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模的其他例子

本节介绍整元素、格和代数的概念，并给出模的几个新的例子．
定义 7．8．1 设 $R$ 是整环 $S$ 的含有单位元 $1_S$ 的子环，$\alpha \in S$ ．如果存在 $R[x]$中首项系数为 1 的多项式 $f(x)$ 使得 $f(\alpha)=0$ ，则称 $\alpha$ 为 $R$ 上的整元素．

显然 $R$ 中的元素都是整元素，因为任一 $\alpha \in R$ 都是多项式 $x-\alpha$ 的根。
对于代数元，可以证明 $\alpha$ 为域 $F$ 上的代数元当且仅当 $F(\alpha)$ 为 $F$ 上的有限扩张当且仅当 $\alpha$ 属于 $F$ 的某个有限扩张．关于整元素，也有如下类似的结论：

定理 7．8．1 设 $R$ 是整环 $S$ 的含有单位元 $1_S$ 的子环，$\alpha \in S$ ，则以下三条等价：
（1）$\alpha$ 为 $R$ 上的整元素；
（2）$R[\alpha]$ 为有限生成的 $R$－模；
（3）存在 $S$ 的一个包含 $R$ 的子环 $T$ ，使得 $T$ 作为 $R$－模是有限生成的．
证明 先证明如果（1）成立，则（2）成立．
如果 $\alpha$ 为 $R$ 上的整元素，则存在 $R[x]$ 中首项系数为 1 的多项式 $f(x)$ 使得 $f(\alpha)=0$ ．不妨设 $f(x)=x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_n$ ，则有

$$
\alpha^n=-a_1 \alpha^{n-1}-\cdots-a_n,
$$

反复利用上式可以将 $\alpha$ 的任意方幂表示为 $1, \alpha, \cdots, \alpha^{n-1}$ 的 $R$－线性组合，故 $R[\alpha]$作为 $R$－模，是由 $1, \alpha, \cdots, \alpha^{n-1}$ 生成的有限生成模．

如果（2）成立，令 $T=R[\alpha]$ ，显然（3）成立。
最后证明如果（3）成立，则（1）成立．

如果存在 $S$ 的一个包含 $R$ 的子环 $T, T$ 作为 $R$－模是有限生成的，设 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$为其生成元，则对任意 $1 \leqslant i \leqslant n, \varepsilon_i \alpha$ 也可以表示为 $\varepsilon_1, \cdots, \varepsilon_n$ 的 $R$－线性组合，即有

$$
\varepsilon_i \alpha=a_{i 1} \varepsilon_1+\cdots+a_{i n} \varepsilon_n
$$

其中 $a_{i j} \in R, 1 \leqslant j \leqslant n$ ，也即

$$
\left(-a_{i 1}\right) \varepsilon_1+\cdots+\left(\alpha-a_{i i}\right) \varepsilon_i+\cdots+\left(-a_{i n}\right) \varepsilon_n=0, \quad 1 \leqslant i \leqslant n .
$$

用矩阵表示可以得到

$$
\left(\begin{array}{cccc}
\alpha-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\
-a_{21} & \alpha-a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & -a_{n n}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\varepsilon_1 \\
\varepsilon_2 \\
\vdots \\
\varepsilon_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$

记 $A=\left(a_{i j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}$ ，则有

$$
\left(\alpha E_n-A\right)\left(\begin{array}{c}
\varepsilon_1 \\
\varepsilon_2 \\
\vdots \\
\varepsilon_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right) .
$$

（7．8．1）式左边乘以 $\alpha E_n-A$ 的伴随矩阵可以得到

$$
\left(\begin{array}{cccc}
\operatorname{det}\left(\alpha E_n-A\right) & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \operatorname{det}\left(\alpha E_n-A\right) & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \operatorname{det}\left(\alpha E_n-A\right)
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
\varepsilon_1 \\
\varepsilon_2 \\
\vdots \\
\varepsilon_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right),
$$

于是对任意 $1 \leqslant i \leqslant n$ ，有

$$
\operatorname{det}\left(\alpha E_n-A\right) \cdot \varepsilon_i=0
$$

又因为 $1_S \in R \subseteq T$ ，故存在 $c_i \in R$ ，使得 $1_S=c_1 \varepsilon_1+\cdots+c_n \varepsilon_n$ ，从而

$$
\operatorname{det}\left(\alpha E_n-A\right)=\operatorname{det}\left(\alpha E_n-A\right) \cdot 1_S=0 .
$$

因此 $\alpha$ 为 $R[x]$ 中首项系数为 1 的多项式 $\operatorname{det}\left(x E_n-A\right)$ 的根，故 $\alpha$ 为 $R$ 上的整元素。

特别地，如果一个复数 $\alpha$ 是整数环 $\mathbf{Z}$ 上的整元素，也即存在 $\mathbf{Z}[x]$ 中首项系数为 1 的多项式 $f(x)$ 使得 $f(\alpha)=0$ ，则称 $\alpha$ 为代数整数．可以证明复数域的任一子域 $K$ 中的代数整数的全体构成一个环，称为代数整数环，记为 $O_K$ 。

例如， i 是一个代数整数， $\mathbf{Z}[\mathrm{i}]=\{a+b \mathrm{i} \mid a, b \in \mathbf{Z}\}$ 为自由 $\mathbf{Z}$－模，其中 $1, \mathrm{i}$ 为一组基（称为整基）．又如，$\sqrt{-5}$ 也是一个代数整数， $\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b \sqrt{-5} \mid \quad a$ ， $b \in \mathbf{Z}\}$ 也是自由 $\mathbf{Z}$－模， $1, \sqrt{-5}$ 为一组基。设 $\zeta$ 为复数域上的 $n$ 次本原单位根，则 $\zeta$ 也是代数整数， $\mathbf{Z}[\zeta]=\left\{a_0+a_1 \zeta+\cdots+a_{n-1} \zeta^{n-1} \mid a_i \in \mathbf{Z}\right\}$ 为自由 $\mathbf{Z}$－模，其中 $1, \zeta, \cdots, \zeta^{n-1}$ 为一组基。

下面介绍几何中格的概念。
定义 7．8．2 设 $\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_n$ 是线性空间 $\mathbf{R}^{(m)}$ 上的 $n$ 个线性无关的向量，则 $\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_n$ 生成的格 $L$ 定义为

$$
L(\boldsymbol{B})=\left\{\sum_{i=1}^n x_i \boldsymbol{b}_i \mid x_i \in \mathbf{Z}, 1 \leqslant i \leqslant n\right\},
$$

称 $\boldsymbol{B}=\left[\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_n\right]$ 为格基，$m$ 为格 $L$ 的维数，$n$ 为格 $L$ 的秩．
可以证明格 $L$ 是 $\mathbf{R}^{(m)}$ 的一个离散的加法子群，$L$ 也是一个自由 $\mathbf{Z}$－模．
一个格往往有许多不同的 $\mathbf{Z}$－基，基的不同会直接影响到一些具体问题如最短向量问题（SVP）和最近向量问题（CVP）求解的难度，实际应用时希望寻找长度较短的基，即所谓的约化基．1982年，Lenstra 等提出了一种可以求约化基的算法，即著名的 LLL 格基约化算法．利用格中的最短向量问题（SVP）和最近向量问题 （CVP）也可以设计基于格的密码算法．

最后再介绍代数和群代数的概念。
定义 7．8．3 设 $F$ 是一个域，$A$ 是 $F$ 上的有限维线性空间，$A$ 同时又是一个含有单位元的环．如果对于任意的 $k \in F$ ，以及 $x, y \in A$ ，都有

$$
(k x) y=k(x y)=x(k y),
$$

则称 $A$ 为域 $F$ 上的一个结合代数，简称 $F$－代数或代数．
例如，域 $F$ 上全体 $n \times n$ 矩阵组成的矩阵环 $M_n(F)$ 还是 $F$ 上的 $n^2$ 维线性空间，它构成一个 $F$－代数．$n$ 维线性空间 $V$ 到自身的全体线性变换的集合 $\operatorname{End}_F(V)$在通常定义的加法、乘法和数乘下也构成 $F$－代数。

类似也可以定义子代数、商代数、代数同态等．如果不考虑结合律，还存在 Lie 代数。

在有限群上还可以定义群代数，这是另一类重要的结合代数．
定义 7．8．4 设 $F$ 是一个域，$G=\left\{1=a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$ 是一个有限群，其中 $n=|G|$ ．记

$$
F[G]=\left\{\sum_{i=1}^n f_i a_i \mid f_i \in F\right\}
$$

为 $G$ 中元素用 $F$ 中元素（这里也称为数）作系数的所有形式线性组合．规定

$$
\sum_i f_i a_i=\sum_i f_i^{\prime} a_i \Leftrightarrow \text { 对任意 } i \text {, 有 } f_i=f_i^{\prime} \text {, }
$$

并在 $F[G]$ 中自然地定义加法和数乘如下：

$$
\sum_i f_i a_i+\sum_i f_i^{\prime} a_i=\sum_i\left(f_i+f_i^{\prime}\right) a_i,
$$

其中 $f_i, f_i^{\prime} \in F$ ，

$$
f\left(\sum_i f_i a_i\right)=\sum_i\left(f \cdot f_i\right) a_i,
$$

其中 $f_i, f \in F$ ，则 $F[G]$ 构成 $F$ 上 $n$ 维线性空间．再定义乘法为

$$
\left(\sum_i f_i a_i\right)\left(\sum_j f_j^{\prime} a_j\right)=\sum_{i, j}\left(f_i f_j^{\prime}\right)\left(a_i a_j\right),
$$

则 $F[G]$ 构成一个 $n$ 维 $F$ 代数，称为群 $G$ 在 $F$ 上的群代数．
群、模和代数上的表示理论是现代数学研究的重要工具。由于篇幅限制，本书暂不介绍这些内容。

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