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第一类曲线积分的性质

## 第一类曲线积分的性质
与定积分类似，对弧长的曲线积分有如下性质（假设下面出现的积分都存在）：
（1）线性性 若 $\alpha, \beta$ 为常数，则

$$
\int_L[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] \mathrm{d} s=\alpha \int_L f(x, y) \mathrm{d} s+\beta \int_L g(x, y) \mathrm{d} s
$$

（2）积分区域可加性 若分段光滑曲线 $L$ 由两段光滑曲线 $L_1, L_2$ 组成，则

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=\int_{L_1} f(x, y) \mathrm{d} s+\int_{L_2} f(x, y) \mathrm{d} s
$$

（3）单调性 若在 $L$ 上 $f(x, y) \leqslant g(x, y)$ ，则

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s \leqslant \int_L g(x, y) \mathrm{d} s
$$

（4）绝对可积性 若 $f(x, y)$ 对弧长 $L$ 的曲线积分存在，则 $|f(x, y)|$ 对弧长 $L$ 的曲线积分存在，且有

$$
\left|\int_L f(x, y) \mathrm{d} s\right| \leqslant \int_L|f(x, y)| \mathrm{d} s
$$

（5）积分中值定理 若 $f(x, y)$ 在 $L$ 上连续，则存在 $(\xi, \eta) \in L$ ，使得

$$
\int_L f(x, y) \mathrm{d} s=f(\xi, \eta) s \text { (这里 } s \text { 为 } L \text { 的弧长). }
$$

特别地，有 $\int_L \mathrm{~d} s=s$ ．即被积函数为 1 时，对弧长的曲线积分等于积分曲线 $L$ 的弧长．

## 例题
`例`计算曲线积分 $\int_{\Gamma} \sqrt{y} \mathrm{~d} l$ ，其中 $\Gamma$ 是连接点 $\mathrm{O}(0,0)$ 与点 $\mathrm{B}(2,4)$ 的线段：（如图10．2所示）
1．沿抛物线 $y=x^2$ ；
2．沿连接 OB 的直线；
3．沿折线 OAB 其中 $A=(2,0)$ ．

![图片](/uploads/2026-03/554337.jpg){width=200px}
 
 解 依题意，
1 ．曲线方程为 $y=x^2,(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，因此 $\mathrm{d} l=\sqrt{1+4 x^2} \mathrm{~d} x$

$$
\int_{\Gamma} \sqrt{y} \mathrm{~d} l=\int_0^2 x \sqrt{1+4 x^2} \mathrm{~d} x=\left.\frac{1}{12}\left(1+4 x^2\right)^{\frac{3}{2}}\right|_0 ^2=\frac{1}{12}(17 \sqrt{17}-1) .
$$

2．曲线方程为 $y=2 x,(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，因此 $\mathrm{d} l=\sqrt{5} \mathrm{~d} x$

$$
\int_{\Gamma} \sqrt{y} \mathrm{~d} l=\int_0^2 \sqrt{2 x} \sqrt{5} \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{3} \sqrt{10} x^{\frac{3}{2}}\right|_0 ^2=\frac{8}{3} \sqrt{5} .
$$

3．此时曲线 $\Gamma$ 需分为两段。
OA 段的曲线方程为 $y=0, ~(0 \leqslant x \leqslant 2)$ ，因此 $\mathrm{dl}=\mathrm{dx}$ 而

$$
\int_{\overparen{O A}} \sqrt{y} \mathrm{~d} l=\int_0^2 0 \mathrm{~d} x=0
$$

AB 段的曲线方程为 $x=2, y=t,(0 \leqslant t \leqslant 4)$ ，因此 $\mathrm{dl}=\mathrm{dt}$ 而

$$
\int_{\overparen{A B}} \sqrt{y} \mathrm{~d} l=\int_0^4 \sqrt{t} \mathrm{~d} t=\left.\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}\right|_0 ^4=\frac{16}{3} .
$$

综上可得， $\int_{\Gamma} \sqrt{y} \mathrm{~d} l=\frac{16}{3}$ ．

`例`计算曲线积分 $\int_{\Gamma} x y z \mathrm{~d} l$ ，其中 $\Gamma$ 的参数方程为（如图10．3所示）

![图片](/uploads/2026-03/4f814d.jpg){width=200px}

$$
x=t, \quad y=\frac{1}{3} \sqrt{8 t^3}, \quad z=\frac{1}{2} t^2, \quad t \in(0,1) .
$$

解 依题意，$x^{\prime}(t)=1, y^{\prime}(t)=\sqrt{2 t}, z^{\prime}(t)=t$ ，因此 $\mathrm{d} 1=(1+\mathrm{t}) \mathrm{dt}$

$$
\int_{\Gamma} x y z \mathrm{~d} l=\int_0^1 \frac{\sqrt{2}}{3} t^{\frac{9}{2}}(t+1) \mathrm{d} t=\left.\frac{\sqrt{2}}{3}\left(\frac{2}{13} t^{\frac{13}{2}}+\frac{2}{11}\right)\right|_0 ^1=\frac{16 \sqrt{2}}{143}
$$

`例`计算曲线积分 $I=\int_{\Gamma}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} l$ ，其中 $\Gamma$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y= a$ sint，$z=b t,(0 \leq t \leq 2 \pi)$ 。如图10．4所示）

![图片](/uploads/2026-03/cfe2fe.jpg){WIDTH=200PX}
 
 
解 依题意， $\mathrm{d} l=\sqrt{\left(x^{\prime}(t)\right)^2+\left(y^{\prime}(t)\right)^2+\left(z^{\prime}(t)\right)^2} \mathrm{~d} t=\sqrt{a^2+b^2} \mathrm{~d} t$ ，因此

$$
\begin{aligned}
! & =\int_0^{2 \pi}\left(a^2 \cos ^2 t+a^2 \sin ^2 t+b^2 t^2\right) \sqrt{a^2+b^2} \mathrm{~d} t \\
& =\sqrt{a^2+b^2} \int_0^{2 \pi}\left(a^2+b^2 t^2\right) \mathrm{d} t=\left.\sqrt{a^2+b^2}\left(a^2 t+b^2 \frac{1}{3} t^3\right)\right|_0 ^{2 \pi} \\
& =\frac{2 \pi}{3} \sqrt{a^2+b^2}\left(3 a^2+4 \pi^2 b^2\right)
\end{aligned}
$$

对于空间中的曲线，有时我们需要结合已有知识来建立相应的参数方程．
 `例`计算曲线积分 $I:=\int_{\Gamma} x^2 \mathrm{~d} l$ ，其中 $\Gamma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与平面 $\pi: x+y+z=0$ 的交线。（如图 10.5 所不）

![图片](/uploads/2026-03/b838b3.jpg){width=200px}
 
解 解法 1．依题意，为建立曲线的参数方程，我们先考虑消去 z 来降维。即

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = a ^ { 2 } } \\
{ x + y + z = 0 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
z=-(x+y) \\
(2 y+x)^2+3 x^2=2 a^2
\end{array}\right.\right.
$$

由此，我们可先建立参数方程

$$
x=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} a \cos \theta, \quad 2 y+x=\sqrt{2} a \sin \theta \Rightarrow y=\frac{a}{\sqrt{2}} \sin \theta-\frac{a}{\sqrt{6}} \cos \theta
$$
 
其中 $\theta \in[0,2 \pi]$ ．代人 $z=-(x+y)$ 得

$$
z=-\frac{a}{\sqrt{2}} \sin \theta-\frac{a}{\sqrt{6}} \cos \theta .
$$

从而，我们有弧长微元

$$
\mathrm{d} l=\sqrt{\left(x^{\prime}(\theta)\right)^2+\left(y^{\prime}(\theta)\right)^2+\left(z^{\prime}(\theta)\right)^2} \mathrm{~d} \theta=a \mathrm{~d} \theta .
$$

代人可得

$$
I=\int_0^{2 \pi} \frac{2 a^2}{3} \cos ^2 \theta a \mathrm{~d} \theta=\frac{a^3}{3} \int_0^{2 \pi}(1+\cos 2 \theta) \mathrm{d} \theta=\left.\frac{a^3}{3}\left(\theta+\frac{\sin 2 \theta}{2}\right)\right|_0 ^{2 \pi}=\frac{2 \pi}{3} a^3 .
$$

解法 2．事实上，不难发现曲线具有轮换对称性 ${ }^1$ ，因此我们有

$$
I=\int_{\Gamma} y^2 \mathrm{~d} l=\int_{\Gamma} z^2 \mathrm{~d} l \Rightarrow 3 I=\int_{\Gamma}\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} l=a^2 L(\Gamma)
$$

同时，注意到 $\Gamma$ 为过球心的截面圆．因此 $I=\frac{a^2}{3} L(\Gamma)=\frac{2 \pi}{3} a^3$ ．
注 在该题中，建立参数方程的核心步骤是消去变量。我们可以有很多选择．结合题目的目标，选择 $x$ 的表达式相对简单的参数方程，是提高运算效率的较好选择．

`例`计算曲线积分 $I:=\int_{\Gamma} \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} l$ ，其中 $\Gamma: x^2+y^2=2 x$ ．

解 此题不宜用直角坐标系计算．
我们建立曲线的极坐标方程：$r=2 \cos \theta$ ，则

$$
\theta \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right], \quad \mathrm{d} l=\sqrt{\left(r^{\prime}(\theta)\right)^2+r^2(\theta)} \mathrm{d} \theta=2 \mathrm{~d} \theta .
$$

因此，代人公式计算得

$$
I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} r(\theta) 2 \mathrm{~d} \theta=4 \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta \mathrm{~d} \theta=\left.4 \sin \theta\right|_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}}=8 .
$$

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