最后更新: 2026-01-04 06:35 查看: 3 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

商空间

§ 2 商空间与商映射
2.1 商空间

设拓扑空间 $X$ 上作某种粘合得到新空间．如果把要粘在一起的点称为互相等价的点，$X$ 上就有了一个等价关系，每个等价类被粘合为新空间上的一个点。因此新空间的集合就是等价类的集合。一般地，一个集合 $X$ 上如果有等价关系 $\sim$ ，相应的等价类的集合记作 $X / \sim$ ，称为 $X$ 关于 $\sim$ 的商集．把 $X$ 上的点对应到它所在等价类，得到映射 $p: X \rightarrow X / \sim$ ，称为粘合映射．设 $X$ 已有了拓扑，现在我们来规定 $X / \sim$ 上的一个拓扑。

定义3．1 设 $(X, \tau)$ 是拓扑空间，$\sim$ 是集合 $X$ 上的一个等价关系。规定商集 $X / \sim$ 上的子集族

$$
\widetilde{\tau}:=\left\{V \subset X / \sim \mid p^{-1}(V) \in \tau\right\},
$$

则 $\widetilde{\tau}$ 是 $X / \sim$ 上的一个拓扑（请读者自己验证），称为 $\tau$ 在 $\sim$ 下的商拓扑，称 $(X / \sim, \tilde{\tau})$ 是 $(X, \tau)$ 关于 $\sim$ 的商空间。
以后，我们在不致产生误解的情况下，把 $(X / \sim, \widetilde{\tau})$ 简单记作 $X / \sim$ 。

按照定义，$X / \sim$ 的开集也就是在 $p$ 之下原像是 $X$ 中开集的那些子集．显然 $p: X \rightarrow X / \sim$ 是连续的；并且，如果集合 $X / \sim$ 上另有拓扑 $\tau^{\prime}$ 使得 $p$ 连续，则 $\tau^{\prime} \subset \widetilde{\tau}$ 。因此 $\widetilde{\tau}$ 是 $X / \sim$ 上使得粘合映射 $p$连续的最大的拓扑。

定理 3.1 设 $X, Y$ 是两个拓扑空间，$\sim$ 是 $X$ 上的一个等价关系，$g: X / \sim \rightarrow Y$ 是一映射．则 $g$ 连续 $\Longleftrightarrow g \circ p$ 连续．

证明 ⟹．由于 $p$ 连续，当 $g$连续时，复合映射 $g \circ p$ 也连续（见右图所示的交换图表）．

![图片](/uploads/2026-01/589a56.jpg)

<= ．须要对 $Y$ 的任一开集 $V$ ，验证 $g^{-1}(V)$ 是 $X / \sim$ 的开集。这是因为 $p^{-1}\left(g^{-1}(V)\right)=(g \circ p)^{-1}(V)$ 是 $X$ 的开
集（根据 $g \circ p$ 连续），按商拓扑的定义，$g^{-1}(V)$ 确是开集。

现在用商空间的观点来看 § 1 中的＂粘合＂方法．以环面 $T^2$ 为例．记 $X$ 是用来粘制 $T^2$ 的圆柱面．粘合过程规定了从 $X$ 到 $T^2$ 的连续映射 $f$ 。记～是粘合决定的等价关系，$g: X / \sim \rightarrow T^2$ 是相应的一一对应关系，于是 $f=g \circ p$ 。因为 $f$ 连续，所以 $g$ 连续（定理 3.1 ）．由于 $X$ 紧致和 $p$ 连续，$X / \sim$ 是紧致的，而 $T^2$ 是 Hausdorff空间。根据定理2．6，连续的一一对应 $g$ 是同胚．这就是说，在拓扑意义上看，$T^2$ 就是商空间 $X / \sim$ 。这样，我们就可以完全摆脱直观，直接用商空间概念来理解 § 1 中所说的粘合方法了．像射影平面那样不好理解的粘合制作法也就有了明确的意义．反过来粘合法就是商空间这个抽象概念的直观背景。

下面用商空间概念规定一种常用的空间．
设 $A$ 是拓扑空间 $X$ 的一个子集（通常是闭子集），把 $A$ 捏为一点（也就是将 $A$ 看作一个等价类，别的点各自成一等价类），得到的商空间记作 $X / A$ ．
对任一拓扑空间 $X$ ，记 $C X:=X \times I / X \times\{1\}$ ，称为 $X$ 上的拓扑锥。

如果 $X \subset \boldsymbol{E}^n$ ，取 $a \in \boldsymbol{E}^{n+1} \backslash \boldsymbol{E}^n$ ，规定 $\boldsymbol{E}^{n+1}$ 的子集

$$
a X:=\{t a+(1-t) x \mid t \in I, x \in X\},
$$

称为 $X$ 上以 $a$ 为顶点的几何锥．
如果 $X$ 是 $\boldsymbol{E}^n$ 的紧致子集，则 $a X \cong C X$ 。（习题 10）．
2.2 商映射

商映射和商空间是密切相关的概念．可以说它们是从不同的角度看同一事物．商映射是从映射的角度观察，更有利于加深认识。

定义 3.2 设 $X$ 和 $Y$ 是拓扑空间，映射 $f: X \rightarrow Y$ 称为商映射，如果
（1）$f$ 连续；
（2）$f$ 是满的；
（3）设 $B \subset Y$ ，如果 $f^{-1}(B)$ 是 $X$ 的开集，则 $B$ 是 $Y

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