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辗转相除法-公因式与最高公因式

## 一、公因式与最高公因式
在小学算术中，我们已经知道：如果一个整数 $c$ ，同时是整数 $a$ 和 $b$ 的约数，那么，$c$ 就叫做 $a 、 b$ 的公约数（公因数）．例如： 3 就是 12 和 18 的公约数．当然，两个整数的公约数还可以有许多，如： $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ 都是 12 和 18 的公约数（公因数）．

两个数 $a 、 b$ 的公约数中，最大的一个 $d$ ，叫做这两个数的最大公约数．记作 $(a, b)=d$ 。 例如：$(12,18)=6$ 。

如果两个数 $a 、 b$ 的最大公约数 $(a, b)=1$ ，那么，我们称 $a 、 b$ 是两个互质的数，例如：
$\because \quad(3,5)=1, \quad \therefore \quad 3$ 与 5 是互质的
要求两个数的最大公约数，只要将它们分解为质因数，选出它们所有的公约数的最低次方连乘即可。

例如，求 $(168,756)$

![图片](/uploads/2026-04/1a5e91.jpg)
 
 对于多项式，我们有类似的概念：如果一个多项式 $h(x)$ ，同时是两个多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的因式，那么，$h(x)$ 就叫做 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公因式．例如：$x-1$就是 $x^2-1$ 和 $x^3-1$ 的公因式．两个多项式的公因式可以有许多，如 $x-1$ ， $x+1, x^2-1$ 都是 $x^2-1, x^4+x^3-x-1$ 的公因式．特别注意，任何一个非零数（即零次多项式），都是 $x^2-1, x^4+x^3 x-1$ 的公因式．

在两个多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的所有公因式中，次数最高的公因式 $d(x)$ ，就叫做这两个多项式的最高公因式，记作：$(f(x), g(x))=d(x)$ ．

例如：$f(x)=6 x^4-6 x^2=6 x^2(x+1)(x-1), g(x)=3 x^2-3=3(x+1)(x-1)$
因而可知： 1,3 ，任一非零数 $a, x+1, x-1,2 x+2, \cdots \cdots$ 以及 $x^2-1= (x+1)(x-1), 5 x^2-5=5(x+1)(x-1), \cdots \cdots$ 都是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公因式．这里也可以看出：公因式中，次数最高的也不只一个：$x^2-1,5 x^2-5, \frac{1}{3} x^2-\frac{1}{3}$ 等都是 $f(x), g(x)$ 的最高公因式。

但注意：这些最高公因式之间，只是相差一个常数倍（零次多项式），因此，我们约定：在求两个多项式的最高公因式时，零次公因式（常数）不必考虑，只要各非零次项系数化为最简即可。如在上例中，

$$
(f(x), g(x))=(x+1)(x-1)=x^2-1
$$

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