最后更新: 2026-02-22 13:50 查看: 184 次纠错评论(0) 课件开VIP

匀变速直线运动公式大全★★★★★

## 匀变速直线运动公式大全

> 本章公式是整个**高中物理学**的核心，后面圆周运动、电磁感应等都会大量使用，必须熟记，虽然看起来很多，只要每天看或默写一遍，很快就记住了。

### 基础公式
**(1) 平均速度**
$$
\bar{V}=\frac{s}{t}...(本公式适合所有运动，其余的仅适用匀变速直线运动) 
$$
**(2)加速度**
$$
a=\frac{V_t-V_0}{t} 
$$
**（3）平均速度**
$$
 \bar{V}=\frac{V_0+V_t}{2}. 
 $$

![图片](/uploads/2026-01/52c506.jpg){width=300px}
 
### 导出公式
（4）瞬时速度 $v_t=v_0+a t$
（5）位移公式 $s=v_0 t+\frac{1}{2} a t^2$
（6）位移公式 $s=\frac{v_0+v_t}{2} t$
（7）重要推论 $2as=v_t^2-v_0^2$

### 又导出公式
如果初速度为零，即$v_0=0$， 则有

（8）加速度 $a=\frac{V_t}{t}$
（9）平均速度 $\bar{V}=\frac{1}{2} V_t$
（10）瞬时速度 $v_t=a t$
（11）位移公式 $s=\frac{1}{2} a t^2$
（12）位移公式 $s=\frac{V_t}{2} t$
（13 ）重要推论 $2 {as}=V_t^2$

## 推论1:中间时刻

> **做匀变速直线运动的物体在**中间时刻**的即时速度等于这段时间的平均速度，即 $V_{\frac{t}{2}}=\frac{S}{t}=\frac{V_0+V_t}{2}$**

推导：设时间为 $t$ ，初速 $V_0$ ，末速为 $V_t$ ，加速度为 $a$ ，根据匀变速直线运动的速度公式 $v=V_0+a t$得：

$$
\left\{\begin{array}{l}v_{\frac{t}{2}}=v_0+a \times \frac{t}{2} \\ v_t=v_{\frac{t}{2}}+a \times \frac{t}{2}\end{array} \quad \Rightarrow \quad v_{\frac{t}{2}}=\frac{v_0+v_t}{2}\right.
$$

![图片](/uploads/2026-01/49182a.jpg){width=600px}

## 推论2: 中间位移

> **做匀变速直线运动的物体在一段位移的中点位移的即时速度 $V_{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{V_0^2+V_t^2}{2}}$**

推导：设位移为 $S$ ，初速 $V_0$ ，末速为 $V_t$ ，加速度为 $a$ ，根据匀变速直线运动的速度和位移关系公式 $v_t^2=v_0^2+2 a s$ 得：$\left\{\begin{array}{c}v_{\frac{s}{2}}^2=v_0^2+2 a \times \frac{S}{2} \\ v_t^2=v_{\frac{s}{2}}^2+2 a \times \frac{S}{2}\end{array} \Rightarrow \quad v_{\frac{s}{2}}=\sqrt{\frac{v_0^2+v_t^2}{2}}\right.$

![图片](/uploads/2026-01/894877.jpg){width=600px}

## 推论3: 位移差

> **做匀变速直线运动的物体，如果在连续相等的时间间隔 $t$ 内的位移分别为 $S_1 、 S_2 、 S_3 \cdots \cdots S_n$ ，加速度为 $a$ ，则 $\Delta S=S_2-S_1=S_3-S_2=\cdots \cdots=S_n-S_{n-1}=a t^2$**

推导：设开始的速度是 $V_0$
经过第一个时间 $t$ 后的速度为 $V_1=V_0+a t$ ，这一段时间内的位移为 $S_1=V_0 t+\frac{1}{2} a t^2$ ，
经过第二个时间 $t$ 后的速度为 $v_2=2 v_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_2=v_1 t+\frac{1}{2} a t^2=v_0 t+\frac{3}{2} a t^2$
经过第三个时间 $t$ 后的速度为 $V_2=3 V_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_3=V_2 t+\frac{1}{2} a t^2=V_0 t+\frac{5}{2} a t^2$
$\_\_\_\_$
经过第 $n$ 个时间 $t$ 后的速度为 $V_n=n V_0+a t$ ，这段时间内的位移为 $S_n=V_{n-1} t+\frac{1}{2} a t^2=V_0 t+\frac{2 n-1}{2} a t^2$
则 $\Delta S=S_2-S_1=S_3-S_2=\cdots \cdots=S_n-S_{n-1}=a t^2$

**点拨**：只要是匀加速或匀减速运动，相邻的连续的相同的时间内的位移之差，是一个与加速度 a 与时间 ＂有关的恒量＂．这也提供了一种加速度的测量的方法：
即 $a=\frac{\Delta S}{t^2}$ ，只要测出相邻的相同时间内的位移之差 $\Delta S$ 和 $t$ ，就容易测出加速度 $a$ 。

![图片](/uploads/2026-01/c9f166.jpg){width=500px}
 
 ![图片](/uploads/2026-01/5e2ade.jpg)
 
## 推论4 
> **初速度为零的匀变速直线运动的位移与所用时间的平方成正比，即 $t$ 秒内、 $2 t$ 秒内、 $3 t$ 秒内 $\cdots \cdots \cdot n t$ 秒内物体的位移之比 $S_1: S_2: S_3: \cdots: S_n=1: 4: 9 \cdots: n^2$**

推导：已知初速度 $V_0=0$ ，设加速度为 $a$ ，根据位移的公式 $S=\frac{1}{2} a t^2$ 在 $t$ 秒内、 $2 t$ 秒内、 $3 t$ 秒内 $\cdots \cdots \cdot \mathrm{n} t$秒内物体的位移分别为：$S_1=\frac{1}{2} a t^2 、 S_2=\frac{1}{2} a(2 t)^2 、 S_3=\frac{1}{2} a(3 t)^2 \cdots \cdots S_n=\frac{1}{2} a(n t)^2$则代入得 $S_1: S_2: S_3: \cdots: S_n=1: 4: 9 \cdots: n^2$

## 推论4再推论
> **前一个 $s$ 、前二个 $s 、 \cdots \cdots$ 前 $n$ 个 $s$ 的位移所需时间之比：$t_1: t_2: t_3 \ldots: t_n=1: \sqrt{2}: \sqrt{3}: \ldots \sqrt{n}$**

推导： 因为初速度为 $0$ ，所以 $x=V_0 t+\frac{1}{2} \alpha t^2=\frac{1}{2} \alpha t^2$

$$
\begin{aligned}
&  {S}=\frac{1}{2}  {at}_1^2, \quad  {t}_1=\sqrt{\frac{2  {~S}}{ {a}}} \quad 2  {~S}==\frac{1}{2}  {at}_2^2 \quad  {t}_2=\sqrt{\frac{4  {~S}}{ {a}}} \quad 3  {~S}=\frac{1}{2}  {at}_3^2 \quad  {t}_3=\sqrt{\frac{6  {~S}}{ {a}}} \\
&  {t}_1:  {t}_2:  {t}_3 \ldots \ldots:  {t}_{ {n}}=\sqrt{\frac{2  {~S}}{ {a}}}: \sqrt{\frac{4  {~S}}{ {a}}}: \sqrt{\frac{6  {~S}}{ {a}}} \ldots \ldots \ldots=1: \sqrt{2}: \sqrt{3} \ldots \ldots \sqrt{ {n}}
\end{aligned}
$$

## 推论5
> 初速度为零的匀变速直线运动，从开始运动算起，在连续相等的时间间隔内的位移之比是从 1 开始的连续奇数比，即 $S_1: S_2: S_3: \cdots: S_n=1: 3: 5 \cdots \cdots:(2  {n}-1)$

推导：连续相同的时间间隔是指运动开始后第 1 个 $t$ 、第 2 个 $t$ 、第 3 个 $t \cdots \cdots$ 第 $n$ 个 $t$ ，设对应的位移分别为 $S_1 、 S_2 、 S_3 、 \cdots \cdots S_n$ ，则根据位移公式得

第 1 个 $t$ 的位移为 $S_1=\frac{1}{2} a t^2$
第 2 个 $t$ 的位移为 $S_2=\frac{1}{2} a(2 t)^2-\frac{1}{2} a t^2=\frac{3}{2} a t^2$
第 3 个 $t$ 的位移为 $S_3=\frac{1}{2} a(3 t)^2-\frac{1}{2} a(2 t)^2=\frac{5}{2} a t^2$
．．．．．．
第 $n$ 个 $t$ 的位移为 $S_n=\frac{1}{2} a(n t)^2-\frac{1}{2} a[(n-1) t]^2=\frac{2 n-1}{2} a t^2$
代入可得：$\quad S_1: S_2: S_3: \cdots \cdots: S_n=1: 3: 5: \cdots \cdots(2 n-1)$

## 推论6 
> 初速度为零的匀变速直线运动，从开始运动算起，物体经过连续相等的位移所用的时间之比为 $t_1: t_2 : t_3 \cdots \cdots: t_n=1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \cdots \cdots:(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

推导：通过连续相同的位移是指运动开始后，第一个位移 $S$ 、第二个$S$ 、第三个 $S \cdots \cdots$ 第 $n$ 个 $S$ ，设对应所有的时间分别为 $t_1 、 t_2 、 t_3 \cdots \cdots t_n$ ，
根据公式 $S=\frac{1}{2} a t^2$

![图片](/uploads/2026-01/42b1e7.jpg)

第一段位移所用的时间为 $t_1=\sqrt{\frac{2 S}{a}}$

第二段位移所用的时间为运动了两段位移的时间减去第一段位移所用的时间

$$
t_2=\sqrt{\frac{4 S}{a}}-\sqrt{\frac{2 S}{a}}=(\sqrt{2}-1) \sqrt{\frac{2 S}{a}}
$$

同理可得：运动通过第三段位移所用的时间为

$$
t_3=\sqrt{\frac{6 S}{a}}-\sqrt{\frac{4 S}{a}}=(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \sqrt{\frac{2 S}{a}}
$$

以此类推得到 $t_n=\sqrt{\frac{2 n S}{a}}-\sqrt{\frac{2(n-1) S}{a}}=(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}) \sqrt{\frac{2 S}{a}}$
代入可得 $t_1: t_2: t_3 \cdots \cdots t_n=1:(\sqrt{2}-1):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

## 推论 7
> **初速度为零的匀加速直线运动第一个 $s$ 末、第二个 $s$ 末、⋯⋯第 $n$ 个 $s$ 末的速度之比： $v_1: v_2: \ldots \ldots: v_n=1: \sqrt{2}: \sqrt{3}: \ldots \ldots: \sqrt{n}$**

推导：因为初速度为 0 ，且 $V_{t^2}{ }^2-V_0{ }^2=2 \alpha  {x}$ ，所以 $V_{ {t}}{ }^2=2 \alpha  {x}$

$$
 {V}_{ {t} 1}{ }^2=2 \alpha  {~s} \quad  {~V}_{ {t} 1}=\sqrt{2 \alpha  {~s}}
$$

$$
\begin{array}{ll}
 {V}_{ {t} 2}{ }^2=2 \alpha(2  {~s}) &  {V}_{ {t} 2}=\sqrt{4 \alpha  {~s}} \\
 {~V}_{ {t} 3}{ }^2=2 \alpha(3  {~s}) &  {V}_{ {t} 3}=\sqrt{6 \alpha  {~s}} \\
 {~V}_{ {tn}}{ }^2=2 \alpha( {~ns}) &  {V}_{ {tn}}=\sqrt{2  {n} \alpha  {~s}}
\end{array}
$$

$$
V_{ {t} 1}: V_{ {t} 2}: V_{ {t} 3}: \ldots \ldots V_{ {tn}}=\sqrt{2 \alpha  {~s}}: \sqrt{4 \alpha  {~s}}: \sqrt{6 \alpha  {~s}}: \sqrt{2  {n} \alpha  {~s}}=1: \sqrt{2}: \sqrt{3}: \sqrt{ {n}}
$$

从以上推导可知解决这些问题主要要理解：连续的时间内、连续相等的时间内、连续相等的位移的含义、要克服存在的思维障碍。

## 自由落体运动
> **自由落体运动就是初速度 $V_0=0$ ，加速度 $a \equiv g$ 的匀加速直线运动**。

（1）平均速度 $\bar{V}=\frac{V_t}{2}$
（2）瞬时速度 $v_t=g t$
（3）位移公式 $s=\frac{1}{2} g t^2$
（4）重要推论 $2 g s=v_t^2$

##  竖直上抛运动
> **竖直上抛运动就是加速度$a=-g$ 的匀变速直线运动**。

（1）瞬时速度 $v_t=v_0-g t$
（2）位移公式 $s=v_0 t-\frac{1}{2} g t^2$
（3）重要推论 $-2 g s=v_t^2-v_0^2$

其处理方法有两种：
其一是**分段法**。上升阶段看做末速度为零，加速度大小为 g 的匀减速直线运动；下降阶段为自由落体运动（初速为零、加速度为 g 的匀加速直线运动）；
其二是**整体法**。把坚直上抛运动的上升阶段和下降阶段看成整个运动的两个过程。整个过程初速为 $v_0$ 、加速度为 g 的匀减速直线运动。

## 公式选用基本思想
本节涉及公式很多，核心思想就是：初速度$v_0$,位移$x$，时间$t$，加速度$a$,速度$t$
一共5个变量，如果知道四个变量后，可以利用下表求另外一个变量。
 ![图片](/uploads/2026-01/28dae0.jpg)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：质点、参考系、位移与速度

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)