最后更新: 2026-04-22 21:34 查看: 22 次纠错评论(0) 课件开VIP

商映时

## 2.2 商映射

商映射和商空间是密切相关的概念．可以说它们是从不同的角度看同一事物．商映射是从映射的角度观察，更有利于加深认识。

**定义3.2** 设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间，映射 $f: X \rightarrow Y$ 称为**商映射**，如果
（1）$f$ 连续；
（2）$f$ 是满的；
（3）设 $B \subset Y$ ，如果 $f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的开集，则 $B$ 是 $Y$ 的开集．
注意到 $f^{-1}\left(B^{\mathrm{c}}\right)=\left(f^{-1}(B)\right)^{\mathrm{c}}$ ，于是，$f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的开集 $\Longleftrightarrow f^{-1}\left(B^c\right)$ 是 $X$ 的闭集．由此容易推出（3）等价于：设 $F \subset Y$ ，如果 $f^{-1}(F)$ 是 $X$ 的闭集，则 $F$ 是 $Y$ 的闭集。
（1）与（3）合在一起也就是：$B$ 是 $Y$ 的开集 $\Longleftrightarrow f^{-1}(B)$ 是 $X$的开集。当 $X / \sim$ 是 $X$ 的一个商空间时，粘合映射 $p: X \rightarrow X / \sim$ 满足此条件，并且是满映射，因此是商映射。

分析定理3．1的证明，用到的正好就是 $p$ 是商映射这个性质．因此定理3．1可以改写为

**定理3.1a** 若 $f: X \rightarrow X^{\prime}$ 是商映射，$g: X^{\prime} \rightarrow Y$ 是一映射，则 $g$ 连续 $\Longleftrightarrow g \circ f$ 连续．

任给映射 $f: X \rightarrow Y$ ，规定 $X$ 中等价关系 $f$ 如下：$\forall x, x^{\prime} \in X$ ，若 $f(x)=f\left(x^{\prime}\right)$ ，则说 $x$ 与 $x^{\prime} \mathcal{\sim}^f$ 等价，记作 $x \mathcal{f}^f x^{\prime}$ ．

**命题3.1** 如果 $f: X \rightarrow Y$ 是商映射，则 $X / \stackrel{f}{\sim} Y$ ．
证明 记 $p: X \rightarrow X / \stackrel{f}{\sim}$ 是粘合映射．由 $f$ 的意义显然有一一对应 $g: X / \stackrel{f}{\sim} Y$ ，使得 $g \circ p=f$ ，等价地 $g^{-1} \circ f=p$ ．分别用定理3．1和3．1a，得到 $g$ 和 $g^{-1}$ 的连续性。因此 $g$ 是同胚。

命题说明，当 $f: X \rightarrow Y$ 是商映射时，$Y$ 可看作 $X$ 的一个商空间，而 $f$ 也就是相应的粘合映射．

**命题3.2** 连续的满映射 $f: X \rightarrow Y$ 如果还是开映射或闭映射，则它是商映射．

证明 $f$ 已满足（1）和（2）．当 $f$ 是开映射时，如果 $f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的开集，则 $B=f\left(f^{-1}(B)\right)$（由（2））是 $Y$ 的开集，因此（3）成立。当 $f$ 是闭映射时，可类似地证明（3）的等价条件．

例如，乘积空间 $X \times Y$ 到 $X$ 的投射 $j$ 是满的连续开映射，从而它是商映射。（一般来说它不是闭映射．）

下面是一个实用价值很大的判定商映射的充分条件．
**定理3.2** 如果 $X$ 紧致，$Y$ 是 Hausdorff 空间，则连续满映射 $f: X \rightarrow Y$ 一定是商映射。

证明 设 $A$ 是 $X$ 的闭集，则 $A$ 紧致，从而 $f(A)$ 紧致。由于 $Y$是 Hausdorff 空间，$f(A)$ 是 $Y$ 的闭集．于是 $f$ 是闭映射．再用命题 $3.2, f$ 是商映射．

从定义容易看出，单一的商映射就是同肧．于是定理 3.2 就是定理2． 6 的推广。它们的证明方法是类似的．

**命题3.3** 商映射的复合也是商映射。
证明 设 $f: X \rightarrow Y$ 和 $g: Y \rightarrow Z$ 都是商映射．$g \circ f$ 显然是满的连续映射．设 $C \subset Z$ ，使得 $(g \circ f)^{-1}(C)$ 是开集．由 $f$ 是商映射和 $f^{-1}\left(g^{-1}(C)\right)=(g \circ f)^{-1}(C)$ ，得出 $g^{-1}(C)$ 是开集，再从 $g$ 是商映射推出 $C$ 是开集．因此 $g \circ f$ 满足条件（3）．

## 2.3 应用举例

`例` 如图 3．10（a）所示粘接矩形的两双对边，得到环面 $T^2$ ．

![图片](/uploads/2026-01/b31fa3.jpg)
 
 分两步实现粘合．先粘接上下边对 $a$ ，成一圆柱面，边对 $b$ 成为它的两个截口．再粘接这两个截口得到 $T^2$ ．两次粘合映射的复合是从矩形到 $T^2$ 的商映射，它恰好实现所要求的粘合。

类似地，图3．10（b）所示的粘合把矩形变为 Klein 瓶。

`例`记 $S^1$ 为 $D^2$ 的边界圆周，则 $D^2 / S^1 \cong S^2$ 。也就是说把 $D^2$的边界捏为一点得到球面 $S^2$ ．

作 $f: D^2 \rightarrow S^2$ 为

$$
f\left(r \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \pi \theta}\right)=(2 \sqrt{r(1-r)} \cos \theta, 2 \sqrt{r(1-r)} \sin \theta, 2 r-1),
$$

则 $f$ 满、连续，并且 $D^2$ 紧致，$S^2$ 是 Hausdorff 空间，从而 $f$ 是商映射．不难看出，丘就是实现捏合 $S^1$ 为一点的等价关系．于是，$D^2 / S^1 =D^2 / \underline{f} \cong S^2$ 。

`例` 把平环 $X$ 的一条边界上的对径点都粘合，得到 Möbius带
 ![图片](/uploads/2026-01/12d9ca.jpg)
 
 如图 3－11 所示，记所得空间为 $Y$ ，相应的粘合映射为 $p . X$ 是两个矩形 I和 I 沿 $a$ 和 $b$ 粘接所得商空间。于是 $Y$ 是 I 和 II 粘接 $a, b$ 和 $c$ 三对边所得商空间。如果先沿 $c$ 把 I 和 I 粘接为一个矩形，再粘接 $a b$（它们已连接起来）边对，得到的是 Möbius 带，它也是 I 和 II 粘接边对 $a, b, c$ 所得的商空间。因此 $Y$ 是 Möbius 带．

`例`将三角形两边＂同向＂地粘接（图 3－12）得什么空间？

![图片](/uploads/2026-01/dc92ec.jpg)
 
 类似于例 3 ，先将三角形分割为两个小三角形，沿 $a$ 将它们粘接为一个矩形，再把分割线 $b$ 粘接，得到 Möbius 带．因此所得空间为 Möbius 带。

下面讨论射影平面．按射影几何中的定义， $\boldsymbol{E}^3$ 中的中心直线把就是射影平面．设把的中心为原点 $O$ ．规定度量 $\rho\left(l_1, l_2\right)=l_1$ 与 $l_2$ 的夹角．于是射影平面成为度量空间，记作 $P^2$ ．

我们来说明 $P^2$ 的其他几种形式（包括 § 1 中给出的形式）。
设 $S^2$ 为单位球面。作映射 $f: S^2 \rightarrow P^2$ 为：$\forall x \in S^2, f(x)$ 是由 $x$ 与原点 $O$ 决定的直线，则 $f$ 是商映射．$f$ 就是把 $S^2$ 上的每对对径点看成一个等价类．因此 $S^2$ 上粘合每一对对径点，所得商空间就是 $P^2$ ．

作 $g: D^2 \rightarrow S^2$ 为 $g(x, y)=\left(x, y, \sqrt{1-x^2-y^2}\right)$ ，则 $f \circ g: D^2 \rightarrow P^2$ 也是商映射，因此 $D^2$ 上粘合 $S^1$ 的各对对径点得到 $P^2$

![图片](/uploads/2026-01/1fe0ad.jpg)
 
 因为矩形同胚于 $D^2$ ，因此如图 3－14 那样粘接矩形两双对边也得到 $P^2$ 。

![图片](/uploads/2026-01/109b30.jpg)

`例`沿边界，将 Möbius 带与 $D^2$ 粘合在一起，商空间就是 $P^2$ 。 例3说明 Möbius 带是平环粘合外边界上对径点所得商空间．因此 $X$ 是平环的外边界粘合对径点，内边界粘接一圆盘所得空间（图 3－15）．如先粘接圆盘，则可看出X是$P^2$

![图片](/uploads/2026-01/741c84.jpg)

## 2.4 关于商映射的一个定理
设 $f_i: X_i \rightarrow Y_i(i=1,2)$ 是映射．规定映射

$$
f_1 \times f_2: X_1 \times X_2 \rightarrow Y_1 \times Y_2
$$

为 $\left(f_1 \times f_2\right)\left(x_1, x_2\right)=\left(f_1\left(x_1\right), f_2\left(x_2\right)\right)$ 。显然，当 $f_1$ 和 $f_2$ 都满时 $f_1 \times f_2$ 也满，当 $f_1$ 和 $f_2$ 都连续时 $f_1 \times f_2$ 也连续。如果 $f_1$ 和 $f_2$ 都是商映射时，$f_1 \times f_2$ 是否也是商映射？一般地，这是不成立的．只有在一定的条件下才成立。

定理3．3 设 $f: X \rightarrow Y$ 是商映射，$Z$ 是局部紧致的 Haus－ dorff 空间，id：$Z \rightarrow Z$ 表示恒同映射，则

$$
f \times \mathrm{id}: X \times Z \rightarrow Y \times Z
$$

也是商映射．
证明 记 $F=f \times \mathrm{id}$ ．它显然是连续满映射．只须验证商映射的条件（3），即当 $W \subset Y \times Z$ 使得 $F^{-1}(W)$ 是开集时，验证 $W$ 是开集．任取 $\left(y_0, z_0\right) \in W$ ，要证明它是 $W$ 的内点．

取 $x_0 \in f^{-1}\left(y_0\right)$ ，则 $\left(x_0, z_0\right) \in F^{-1}(W)$ 。因为 $F^{-1}(W)$ 是开集，所以有 $z_0$ 的邻域 $B$ ，使得 $\left\{x_0\right\} \times B \subset F^{-1}(W)$ ，即 $\left\{y_0\right\} \times B \subset W$ 。由于 $Z$ 是局部紧致 Hausdorff 空间，可不妨设 $B$ 是紧致的（命题 2.20 中（2））。

规定 $Y$ 的子集 $V:=\{y \in Y \mid\{y\} \times B \subset W\}$ ，则 $y_0 \in V$ ，并且 $V \times B \subset W$ 。如果 $f(x)=y$ ，则 $F(\{x\} \times B)=\{y\} \times B$ ，从而 $y \in V \Longleftrightarrow\{x\} \times B \subset F^{-1}(W)$ ．规定 $U=f^{-1}(V)$ ，则 $U=\{x \in X \mid\{x\} \times \left.B \subset F^{-1}(W)\right\}$ 。

由于 $B$ 紧致，$F^{-1}(W)$ 是开集，根据第二章§ 3 中 3.5 的引理， $\forall x \in U$ ，则 $\{x\} \times B \subset F^{-1}(W)$ ，有 $x$ 的邻域 $U_x$ ，使得 $U_x \times B \subset F^{-1}(W)$ ，即 $U_x \subset U$ 。这样 $U$ 是开集．由于 $f$ 是商映射，$V$ 也是开集。于是 $\left(y_0, z_0\right)$ 是 $V \times B$ 的内点，从而也是 $W$ 的内点。
$\boldsymbol{E}^1$ 和 $I$ 都是局部紧致的 Hausdorff 空间．以后我们常在 $Z= \boldsymbol{E}^1$ 或 $\boldsymbol{I}$ 的情况下应用此定理．

## 理解：商映射
“商映时”应该是“**商映射**”的笔误。在拓扑学里，理解商映射的关键，在于抓住它**定义新空间的方式**：把原空间中的某些点“粘合”成一个新点。

我们可以分三步来建立直观：

### 1. 核心操作：粘合与商集

想象你有一个橡皮平面 $ X $。你在上面画一些点或线，然后说：“这些点我都当它们是同一个点”。这个操作就叫**粘合**。把所有被粘合的点看作一个“新点”，得到的全体新点构成的集合就是**商集**。

-   **例子**：把闭区间 $[0,1]$ 的两个端点 $0$ 和 $1$ 粘在一起。直观上，这个区间就变成了一个圆 $S^1$。原来区间里的每个点（除了端点）都还是一个点；而端点 $0$ 和 $1$ 则共同变成了圆上的一个点。

### 2. 商映射：从原空间到商集的投影

有一个自然的映射 $ p: X \to Y $ 把 $ X $ 的每个点 $ x $ 送到它所在的“粘合类”。这个 $ Y $ 就是商集，$ p $ 就是**商映射**。

-   **连续**：商映射必须是连续的。这保证了粘合过程不会撕裂原空间。
-   **识别开集**：商映射最关键的性质是：**商空间里一个集合是开的，当且仅当它在原空间的原像是开的**。

这看起来有点抽象，但可以理解为：**商空间的开集，完全由原空间的开集来定义**。我们不凭空创造商空间的开集，而是看原空间里哪些开集在粘合后变成了新的开集。

### 3. 一个简单例子帮你建立直觉

**例子**：把区间 $[0,1]$ 的两个端点粘成圆。

-   **原空间** $ X = [0,1] $
-   **商空间** $ Y = S^1 $（圆）
-   **商映射** $ p(x) = e^{2\pi i x} $

现在看这个性质“$ U \subset Y $ 开 $\iff p^{-1}(U) \subset X $ 开”：

-   在圆上取一个小的开弧 $ U $（比如不包含粘合点的那段）。它的原像 $ p^{-1}(U) $ 是区间内一段开区间，确实是开的。成立。
-   在圆上取一个包含粘合点（即圆上 $1$ 这个点）的小开弧 $ U $。它的原像会是什么呢？是**两段**小开区间：一段在 $0$ 附近，一段在 $1$ 附近。这两段并集仍然是开的。成立。
-   **关键检验**：如果有一个集合在 $ Y $ 中看起来很奇怪，比如包含粘合点但不包含它的一小段邻域，那它在 $ X $ 中的原像会是 $0$ 或 $1$ 附近一个不完整的区间，这通常不是开集。因此，这个奇怪的集合在 $ Y $ 中就不是开集。

**结论**：正是这个“开集原像必为开集”的逆向条件，确保了我们给 $ Y $ 赋予的拓扑是**唯一**使得商映射连续的**最强**拓扑（也称为**商拓扑**）。它排除了任何“额外”的开集，保证 $ Y $ 的拓扑完全由 $ X $ 的拓扑和粘合方式决定。

### 总结：一个鉴别技巧

-   **是商映射**：如果 $ p $ 是**开映射**（把开集映成开集）或**闭映射**（把闭集映成闭集）的**连续满射**，那么它一定是商映射。
-   **不是商映射**：一个连续满射，如果它把原空间里的一些开集映射成商空间里**不是开集**的集合（尽管这个像的原像是开的），那它就不是商映射。

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