最后更新: 2026-04-22 21:24 查看: 14 次纠错评论(0) 课件开VIP

商空间

## 商空间与商映射

**2.1 商空间**

设拓扑空间 $X$ 上作某种粘合得到新空间．如果把要粘在一起的点称为互相等价的点，$X$ 上就有了一个等价关系，每个等价类被粘合为新空间上的一个点。因此新空间的集合就是等价类的集合。一般地，一个集合 $X$ 上如果有等价关系 $\sim$ ，相应的等价类的集合记作 $X / \sim$ ，称为 $X$ 关于 $\sim$ 的**商集**．把 $X$ 上的点对应到它所在等价类，得到映射 $p: X \rightarrow X / \sim$ ，称为**粘合映射**．设 $X$ 已有了拓扑，现在我们来规定 $X / \sim$ 上的一个拓扑。

**定义3.1** 设 $(X, \tau)$ 是拓扑空间，$\sim$ 是集合 $X$ 上的一个等价关系。规定商集 $X / \sim$ 上的子集族

$$
\widetilde{\tau}:=\left\{V \subset X / \sim \mid p^{-1}(V) \in \tau\right\},
$$

则 $\widetilde{\tau}$ 是 $X / \sim$ 上的一个拓扑（请读者自己验证），称为 $\tau$ 在 $\sim$ 下的**商拓扑**，称 $(X / \sim, \tilde{\tau})$ 是 $(X, \tau)$ 关于 $\sim$ 的**商空间**。
以后，我们在不致产生误解的情况下，把 $(X / \sim, \widetilde{\tau})$ 简单记作 $X / \sim$ 。

按照定义，$X / \sim$ 的开集也就是在 $p$ 之下原像是 $X$ 中开集的那些子集．显然 $p: X \rightarrow X / \sim$ 是连续的；并且，如果集合 $X / \sim$ 上另有拓扑 $\tau^{\prime}$ 使得 $p$ 连续，则 $\tau^{\prime} \subset \widetilde{\tau}$ 。因此 $\widetilde{\tau}$ 是 $X / \sim$ 上使得粘合映射 $p$连续的**最大的拓扑**。

**定理3.1** 设 $X, Y$ 是两个拓扑空间，$\sim$ 是 $X$ 上的一个等价关系，$g: X / \sim \rightarrow Y$ 是一映射．则 $g$ 连续 $\Longleftrightarrow g \circ p$ 连续．

证明 ⟹．由于 $p$ 连续，当 $g$连续时，复合映射 $g \circ p$ 也连续（见右图所示的交换图表）．

![图片](/uploads/2026-01/589a56.jpg)

<= ．须要对 $Y$ 的任一开集 $V$ ，验证 $g^{-1}(V)$ 是 $X / \sim$ 的开集。这是因为 $p^{-1}\left(g^{-1}(V)\right)=(g \circ p)^{-1}(V)$ 是 $X$ 的开
集（根据 $g \circ p$ 连续），按商拓扑的定义，$g^{-1}(V)$ 确是开集。

现在用商空间的观点来看 § 1 中的＂粘合＂方法．以环面 $T^2$ 为例．记 $X$ 是用来粘制 $T^2$ 的圆柱面．粘合过程规定了从 $X$ 到 $T^2$ 的连续映射 $f$ 。记～是粘合决定的等价关系，$g: X / \sim \rightarrow T^2$ 是相应的一一对应关系，于是 $f=g \circ p$ 。因为 $f$ 连续，所以 $g$ 连续（定理 3.1 ）．由于 $X$ 紧致和 $p$ 连续，$X / \sim$ 是紧致的，而 $T^2$ 是 Hausdorff空间。根据定理2．6，连续的一一对应 $g$ 是同胚．这就是说，在拓扑意义上看，$T^2$ 就是商空间 $X / \sim$ 。这样，我们就可以完全摆脱直观，直接用商空间概念来理解 § 1 中所说的粘合方法了．像射影平面那样不好理解的粘合制作法也就有了明确的意义．反过来粘合法就是商空间这个抽象概念的直观背景。

下面用商空间概念规定一种常用的空间．
设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集（通常是闭子集），把 $A$ 捏为一点（也就是将 $A$ 看作一个等价类，别的点各自成一等价类），得到的商空间记作 $X / A$ ．
对任一拓扑空间 $X$ ，记 $C X:=X \times I / X \times\{1\}$ ，称为 $X$ 上的**拓扑锥**。

如果 $X \subset \boldsymbol{E}^n$ ，取 $a \in \boldsymbol{E}^{n+1} \backslash \boldsymbol{E}^n$ ，规定 $\boldsymbol{E}^{n+1}$ 的子集

$$
a X:=\{t a+(1-t) x \mid t \in I, x \in X\},
$$

称为 $X$ 上以 $a$ 为顶点的**几何锥**．
如果 $X$ 是 $\boldsymbol{E}^n$ 的紧致子集，则 $a X \cong C X$ 。（习题 10）．

## 理解：商空间

先一句话总结：
**商空间 = 把拓扑空间里你指定的一些点“粘在一起、捏成同一个点”，得到的新拓扑空间。**

拓扑学核心就是**粘连、粘合、折叠、捏合**，商空间就是严格数学版的“捏橡皮泥”。

---

## 1. 先从集合开始：等价关系 & 等价类
设原来的空间是  $X $（比如一根线段、一个圆盘、正方形）。
我们在  $X $ 上定义一个**等价关系  $\sim $**：
规定哪些点是“一样的、要粘起来的”。

- 互相等价的点组成一个**等价类**
- 商集  $X/\sim $：**把每个等价类看成一个新点**

例子：线段  $X=[0,1] $
规定：**0 和 1 粘在一起**，其余点自己是自己。
等价类： $\{0,1\},\;\{x\}(0<x<1) $
商集就是：把线段两头捏在一起 → 一个**圆圈  $S^1 $**。

这就是最经典商空间。

---

## 2. 拓扑学关键：商拓扑（不是随便粘）
光集合粘完还不够，拓扑空间必须有**开集**。

商空间  $X/\sim $ 的开集定义：
> 一个集合  $U\subset X/\sim $ 是开集
>  $\iff $
> 把  $U $ 里所有“粘在一起的原点点”放回原来空间  $X $，得到的集合是**原空间开集**。

通俗说：
**粘连之后的开集，必须和原来空间的开集“兼容”，不能乱定义。**

有一个自然映射：
$$
\pi:X\to X/\sim,\quad
\pi(x)=\text{点}x\text{粘成的新点}
$$
叫**商投影**。
商拓扑就是让  $\pi $ **连续**的最强拓扑。

---

## 3. 拓扑里最经典的商空间例子（一定要看懂）
### 例1：线段粘两端 → 圆周
 $X=[0,1],\;0\sim1 $
$$
X/\sim \;\cong\; S^1
$$

### 例2：正方形对边同向粘合 → 环面（轮胎面）
正方形上下边同向粘，左右边同向粘
$$
\text{正方形}/\sim \;\cong\; T^2\text{环面}
$$

### 例3：正方形对边反向粘合 → 克莱因瓶
左右边反向粘，上下正向粘
非可定向曲面，经典商空间。

### 例4：把圆盘边界全部捏成一点 → 球面
圆盘边界圆周  $\partial D^2 $ 全部等价、粘成一个点
$$
D^2/\partial D^2 \;\cong\; S^2
$$

---

## 4. 一句话本质定义（考试背诵版）
设  $(X,\tau) $ 是拓扑空间， $\sim $ 是  $X $ 上等价关系，
记  $Y=X/\sim $，投影  $\pi:X\to Y $。
定义  $Y $ 上子集族：
$$
\tau_\sim=\{\,U\subset Y\,\big|\,\pi^{-1}(U)\in\tau\,\}
$$
则  $(Y,\tau_\sim) $ 称为**拓扑空间  $X $ 关于等价关系  $\sim $ 的商空间**。

---

## 5. 直观总结（完全不抽象版）
1. 原来空间：橡皮泥
2. 等价关系：你决定**哪几个点捏在一起**
3. 商集：捏完之后新的点集合
4. 商拓扑：保证捏的过程**连续、不撕裂、不剪断**
5. 商空间 = **连续粘合得到的新拓扑空间**

拓扑学几乎所有曲面、流形、CW复形，**全部都是商空间构造出来的**。

**需要小心的地方**
商空间的拓扑可能比想象的“更粗”（开集更少），因为需要原像开。
即使 X 是度量空间，商空间不一定可度量。
商映射的积不一定是商映射（需额外条件，如局部紧）。

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