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空间的本质

## 1.6 空间的本质

我们回顾一下发现非欧几何（球面几何和双曲几何）的历史，看看这两门新几何与欧几里得几何有什么不同．

我们已经说过，欧几里得几何的特点是角盈 $\mathcal{E}(\Delta)$ 为 0 ．请注意，与平行公设的原始表述不同的是，这个命题可以用实验加以验证：构作一个三角形，测量其内角，看看它们加起来是否等于 $\pi$ ．物理空间是否有可能不是欧几里得空间？高斯可能是第一个想到这个问题的人，他甚至尝试用实验来验证这个问题．他用三个山顶作为三角形的顶点，用光线作为三角形的边．

在仪器允许的精度范围内，他发现 $\mathcal{E}=0$ ．完全正确？！高斯没有因此就认为物理空间在结构上绝对是欧几里得空间，而是得出结论：如果物理空间不是欧几里得空间，那么它与欧几里得几何的偏差是非常小的．高斯确实看得很远，他说 （见 Rosenfeld，1988，第 215 页）自己希望这门非欧几何可以适用于现实世界．在第四幕中我们将看到这是先见之明．

尽管高斯曾向朋友们吹嘘，他在几十年前已经预见到罗巴切夫斯基和波尔约的双曲几何，但他可能也没有意识到自己已经在无意中发现了非欧几何的一些核心结果．

1766 年（高斯出生前 11 年），兰伯特重新发现了哈里奥特在球面上的结果，然后依据双曲公设（1．1）将球面上的结果推广到了双曲几何这个全新的领域。首先，他发现双曲儿何中的三角形（如果真的存在这样的三角形）与球面几何中的三角形相反．

> - **在球而儿何中，三角形的内角和大于 $\pi: \mathcal{E}>0$** ．
> - **在双曲几何中，三角形的内角和小于 $\pi: \mathcal{E}<0$** ．

因此，双曲三角形表现得就像绘制在鞍面上的三角形，例如图 1－9 中的 $\Delta_2$ ．稍后我们将看到这一点儿也不意外。

其次，兰伯特还发现了一个关键事实，那就是在双曲几何中 $\mathcal{E}(\Delta)$ 与 $\mathcal{A}(\Delta)$ 的比也是常数：

**在球面几何和双曲几何里都有**

$$
\boxed{

\begin{equation*}
\mathcal{E}(\Delta)=\mathcal{K} \mathcal{A}(\Delta), \tag{1.8}
\end{equation*}
}
$$

**在球面几何里 $\mathcal{K}$ 为正常数，在双曲几何里 $\mathcal{K}$ 为负常数**．

由此不难得出以下有趣的结论．
－存在无穷多种球面几何，它们之间没有本质性差别，只依赖于不同的正常数 $\mathcal{K}$ ．同样，对应于不同的负常数 $\mathcal{K}$ ，存在无穷多种双曲几何，它们也没有本质性差别。
－因为三角形的面积不可能为负数，所以 $\mathcal{E} \geqslant-\pi$ ．对于双曲几何（ $\mathcal{K}<0$ ）有一个意想不到的结果：三角形的面积不可能大于 $|\pi / \mathcal{K}|$ ．
－从事实（1．8）可知，两个不同大小的三角形不可能有相同大小的角．也就是说，在非欧几何里不存在不同大小的相似三角形！（这与沃利斯在 1663 年的发现是一致的：相似三角形的存在性依赖于平行公设。）
－与上一个结论紧密相关的事实是，在非欧几何里，存在绝对长度单位。（高斯本人发现了这个令人兴奋的可能：完全用数学推导得到的结论有可能在物理世界中实现。）在球面几何中，我们可以把这个绝对长度单位定义成：内角和为（例如） $1.01 \pi$ 的等边三角形的边长．类似地，在双曲几何中，我们可以把绝对长度单位定义成：内角和为 $0.99 \pi$ 的等边三角形的边长．
－还有更自然的方法来定义绝对长度单位，那就是用常数 $\mathcal{K}$ 来定义。一方面，因为弧度制的角定义为长度的比，所以 $\mathcal{E}$ 是无量纲的纯数。另一方面，而积 $A$ 的量纲是（长度）${ }^2$ ，于是 $\mathcal{K}$ 的量纲是 $1 /(\text { 长度 })^2$ ．因此，存在满足以下

条件的长度 $R$ ：在球面几何里 $\mathcal{K}=+(1 / R)^2$ ，在双曲儿何里 $\mathcal{K}=-(1 / R)^2$ ．当然，我们知道，在球面儿何里使得 $\mathcal{K}=+(1 / R)^2$ 的长度 $R$ 就是球的半径．以后我们还会讲清楚：在双曲几何里使得 $\mathcal{K}=-(1 / R)^2$ 的长度 $R$ 也有同样直观的具体解释．
－曲面上的三角形越小，它与平面三角形的差异就越难察觉：只有当三角形的大小与 $R$ 的比值足够大时，差异才会变得易于察觉．例如，人类的身高与地球半径相比是很小的，所以我们乘船到湖中间去，会觉得湖面就是一个欧几里得平面，而湖面实际上是球面的一部分．高斯认为，光传播的空间可能具有很小的曲率，而弯曲空间中的小图形很容易被错看成平直图形．因此，高斯选择用尽可能大的三角形来做光学实验，以便增加检测到空间中可能存在的任何小曲率的机会．

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