空间，由 $T$ 在其中诱导出的线性变换只有一个特征值 $\lambda_j$ ，而且它只有一个初等因子 $\left(\lambda-\lambda_j\right)^{e_{i_j}}$ ，这个初等因子也是它的极小多项式。

设 $F[\lambda] \cdot z$ 是上述分解中的任一项，不妨设 $\operatorname{ann}(z)=\left(\lambda-\lambda_1\right)^e, e \geqslant 1,\left(\lambda-\lambda_1\right)^e$是它唯一的不变因子，$F[\lambda] \cdot z$ 简记作 $V_1$ ，仿上可知 $z, \lambda z, \cdots, \lambda^{e-1} z$ 是 $V_1$ 的一组基，从而 $z,\left(\lambda-\lambda_1\right) z, \cdots,\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-1} z$ 也是 $V_1$ 的一组基，下面分析线性变换 $T$在 $V_1$ 内诱导出的线性变换 $T_1$ 在基 $z,\left(\lambda-\lambda_1\right) z, \cdots,\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-1} z$ 下的矩阵。由

计算知

$$
\begin{aligned}
& T(z)=\lambda z \\
& T\left(\left(\lambda-\lambda_1\right) z\right)=\lambda\left(\lambda-\lambda_1\right) z=\lambda_1\left(\lambda-\lambda_1\right) z+\left(\lambda-\lambda_1\right)^2 z \\
& \cdots \cdots \\
& T\left(\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-2} z\right)=\lambda_1\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-2} z+\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-1} z \\
& T\left(\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-1} z\right)=\lambda_1\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-1} z+\left(\lambda-\lambda_1\right)^e z=\lambda_1\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-1} z
\end{aligned}
$$

所以 $T_1$ 在基 $z,\left(\lambda-\lambda_1\right) z, \cdots,\left(\lambda-\lambda_1\right)^{e-1} z$ 下的矩阵为

$$
B=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & & & \\
1 & \lambda_1 & & \\
& 1 & \ddots & \\
& & \ddots & \lambda_1 \\
& & & 1
\end{array}\right)
$$

矩阵 $C_1$ 叫做线性变换 $T$ 的属于特征值 $\lambda_1$ 的 $e$ 级若尔当块．
在每个循环模 $\left(\lambda-\lambda_j\right)$－模 $F[\lambda] \cdot z_{i_j}$ 中取如上的标准基 $z_{i_j},\left(\lambda-\lambda_j\right) z_{i_j}, \cdots,(\lambda- \left.\lambda_j\right)^{e_{i_j}-1} z_{i_j}$ ，把这些标准基按顺序连接起来就构成 $V$ 的一组标准基，在这组标准基下，线性变换 $T$ 的矩阵就是若干个若尔当块的准对角形：

$$
C=\left(\begin{array}{cccc}
C_1 & & & \\
& C_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & C_t
\end{array}\right),
$$

其中每个 $C_i$ 是属于 $T$ 的特征值的若尔当块．这些若尔当块和矩阵 $A$ 的初等因子 $\left(\lambda-\lambda_j\right)^{e_{i_j}}$ 成一一对应，矩阵 $C$ 称为线性变换 $T$ 的若尔当标准形．

3）线性变换的不变因子的计算
设 $V$ 为域 $F$ 上的一个 $n$ 维线性空间，$T$ 为 $V$ 上的一个线性变换，$V$ 看作一个 $F[\lambda]$－模，$\lambda \cdot x=T(x), x \in V$ 。设 $u_1, \cdots, u_n$ 为 $V$ 的一组基，$T$ 在基 $u_1, \cdots, u_n$下的矩阵为 $A=\left(a_{i j}\right)$ ：

$$
T\left(u_i\right)=\lambda \cdot u_i=\sum_{j=1}^n a_{j i} u_j, \quad i=1,2, \cdots, n .
$$

为了计算 $T$ 的不变因子，作一个 $n$ 秩自由 $F[\lambda]$－模 $M, e_1, \cdots, e_n$ 为它的一组基，作 $M$ 到 $V$ 的 $F[\lambda]$－同态：$\eta: \sum_{i=1}^n g_i(\lambda) e_i \mapsto \sum_{i=1}^n g_i(\lambda) u_i$ ．令 $N=\operatorname{Ker}(\eta)$ ，

由上式可知

$$
\left\{\begin{array}{c}
\left(\lambda-a_{11}\right) u_1-a_{21} u_2-\cdots-a_{n 1} u_n=0, \\
-a_{12} u_1+\left(\lambda-a_{22}\right) u_2-\cdots-a_{n 2} u_n=0, \\
\cdots \cdots \\
-a_{1 n} u_1-a_{2 n} u_2-\cdots+\left(\lambda-a_{n n}\right) u_n=0 .
\end{array}\right.
$$

设

$$
\left\{\begin{array}{c}
f_1=\left(\lambda-a_{11}\right) e_1-a_{21} e_2-\cdots-a_{n 1} e_n \\
f_2=-a_{12} e_1+\left(\lambda-a_{22}\right) e_2-\cdots-a_{n 2} e_n \\
\cdots \cdots \\
f_n=-a_{1 n} e_1-a_{2 n} e_2-\cdots+\left(\lambda-a_{n n}\right) e_n
\end{array}\right.
$$

显然 $f_i \in N(i=1,2, \cdots, n)$ ．我们来证明，元素 $f_1, f_2, \cdots, f_n$ 构成 $N$ 的一组基．

将 $N$ 的元素改写成如下的形式：

$$
h=\lambda^m \sum_i b_{m, i} e_i+\lambda^{m-1} \sum_i b_{(m-1) i} e_i+\cdots+\sum_i b_{0 i} e_i,
$$

其中 $b_{i j} \in F$ ．每个 $f_i$ 也可写成

$$
f_i=\lambda e_i-\sum_j a_{j i} e_j,
$$

即有 $\quad \lambda e_i=f_i+\sum_j a_{j i} e_j$ 。

首先证明 $f_i$ 是 $N$ 的一组生成元．设 $h \in N$ ，对 $h$ 的＂次数＂$m$ 作归纳法．当 $m=0$ 时，$h=\sum_i b_{0 i} e_i, \eta(h)=\sum_i b_{0 i} u_i=0$ ，故 $b_{0 i}=0, i=1,2, \cdots, n$ ，从而 $h=0$ ，它当然可以表成 $f_i$ 的组合．假设当 $h$ 的＂次数＂$<m(m>0)$ 时，$h$ 可以表成 $f_i$ 的组合，求证当 $h$ 的＂次数＂$=m$ 时结论也成立．为此，在 $h$ 的表达式中将第一个和号中的 $\lambda e_i$ 换成 $f_i+\sum_j a_{j i} e_j$ ，得

$$
\begin{aligned}
h= & \lambda^{m-1} \sum_i b_{m i} f_i+\lambda^{m-1} \sum_i \sum_j b_{m i} a_{j i} e_j \\
& +\lambda^{m-1} \sum_i b_{(m-1) i} e_i+\cdots+\sum_i b_{0 i} e_i
\end{aligned}
$$

或者

$$
h=\lambda^{m-1} \sum_i b_{m i} f_i+h_1 .
$$

由上式可知

设

显然 $f_i \in N(i=1,2, \cdots, n)$ ．我们来证明，元素 $f_1, f_2, \cdots, f_n$ 构成 $N$ 的一组基．

将 $N$ 的元素改写成如下的形式：

$$
h=\lambda^m \sum_i b_{m, i} e_i+\lambda^{m-1} \sum_i b_{(m-1) i} e_i+\cdots+\sum_i b_{0 i} e_i,
$$

其中 $b_{i j} \in F$ ．每个 $f_i$ 也可写成

$$
f_i=\lambda e_i-\sum_j a_{j i} e_j,
$$

即有 $\quad \lambda e_i=f_i+\sum_j a_{j i} e_j$ 。

$$
\begin{aligned}
h= & \lambda^{m-1} \sum_i b_{m i} f_i+\lambda^{m-1} \sum_i \sum_j b_{m i} a_{j i} e_j \\
& +\lambda^{m-1} \sum_i b_{(m-1) i} e_i+\cdots+\sum_i b_{0 i} e_i
\end{aligned}
$$

或者

$$
h=\lambda^{m-1} \sum_i b_{m i} f_i+h_1 .
$$

例 7．7．2 设 $V$ 是有理数域 $\mathbf{Q}$ 上的一个 3 维线性空间，$T$ 是 $V$ 的一个线性变换，在 $V$ 的任一基 $u_1, u_2, u_3$ 下的矩阵为 $A=\left(\begin{array}{ccc}-3 & -1 & -1 \\ -2 & -2 & -1 \\ 6 & 3 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子和 $T$ 的两种标准形．

解 首先应用初等变换求特征矩阵 $\lambda E-A$ 的标准形

$$
\begin{aligned}
\lambda E-A & =\left(\begin{array}{ccc}
\lambda+3 & 1 & 1 \\
2 & \lambda+2 & 1 \\
-6 & -3 & \lambda-2
\end{array}\right) \underset{\text { 列变换 }}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & \lambda+3 \\
1 & \lambda+2 & 2 \\
\lambda-2 & -3 & -6
\end{array}\right) \\
& \underset{\text { 列变换 }}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & \lambda+3 \\
0 & \lambda+1 & -\lambda-1 \\
0 & -(\lambda+1) & -\lambda^2-\lambda
\end{array}\right) \xrightarrow[\text { 列变换 }]{ }\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda+1 & -\lambda-1 \\
0 & -(\lambda+1) & -\lambda^2-\lambda
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \xrightarrow[\text { 列变换 }]{ }\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda+1 & 0 \\
0 & -(\lambda+1) & -(\lambda+1)^2
\end{array}\right) \xrightarrow[\text { 列变续 }]{ }\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda+1 & 0 \\
0 & 0 & -(\lambda+1)^2
\end{array}\right) \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \lambda+1 & 0 \\
0 & 0 & (\lambda+1)^2
\end{array}\right),
\end{aligned}
$$

所以 $A$ 的不变因子为 $\lambda+1,(\lambda+1)^2$ ，与它们相对应的有理块分别为

$$
(-1) \text { 和 }\left(\begin{array}{ll}
0 & -1 \\
1 & -2
\end{array}\right) \text {, }
$$

所以 $T$ 的有理标准形为

$$
\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & 1 & -2
\end{array}\right)
$$

与 $\lambda+1$ 和 $(\lambda+1)^2$ 相对应的若尔当块分别为

$$
(-1) \text { 和 }\left(\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
1 & -1
\end{array}\right),
$$

所以 $T$ 的若尔当标准形为 $\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)$ ．

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