最后更新: 2026-05-29 08:58 查看: 18 次纠错评论(0) 课件开VIP

曲面的内蕴几何与外在几何、测地线

## 1.4 曲面的内蕴几何与外在几何

我们稍后再来讨论与这种拉直细绳来构作＂直线＂的方法有关的数学．现在仅展示这种构作方法可以很好地应用于非球面，例如图 1－9 所示的曲颈南瓜。

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与在球面上一样，我们在曲颈南瓜表面拉直一根细绳，找到两点（例如 $a$ 和 $b$ ）之间最短、最直的路径．如果细绳可以自由滑动，则细绳的张力可以确保生成的路径尽可能短．注意：在两点为 $c$ 和 $d$ 的情况下，我们必须想象细绳是在内表面拉直的．

为了用统一的方式处理所有可能的点对，最好把表面想象成由两个薄层组成，细绳在它们中间．然而这个想法只在想象的实验中有用，在实际情况下办不到．我们将提供一种实用的方法来克服这个障碍，即使表面的弯曲方向 ${ }^{(1)}$ 使得我们无法在外面用拉直的细绳紧贴，也可以在实际物体表面构作这些最短、最直的曲线．

曲面上的这些最短路径相当于平面上的直线，它们在本书中起着至关重要的作用，称为**测地线**．使用这个新词，我们可以说平面上的测地线是直线，球面上的测地线是大圆．

但是，即使在球面上，用长度最小化来定义＂测地线＂也是暂时的．显然，对于任意两个非对径点，通过它们的大圆有两段弧连接着这两个点：短弧（这是最短路径）和长弧．然而，长弧和短弧一样，都是测地线．球面上的对径点就更复杂了，它们可以由很多条测地线连接，而且，在更一般的曲面上也会出现测地线不唯一的情况．真正正确的说法是，任意足够接近的两个点可以由唯一的测地线段连接，这就是它们之间的最短路径．

就像平面上的线段可以在两个方向上无限延伸一样，测地线也可以在曲面上无限延伸，而且这种延伸是唯一的。例如，在图 1－9 中，我们将连接黑点的短划线表示的测地线段扩展成连接白点的点虚线表示的测地线段。

因为长度最小化是测地线的一个很微妙的特征，容易出错，所以我们稍后将以平直度为基础，提供测地线仅限于局部的另一种特征。

有了前面的这些预先声明，现在我们很清楚应该如何定义曲面内的距离了．例如，在图1－9中，两个足够接近的点 $a$ 和 $b$ 之间的距离是连接它们的测地线段的长度．

现在就可以在曲而上定义圆了。如图1－9所示，＂以 $o$ 为圆心，以 $r$ 为半径的圆＂定义为与定点 $o$ 的距离为 $r$ 的所有点的轨迹．我们可以拿一根长度为 $r$ 的细绳，将一端固定在点 $o$ 上，然后拉紧细㚾，拖着另一端紧贴着曲面转一圈，这样就得到一个**测地线圆**。与非欧几何中三角形的内角和不等于 $\pi$ 一样，测地线圆的周长不再等于 $2 \pi r$ 。事实上，容易证明图1－9中测地线圆的周长小于 $2 \pi r$ 。

同样，给定曲而上的三个点，可以用测地线将它们连接起来形成一个测地线三角形．图 1－9 展示了两个这样的三角形：$\Delta_1$ 和 $\Delta_2$ ．

> 看看 $\Delta_1$ 的三个内角，很明显它们的和大于 $\pi$ ，所以 $\mathcal{E}\left(\Delta_1\right)>0$ ，类似于球面几何中的三角形．

> $\Delta_2$ 的内角和则明显小于 $\pi$ ，所以 $\mathcal{E}\left(\Delta_2\right)<0$ ．正如我们将要解释的那样，这种情形类似于双曲几何中的三角形。还请注意，如果我们在曲颈南瓜表面的这个鞍形部分上构作一个圆，该圆的周长会大于 $2 \pi r$ ．

测地线属于曲面的**内蕴几何**概念，这是高斯（Gauss，1827）提出的一种全新的几何观点。它指的是生活在地表的微小、类似蚂蚁、有智慧（但是只能理解二维世界）的生物所知道的几何结构。正如我们讨论过的，这些生物可以将连接两个附近点的测地线定义为＂直线＂，即它们的世界（地表）中连接这两个点的最短路径。由此，它们还可以接着定义三角形，等等。以这种方式定义，很明显，当曲面在空间中被弯曲（就像一张纸可以弯曲一样）成不同的形状时，只要曲面内的距离没有以任何方式被拉伸或扭曲，内蕴几何是不会改变的．对于生活在曲面内那些类似蚂蚁的智慧生物来说，这样的变化是完全无法察觉的。 ${ }^{(1)}$

在这种弯曲下，**外在几何**（曲面在空间中的形状）肯定会改变。如图 1－10 所示，左边是一张扁平的纸，我们在上面画一个三角形 $\Delta$ ，它的三个内角分别为 $\pi / 2, \pi / 6, \pi / 3$ 。此时当然有 $\mathcal{E}(\Delta)=0$ ．显然，我们可以将这样一张扁平的纸在空间中（外在几何地）弯曲成右边两个曲面中的任意一个。 ${ }^{(2)}$ 然而，从本质上讲，这些曲面在（外在几何地）弯曲后，其内蕴几何的形状没有发生任何变化——它们就像煎饼一样，在弯曲后不会变大！图 1－10 中这些曲面上的三角形（也随着纸被无拉伸弯曲了）与＂智慧蚂蚁＂用测地线构作的三角形是完全相同的，在右边的两种情况下角盈 $\mathcal{E}=0$ ，可见这些曲面上的几何是欧几里得几何．

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  即使我们在内蕴弯曲的曲面上取一小片，使这个小片上三角形的角盈 $\mathcal{E} \neq 0$ ，它也可以在不拉伸或不撕裂的情况下被弯曲，从而改变外在几何形状，但保持内蕴几何形状不变。例如，把一个乒乓球切成两半，轻轻挤压其中一个半球的边缘，使其扭曲成椭圆形状（但不是单个平面上的椭圆）。

## 1.5 通过＂直性＂来构作测地线

我们提到了这样一个事实，曲面上的测地线与平面上的直线至少有两个共同特征：（1）它们是（相距不太远的）两点间的最短路径；（2）它们是两点间＂最直＂的路径．在本节中，我们要澄清＂直性＂是什么意思，并引出在实际曲面上构作测地线的一种非常简单实用的方法。

大多数微分几何教科书很少关注这些实际问题，也许正是出于这个原因，我们将要描述的构作方法在文献中鲜为人知。 本书截然相反，强烈要求你用各种可能的方法探索我们的想法：理论构想，画图，计算机实验，特别是在实实在在的曲面上做实际操作．你家附近的果蔬店可以为你的实验提供很多形状有趣的实验材料，例如图 1－11 中的西葫芦．

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现在，我们可以用这个西葫芦来做个实验，揭示其表面上的测地线所隐藏的直性．我们希望你亲手重复这个实验．
（1）准备一个西葫芦，拉紧一根细绳贴在其表面构作出一条测地线．
（2）用笔描出紧贴西葫芦表面的细绳轨迹，然后移去细绳．
（3）贴着描出的轨迹两侧刻出浅痕，用小刀或削皮器削下两条刻痕之间的窄带．
（4）将削下的窄带平铺在香面上，可以惊奇地发现窄带上的测地线变成了平面上的直线．
但是，为什么会这样呢？

为了弄清这个道理，首先允许这条窄带沿垂直于西葫芦表面（即垂直于这条窄带）的方向自由弯曲。我们严格要求：当窄带横向弯曲时，总能保持窄带与西葫芦表面相切。下面使用反证法，假设削下来的测地线平铺在桌面上不是直线．这样用物理实验来做证明，有一点既是缺点又是优点：反证假设是不可能在实验中做到的；正因为反证假设不可能做到，就证明了我们的数学论断．尽管如此，我们还是假设：存在一条如图 1－12a 中虚线所示的测地线，将它削下来后，平铺在桌面上不是直线（如图 1－12b 所示）．

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在平面上连接虚线（不是直线）的两个端点的曲线中，最短路径是直线．（如前所述，我们的细绳已经找到了真正的测地线，只是在反证法中我们假装不知道！）这样，我们就可以将虚线向直线（最短路径）变形缩短，得到连接窄带两端的实线．将缩短后得到的直线贴回西葫芦表面（如图 1－12c 所示），就得到了西葫芦表面上比虚线更短的路径，而虚线是我们假设的最短路径，从而产生了矛盾，所以假设不真．这就证明了我们之前的论断：

> **定理从曲面上削下一段测地线周围的窄带，平铺在平面上，得到一条直线段。 ...(1.6)**

现在我们已经快找到构作测地线的简单实用方法了．再来看看图 1－11 中的第（3）步，在那里我们从西葫芦表面削下了窄带．想象一下，现在我们要将窄带贴回西葫芦表面。不管之前的步骤是什么，现在真实要做的是贴回去的过程，这个过程是怎样的呢？我们捡起变直了的窄带（这是一条三维的细长果皮，在数学上理想化为二维窄带），将它贴回西葫芦表而挖出的浅槽里．但关键是：西葫芦表面并不需要有浅槽，表面自然地决定了削下来的果皮只能放回那个地方。

这样，将论断（1．6）倒转过来，就得到了在实际曲面上构作测地线的一种简单实用的重要方法：

> **要在曲面上构作一条在点 $p$ 沿方向 $v$ 的测地线，可以把细长胶带的一端粘在点 $p$ 上，沿着方向 $v$ 将胶带展开并粘在曲面上**。

（但请注意：这不是构作连接点 $p$ 到指定目标点 $q$ 的测地线的方法．）
如果你认为这个方法太简单了，难以置信，那就请你对任何可以上手的弯曲表面试试下面的方法。你可以在胶带 ${ }^{(1)}$ 上粘一条细绳，在弯曲表面上的两点之间拉直细绳，使其贴紧在表面上．这时细绳会与胶带形成同样的路径．你会发现，胶带的确描绘出了测地线。值得注意的是，这个胶带构作法对任何曲面都有效，包括凹面，而拉直细绳的方法对凹面就不好用了。这就是我们之前说过的好处。

当然，所有这些都是数学理想化的具体表现。一条宽度非零、完全平整的狭长胶带不能 ${ }^{2 /}$ 完全贴合真正弯曲的表面，但它的中心线可以固定在曲面上，而胶带的其余部分与曲面相切．

## 测地线

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