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欧几里得几何与双曲几何、球面几何

## 欧几里得几何与双曲几何
微分几何是微积分在弯曲空间几何中的应用．但是，要理解弯曲的空间，我们首先要理解**平坦**的空间。

我们生活在一个充满弯曲物体的自然世界里．如果有孩子问＂平坦＂这个词是什么意思，我们多半会用＂不带弯曲＂来回答：一个没有隆起或凹陷的光滑表面．然面，最早的数学家就已经被平面的简单性和均匀性所吸引，他们发现了平面上几何图形的一些非常漂亮的性质，其中一些在后来被看作平面平坦性的特征。

在这些性质中，最早被发现意义最深远的性质之一就是勾股定理．这是一个看似只与数有关的事实：

$$
3^2+4^2=5^2 .
$$

![图片](/uploads/2026-05/43b780.jpg){width=300px}
 
 
 实际上，它却具有几何意义，如图 1－1 所示．当古人发现它时一定感到了敬畏，当然，今天任何敏感的人也会感到敬畏。

公元前500年左右，当毕达哥拉斯还生活在希腊的时候，以他的名字命名的定理其实早已经在世界几个不同的地方被发现了。这方面已知最早的例证是在现在的伊拉克出土的巴比伦泥板，上面有大约公元前 1800 年的文字（编目为＂普林顿 322＂），如图 1－2 所示．

![图片](/uploads/2026-05/960c1f.jpg){width=400px}

这块泥板上列出了毕达哥拉斯三元组：整数 $(a, b, h)$ ，其中 $h$ 是直角三角形的斜边长，直角边长分别是 $a$ 利 $b$ ，所以 $a^2+b^2=h^2$ 。古人记录的这些数组中，有些大得难以想象，显然不是偶然猜出来的，面是利用某种数学过程解出来的．例如，巴比伦泥板第四行记录的是 $13500^2+12709^2=18541^2$ 。

这些古代结果的背后还隐藏了哪些更为深刻的知识，现在仍不可知．  要找到＂现代＂数学的逻辑演绎法的第一个证据，必须跳到泥板以后1200年左右．学界认为是米利都的**泰勒斯** 在约公元前 600 年首先开创了从已知结论推导出新结论的思想，其中的逻辑链始于少数几个公认的假设（称为**公设**）。在泰勒斯之后又经过了 300 年左右，在欧几里得于约公元前 300 年所著的《几何原本》里，我们找到了这个新方法非常完善的解释。欧几里得在《几何原本》里试图从仅仅五个简单的公设（其中最后一个，即第五公设，是关于平行线的）推导出几何学中的所有结论，从面建立一个清晰、严格、有层次的几何学。

#### 《几何原本》里五大公设
欧几里得给出的五大公设(也叫五大公理)，即公认的假设或公认的道理，这五大公设他们不需要证明也无法证明，由这五大共设推出后续所有的几何定理

``` 
公设1：任意一点到另外任意一点可以画直线
公设2：一条有限线段可以继续延长
公设3：以任意点为心及任意的距离可以画圆
公设4：凡直角都彼此相等
公设5：同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在某一侧的两个内角和小于二直角的和,则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
```
在上面五大公设里，前面4个都很容易理解，但是第5个共设很晦涩也很拗口，因此，很多数学家希望通过前面四个共设推出第五个公设。

![图片](/uploads/2026-05/5daef2.jpg)

如图 1－3 所示，欧几里得第五公设里内角和的定义，如果两条直线不相交，则它们平行．

![图片](/uploads/2026-05/b7f8e4.jpg){WIDTH=300PX}

> **平行公设．经过不在直线 $L$ 上的一点 $p$ ，只存在一条直线 $P$ 与 $L$ 平行**．

但是，这个公设的特征比较复杂，不像前四个公设的那样明显．于是，数学家们试图将这个公设＂开除＂出假设的条件，开始努力证明它只是前四个公设的逻辑结论。

这个令人头痛的问题在以后的2000多年内都未解决．一个又一个世纪过去了，企图证明平行公设的尝试一直没有停止，这种努力的数量和程度到 18 世纪仍有增无减，但都未成功。

在此过程中，还出现了与这个公设等价的一些有用表述．例如，存在不同大小的相似三角形（1663年沃利斯阅述，见 Stillwell，2010）。但是，在欧几里得的《几何原本》中已经有了它最早的等价表述，即每个三角形的内角和等于两直角和，如图 1－3 所示．这也是我们今天还在学校教给孩子的内容．

直到1830年左右，尼古拉•罗巴切夫斯基和亚诺什•波尔约分别宣布发现了全新的几何形式，这才解释了为什么所有证明平行公设的尝试都不成功，从面结束了这个始于近 4000 年前的历程．这种新的几何（现在称为双曲几何）是在新定义的一类平面（现在称为双曲平面）上的几何．在这种几何里，欧几里得的前四个公设仍然成立，面平行公设不成立了，取面代之的是

> **双曲公设．经过点 $p$ ，至少存在两条平行线与 $L$ 不相交． ...(1.1)**

这些先驱探讨了在这个公设的基础之上会有哪些逻辑结果．利用纯粹抽象的论证，他们在这个全新的几何里得到了一大批奇妙的结果，这些结果与欧几里得几何里的大不一样，显得十分怪异．

事实上，在罗巴切夫斯基和波尔约之前，已经有不少人发现了公设（1．1）的一些结论，其中最著名要数萨凯里在 1733 年和兰伯特在 1766 年得到的结果 （见 Stillwell，2010）．但是，他们探讨这些结论的目的是要找出矛盾，以便最终证明他们的信念：欧几里得几何才是唯一的真几何。

萨凯里无疑相信自己已经找到了明显的矛盾，所以出版了《欧几里得无解可击》一书．兰伯特（见图 1－4）的情况就复杂得多，他可能是这个故本里的无名英雄。他的结果深人了新的几何，以至于很可能连他自己有时都不敢相信自己的结果是真实的。不管他的动机和信念是什么 ，兰伯特确实是第一个发现＂在公设（1．1）下，三角形的内价和不等于 $\pi$＂的惊人事实 ，他的结果是接下来第二常的核心内容。

![图片](/uploads/2026-05/15913b.jpg){width=120px}
 约翰·海因里希·兰伯特
 
 尽管如此，罗巴切夫斯基和波尔约在首先意识到（并完全接受他们发现了）一个全新、一致的非欧几何上是实至名归的。但是，对于这个新几何到底意味体什么，可能有什么用，他们也没说．

直到1868年，意大利数学家吹金尼会，贝尔特拉米终于在他的论文《关于非欧几何的一个解释》里令人惊奇地解决了这些受到普遍关注的问题。他具体地解释了什么是双曲几何，成功地为双曲几何建立了直观的稳固基础，使之从此发展起来并产生了丰富的结果。可惜的是，罗巴切夫斯基和波尔约分別于1856年和1860年去世，未能活着见到这一切。

在历史进程中，这门非欧几何在数学的各个分支中都或多或少地出现过，但总是不那么直截了当。亨利•庞加莱是第一个（大约从1882年开始）不仅揭开了这门新几何的伪装，面且认识到了其作用的人，在复分析、微分方程、数论、拓扑学等各个领域中都发挥了双曲几何的威力．在 20 世纪和 21 世纪的数学发展中，双曲几何继续保持着活力和中心地位——瑟斯顿关于三维流形的著作、怀尔斯对费马大定理的证明、佩雷尔曼对庞加莱猜想（即瑟斯顿几何化猜想的一个特殊情形）的证明，仅以此三例就足以说明．

我们将在第二幕展示贝尔特拉米的突破性进展，以及双曲几何的原理．现在，我们希望讨论一种更简单的非欧几何．打实上，古人就已经知道了这种几何．
 
## 1.2球面几何
要建立一门非欧几何，就要拒绝唯一平行线的存在．双曲几何建立在承认存在两条或更多平行线的假设之上，还有一种逻辑上的可能性，就是没有平行线．

> **球面公设．经过点 $p$ ，不存在 $L$ 的平行线，即所有的直线都与 $L$相交 ...(1.2)**．

这样，就有两种非欧几何   ：球面几何和双曲几何．
顾名思义，球面几何可以理解为球面（如果是单位球面，记为 $\mathrm{S}^2$ ）上的几何。我们可以将球面看作地球表面．在这个球面上，连接两点，类似于＂直线＂的是什么？是连接两点的最短路径！例如，你希望从伦敦乘船或乘飞机到组约，最短路径是什么？

古代的航海家已经知道了这个答案：最短路径是大圆上的一段弧，面大圆是用过球心的平面切割球面得到的圆周（例如，赤道就是大圆）。在图 1－5 中，我们选择 $L$ 为赤道，公设（1．2）显然成立：经过点 $p$ 的每一条直线都与 $L$ 相交于一对**对径点**（即球的直径的两个端点）。

在平面上，最短的路径是最直的路径．在球面上也是如此：大圆的轨迹在横穿球面时，既不偏向右侧也不偏向左侧 （其准确的定义以后再讨论）．

![图片](/uploads/2026-05/bf81bf.jpg){width=300px}
 
 还有其他方法不必考虑经过根本无法达到的地球中心的平面即可构建地球上的大圆．例如，在一个地球仪上，你可以将一根细绳的一端固定在伦敦的位置上，然后拉紧细绳，使之紧贴在球面上，并将另一端固定在纽约的位置上，这样就可以沿着这根细绳画出从伦敦到纽约的＂大圆路径＂．绷紧的细绳会自动找到最短、最直的路径——经过这两座城市的大圆被这两座城市分成的两段弧中较短的一段。

有了球面上类似于直线的大圆，我们就可以在球面上＂做几何＂了．例如，给定地球表面上的任意三个点，用大圆的弧段将它们连接起来，就形成了一个＂三角形＂．对于如图 1－6 所示的三角形，一个顶点在北极，另外两个顶点在赤道上．

![图片](/uploads/2026-05/723ba4.jpg){width=300px}
 
 既然古代航海家已经利用非欧球面几何来航行于大洋之上，古代天文学家利用它来绘制夜晚星空的天体图，那么，为什么说罗巴切夫斯基和波尔约发现的非欧几何是新的，又为什么说它是令人震惊的呢？

答案是，那时的球面几何只是将球面看作它所在的三维空间的一部分，只考虑它从三维欧几里得空间遗传下来的性质，根本没有考虑球面内部的二维几何．

如果将球面看作欧几里得平面的替代品，不仅欧几里得第五公设不成立，更多基本公设也可能不成立．例如，欧几里得第一公设＂总是可以画出连接两点的唯一一条直线＂在球面上就有问题了，因为连接两个对径点的有无穷多条球面上的＂直线＂．

同时，罗巴切夫斯基和波尔约的双曲几何更严重地＂冒犯＂了欧几里得几何．在双曲几何里，虽然有我们熟悉的无穷长直线，但是也有很多盾似荒谬的结果，例如平行线的多重性，荒漻的三角形内角和公式，等等． 21 岁的亚诺什 • 波尔约对自己的发现非常自信，兴高采烈地写信给他的父亲：＂我白手起家，创造了另一个全新的世界．＂

最后，讲一个悲剧吧．波尔约的父亲是高斯的朋友，他把儿子亚诺什得出的结果寄给了高斯。那时，高斯自己也在这方面有一些重要发现，但他没有公开发表．无论如何，亚诺什都比高斯看得更远．在全世界享有盛名的数学家高斯公开的一句赞许，就会让这位崭露头角的年轻数学家拥有一个光辉的未来。然面，高斯虽然因先天条件与后天培养面获得了超常的数学天赋，却也有一般人类的缺点．

首先，高斯把老波尔约的信搁置了 6 个月，然后才回复如下：
关于你儿子的工作，当我说我不能给予称赞时，你可能会感到吃惊．但我只能这样说，因为称赞你儿子的工作就是称赞我自己．论文的全部内容，你儿子采用的方法，以及他得到的所有结果，几乎处处都与我自己想的一样，我考虑这些问题有 $30 \sim 35$ 年了．

高斯确实也说了＂感谢＂波尔约的儿子，因为这＂省去了他的麻烦＂  ，否则他不得不将自己已经知道了几十年的那些定理写出来．

遭受高斯的沉重打击后，亚诺什 • 波尔约一直没有恢复过来，并在此后放弃了数学

## 1.3 球面三角形的角盈

我们已经说过，平行公设等价于三角形的内角和为 $\pi$ ．那么，在球面公设和双曲公设所在的几何里，三角形的内角和一定不等于 $\pi$ 。为了量化它们与欧几里得几何的差异，我们引人一个几何概念：角盈 $\mathcal{E}$ ，定义为三角形的内角和与 $\pi$ 的差，即

$$
\boxed{
\mathcal{E} \equiv \text { (三角形的内角和) }-\pi \text {. }
}
$$

例如，在图 1－6 所示的三角形中， $\mathcal{E}=\left(\theta+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right)-\pi=\theta$ ．
现在，比较三角形的角盈和三角形的面积 $\mathcal{A}$ ，得出一个重要结论．设球的半径为 $R$ ．因为三角形与北半球的面积之比为 $\theta / 2 \pi$ ，所以 $\mathcal{A}=(\theta / 2 \pi) 2 \pi R^2=\theta R^2$ ，即

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathcal{E}=\frac{1}{R^2} \mathcal{A} \tag{1.3}
\end{equation*}
}
$$

1603 年，英国数学家托马斯 • 哈里奥特（见图 1－7）发现这个关系对球面上的任何三角形 $\Delta$ 都成立，见图 1－8a。这是一个重要的发现 。我们接下来介绍哈里奥特巧妙的初等论证

![图片](/uploads/2026-05/05397f.jpg){WIDTH=100PX}
 托马斯 • 哈里奥特
 
 
 将三角形 $\Delta$ 的边延长成三个大圆，这三个大圆将球面分为 8 个三角形，我们将其中四个分别记为 $\Delta, \Delta_\alpha, \Delta_\beta, \Delta_\gamma$ ，每一个都对径于一个全等三角形。这样的关系可以在图1－8b中更清楚地看到。因为球的表面积为 $4 \pi R^2$ ，所以

$$
  \mathcal{A}(\Delta)+\mathcal{A}\left(\Delta_\alpha\right)+ \mathcal{A}\left(\Delta_\beta\right)+\mathcal{A}\left(\Delta_\gamma\right)=2 \pi R^2 ...(1.4)
$$

同时，由图1－8b 可清楚地在到，$\Delta$与 $\Delta_a$ 共同构成一个楔形，它的面积是整个球面面积的 $\alpha / 2 \pi$ 倍，即
 
$$
\mathcal{A}(\Delta)+\mathcal{A}\left(\Delta_a\right)=2 \alpha R^2 .
$$

![图片](/uploads/2026-05/955ddf.jpg){WIDTH=500PX}
 
 
 类似地，我们有

$$
\begin{aligned}
\mathcal{A}(\Delta)+\mathcal{A}\left(\Delta_\beta\right) & =2 \beta R^2 \\
\mathcal{A}(\Delta)+\mathcal{A}\left(\Delta_\gamma\right) & =2 \gamma R^2
\end{aligned}
$$

上述三式相加即得

$$
\begin{equation*}
3 \mathcal{A}(\Delta)+\mathcal{A}\left(\Delta_\alpha\right)+\mathcal{A}\left(\Delta_\beta\right)+\mathcal{A}\left(\Delta_\gamma\right)=2(\alpha+\beta+\gamma) R^2 . \tag{1.5}
\end{equation*}
$$

最后，用式（1．5）减去式（1．4），得到

$$
\mathcal{A}(\Delta)=R^2(\alpha+\beta+\gamma-\pi)=R^2 \mathcal{E}(\Delta),
$$

从面证明了式（1．3）．

## 经线与纬线
作为一个最基本的概念，经线与纬线在微分几何里大量使用，可能部分读者不太清除经线和纬线，这里给出解释

**经线** 连接南北两极并垂直于纬线的半圆弧线

![图片](/uploads/2026-05/38dcb7.jpg){width=300px}

**纬线** 与赤道平行的、环绕地球一周的圆圈。

![图片](/uploads/2026-05/f3ca29.jpg){width=300px}

## 测地线

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