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多项式的加法与乘法

##  二、多项式的加法与乘法
关于多项式的加法与乘法，我们在初中就已经学过. 两个多项式进行加法运算的要点是合并同类项，其运算结果叫做这两个多项式的和；两个多项式进行乘法运算的要点是利用分配律和指数运算律，其运算结果叫做这两个多项式的积。

回忆已学过的多项式加法与乘法运算，我们可系统归纳如下：
### （一）加法与乘法的封闭性
系数在同一个数系范围内的两个多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的和 $f(x)+g(x)$ 与积 $f(x) g(x)$ 仍然是一个多项式, 而且它们的系数仍在原来数系范围内. 这就是多项式加法与乘法的封闭性。

例如，两个有理系数多项式

$$
f(x)=2 x^3+\frac{1}{2} x^2-x+1, \quad g(x)=3 x^2+2 x-3
$$

的和与积

$$
\begin{aligned}
f(x)+g(x) & =2 x^3+\frac{7}{2} x^2-5 x-2 \\
f(x) g(x) & =6 x^5+\frac{11}{2} x^4-26 x^3-\frac{25}{2} x^2+23 x-3
\end{aligned}
$$

都是有理系数多项式.

### （二）多项式的加法与乘法的基本性质
对于一元多项式的加法与乘法，有以下性质：
**1. 满足结合律**, 即对于任意多项式 $f(x), g(x), h(x)$ 总有

$$
\begin{aligned}
{[f(x)+g(x)]+h(x) } & =f(x)+[g(x)+h(x)] \\
{[f(x) \cdot g(x)] \cdot h(x) } & =f(x) \cdot g(x) \cdot[h(x)]
\end{aligned}
$$

这就使我们在进行加或乘法的运算中，可以省略括号而按任何顺序进行.
**2. 满足交换律**, 即

$$
f(x)+g(x)=g(x)+f(x) \quad f(x) \cdot g(x)=g(x) \cdot f(x)
$$

这就使我们在进行加或乘法的运算中，可以任意交换参加运算的多项式的位置。

**3. 满足乘法对加法的分配律**, 即

$$
f(x) \cdot[g(x)+h(x)]=f(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot h(x)
$$

或者

$$
[f(x)+g(x)] \cdot h(x)=f(x) \cdot h(z)+g(x) \cdot h(x)
$$

**4. 存在零多项式**. 与零次多项式 1 , 对任意多项式 $f(x)$, 它们满足以下特性:

$$
\begin{aligned}
0+f(x) & =f(x)+0=f(x) \\
0 \cdot f(x) & =f(x) \cdot 0=0 \\
1 \cdot f(x) & =f(x) \cdot 1=f(x)
\end{aligned}
$$

**5. 对于任意多项式**

$$
f(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0
$$

总存在一个多项式 $-f(x)$,

$$
-f(x)=-a_n x^n+\left(-a_{n-1}\right) x^{n-1}+\cdots+\left(-a_1\right) x+\left(-a_0\right)
$$

使得 $[-f(x)]+f(x)=f(x)+[-f(x)]=0$, 我们把这个多项式 $-f(x)$ 称为多项式 $f(x)$ 的负多项式。
例如，多项式 $g(x)=\sqrt{2} x^2-x^3$ 的负多项式就是

$$
-g(x)=-\sqrt{2} x^2+x^3
$$
### （三）两多项式的和与积的次数
设 $f(x)$ 是 $n$ 次多项式, $g(x)$ 是 $m$ 次多项式, 那么它们的和 $f(x)+g(y)$也是一个多项式，这个多项式的次数 $p$ 有以下几种情形：
- 当 $m \neq n$ 时, $p=\max \{m, n\}$
- 当 $m=n$ 时, $p \leq n$

特别地, 当 $f(x)=-g(x)$ 时, $f(x)+g(x)$ 为零多项式, 它不定义次数.

两多项式的积 $f(x) \cdot g(x)$ 也是一个多项式，这个多项式的次数 $q=m+n$ ；特别地, 当 $f(x), g(x)$ 之中至少有一为零多项式时, $f(x) \cdot g(x)=0$, 它不定义次数。

### (四) 两个多项式的减法
两多项式的减法运算结果, 叫做两多项式的差, 记为 $f(x)-g(x)$, 其意义为

$$
f(x)-g(x)=f(x)+[-g(x)]
$$

由于负多项式 $-g(x)$ 的存在及多项式加法封闭性, 因而 $f(x)-g(x)$ 仍是一个多项式，所以多项式对减法也是封闭的.又因为，

$$
[f(x)-g(x)]+g(x)=f(x)
$$

所以，多项式的减法是加法的逆运算。
以上各条可知，系数在指定数系范围内的多项式集合，对加、减、乘三种运算都是封闭的，而且对加、乘运算也有着像数系运算通性那样的良好性质，这就大大方便了运算.

对于多元多项式也可以作类似的整理, 归纳, 这里仅着重指出:
1. 多元多项式的每一项的次数，是指所含各个元的指数之和；一个多项式的次数，是指所含各项次数中的最大数.
2. 如果一个多元多项式的各项次数都相等, 那么, 这个多项式就叫做齐次多项式。
例如: $f(x, y)=x^3-2 x^2 y+3 y^3$ 叫二元三次齐次多项式; $f(x, y, z)=$ $x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x$ 叫做三元二次齐次多项式.
3. 两个齐次多项式的乘积，仍是一个齐次多项式；但两个齐次多项式的和,却不一定还是齐次多项式.

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