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高斯曲率

## 高斯曲率
由于哈里奧特的结果（[1.3](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4177)），比例常数

$$
\mathcal{K}=+\frac{1}{R^2}
$$

进人了球而几何，称为球而的**高斯曲率** ．显然，半径 $R$ 越小，球面就弯曲得越厉害，高斯曲率 $\mathcal{K}$ 的值就越大。

同样，在双曲几何里，由事实（[1.8](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4180)）产生的负常数

$$
\mathcal{K}=-\frac{1}{R^2}
$$

也称为高斯曲率，原因稍后解释．

高斯私下研究这个问题 10 多年后，于 1827 年发表了革命性的论文《关于曲面的一般研究》 ，公布了内蕴概念 $\mathcal{K}$ 。

![图片](/uploads/2023-10/1f2be1.jpg){width=100px}
高斯

高斯引入这个概念用来量度不规则的一般曲面（例如，图 1－9 所示的曲面）上每个点的曲率。 根据哈里奥特和兰伯特的结论（1-8），

$$
\mathcal{K}=\frac{\mathcal{E}(\Delta)}{\mathcal{A}(\Delta)}=\text { 单位面积的角盈. }
$$

在球面几何和双曲几何里，这个解释对任意位置、任意大小的三角形都成立。但是，在更一般的曲面（例如图 1－9 所示的曲面）上，这个定义就有问题了，因为位于曲面不同部分的三角形（例如 $\Delta_1$ 和 $\Delta_2$ ）的角盈 $\mathcal{E}$ 可能连符号都不一样．

![img-text](/uploads/2026-05/8b742f.jpg){width=600px}

我们需要在这样的曲面上定义一点 $p$ 的高斯曲率．现在，我们想象一个包含点 $p$ 的小测地线三角形 $\Delta_p$ ，然后让它收缩到点 $p$ ．

图 2－2 中是一个救生图，在数学里它就是一个环面，是一个不能平直化的曲面。利用在1．5节建立的测地线构作法可知，图2－2展示了这样收缩到一点的一列测地线三角形。我们现在定义点 $p$ 的高斯曲率 $\mathcal{K}(p)$ 为这列收缩到点 $p$ 的测地线三角形的单位面积角盈的极限：

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathcal{K}(p)=\lim _{\Delta_p \rightarrow p} \frac{\mathcal{E}\left(\Delta_p\right)}{\mathcal{A}\left(\Delta_p\right)}=\text { 点 } p \text { 处单位面积的角盈. } \tag{2.1}
\end{equation*}
}
$$

![图片](/uploads/2026-05/03261f.jpg){width=600px}
 
 在现阶段，这个极限是否存在，以及它是否与三角形的形状和三角形收缩到一点的方式有关，这此问题并非一目了然，以后再详细讨论。随着剧情的进展，我们会发现：高斯曲率还有几种其他的解释方式 ，对于不同的具体曲面也有多种计算方法。

定义（2．1）可以推广到三角形以外的情形。如果我们用一个小 $n$ 边形来代替 $\Delta_p$ ，则其角盈为（见第 29 无习题 10 ）

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathcal{E}(n \text { 边形 }) \equiv(\text { 内角和 })-(n-2) \pi \text {, } \tag{2.2}
\end{equation*}
}
$$

而典率的定义仍如式（2．1）一样，为单位而积的角盈。

我们再来看看图 2-2 中的这个不能平直化的救生圈．显然，对于外半环上的每一点 $p$ ，都有一个邻域类似于山峰，这时 $\mathcal{K}(p)>0$ ；对于内半环上的每一点 $q$ ，都有一个邻域类似于马鞍，这时 $\mathcal{K}(q)<0$ ．图2－3展示的就是这个现象．

![图片](/uploads/2026-05/12e2b6.jpg){width=600px}
 
## 圆的周长和面积
为什么 $\mathcal{K}(p)$ 这么重要？显然，它在某种程度上控制着小三角形，但几何中有很多东西不是三角形．答案是，在我们（暂时）选择用小三角形来定义 $\mathcal{K}(p)$ 的过程中，将逐步发现曲率是几何中的＂铁腕人物＂，它完全决定了曲面上所有方面的几何性质．现在来看两个例子吧．
![img-text](/uploads/2026-05/8b742f.jpg){WIDTH=600PX}

在图 1－9 中，我们讲过在曲面上定义＂以 $o$ 为圆心，以 $r$ 为半径的圆＂的方法：取长度固定为 $r$ 的测地线段 $o p$ ，让端点 $p$ 绕着定点 $o$ 转一圈．接下来，我们在半径为 $R$ 的大球面上作这样一个圆周，并计算这个圆周的周长．

如图 2－4 所示，我们有

$$
\begin{align*}
& \rho=R \sin \phi \text { 且 } \phi=r / R  \tag{2.3}\\
& \Longrightarrow C(r)=2 \pi R \sin (r / R) .
\end{align*}
$$

![图片](/uploads/2026-05/fbd4c1.jpg){WIDTH=300PX}
 
 
正如曲率支配着三角形内角和与 $\pi$（欧几里得空间中的值）的偏离一样，曲率也支配着圆的周长 $C(r)$ 与 $2 \pi r$（欧儿里得空间中的值）的偏离。为了看清楚这一点，我们回顾一下正弦函数的幂级数：

$$
\sin \phi=\phi-\frac{1}{3!} \phi^3+\frac{1}{5!} \phi^5+\cdots
$$

当 $\phi$ 趋于 0 时，我们有

$$
\phi-\sin \phi \asymp \frac{1}{6} \phi^3 .
$$

由式（2.3）知，
当 $r$ 趋于 0 时有

$$
2 \pi r-C(r)=2 \pi R[(r / R)-\sin (r / R)] \asymp \frac{\pi r^3}{3 R^2} .
$$

也就是说，生活在 $\mathbb{S}^2$ 上的居民，以前是通过测量小三角形的内角和来判断所在世界的曲率的，现在可以通过测量小圆周的周长来判断，这也很容易：

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathcal{K} \asymp \frac{3}{\pi}\left[\frac{2 \pi r-C(r)}{r^3}\right] . \tag{2.4}
\end{equation*}
}
$$

值得注意的是，我们将在第四幕中展示：测量一般曲面上的高斯曲率也用这个公式！［验证一下分母中 $r$ 的幂：我们知道 $\mathcal{K}$ 的量纲是 $1 /(\text { 长度 })^2$ ，周长的量纲是 （长度），所以分母的量纲应该是${(长度)}^3$ ．］

继续讨论这个例子，以这个圆周为边界有一个球冠，我们来看看这个球冠的面积 $A(r)$ ．又是曲率支配着圆的面积与 $\pi r^2$（欧几里得空间中的值）的偏离．利用球冠的面积公式 不难证明［练习］：

$$
\begin{equation*}
\mathcal{K} \asymp \frac{12}{\pi}\left[\frac{\pi r^2-\mathcal{A}(r)}{r^4}\right] . \tag{2.5}
\end{equation*}
$$

我们再次指出这个公式是通用的．［这里分母的量纲是${(长度) }^4$ ．］

虽然现在还不能证明式（2．4）和式（2．5）的普遍性，但至少可以看出：它们确实对一个不均匀曲面上的每个点都给出了正确的正负号，如图1－9所示。如果曲面在一点的附近是正向弯曲的（向外凸起为正的），那么曲面在该点附近呈山峰的形状（就像图1．9中的 $\Delta_1$ 区域）。以这个点为中心的圆因弯曲而受到挤压，使得它的周长和面积都比在平坦的欧儿里得平面上的周长和面积小．于是，由以上两个公式可得 $\mathcal{K}>0$ ，这正是应该出现的结果。

如果在一点附近的曲面是鞍形的，就会出现相反的情况。同顾我们对图1－9的讨论：在曲面的马鞍形部分（ $\Delta_2$ 所在的部分）画圆，就有 $C(r)>2 \pi r$ 。要弄清这一点，就站起来，平伸出一只手臂．当你绕着脚跟旋转一圈时，你的手指尖会画出一个水平的圆圈。现在再旋转一圈，但这次同时上下摆动你的手臂，显然这一次你的手指尖运动的距离比以前更长了。这样，手指尖上下摆动的轨迹就相当于在鞍形曲面上再了一个圆．于是，由以上两个公式可得 $\mathcal{K}<0$ ，这也是应该出现的结果．

我们说过曲率是几何中的＂铁腕人物＂，具有绝对的决定性作用，但是，它的决定性作用到底有多大呢？例如，如果知道曲面的一片具有常正曲率 $\mathcal{K}=\left(1 / R^2\right)$ ，那么它是否一定是半径为 $R$ 的球面的一部分？把一个乒乓球切成两个半球，轻轻捏一下其中一个半球．显然，我们得到了一个非球形曲面上的一片．但是，因为我们没有改变曲面内的距离，所以曲面上的测地线和角度不变，根据式（2．1）定义的曲率也不变。这样，我们肯定会得到一片具有常曲率的曲面，尽管它与球面具有相同的内蕴几何性质，但它在外在几何上已不是球面了．

图 2-5 说明，即使只考虑旋转曲面，球面也不是唯一具有常正曲率的曲面．事实上，存在一族这样的曲面，球面只是图 2－5 所示两种曲面的极限情形。

> 图 2－5 所示的两种曲面都是圆周上一段小于半圆的弧旋转一周生成的曲面．左边曲面的旋转轴是圆弧端点的连线，因为圆弧两端与旋转轴相交，所以有两个尖端；右边曲面的旋转轴是圆的直径，因为圆弧上端与旋转轴不相交，所以有边缘．当把圆弧加长为半圆时，圆弧端点的连线就是圆的直径，于是两个旋转轴合并为一体．这时旋转生成的曲面就是球面，没有尖端或边缘了．

![图片](/uploads/2026-05/ebc1b4.jpg){WIDTH=500PX}

虽然这些曲面不是球面，但是生活在这些曲面上的＂智慧蚂蚁＂无法察觉，只不过它们最终可能会发现这个世界的尽头存在边缘或尖端。 1899年，海因里希 • 利布曼证明了  ，如果一个具有常正曲率的曲面不存在尖端或边缘，它就一定是球面。

如果忽略表面上的外在差异，两个具有相同常正曲率 $\mathcal{K}=\left(1 / R^2\right)$ 的曲面是否具有实质上不同的内蕴几何？说得更通俗些，如果我们突然把＂智慧蚂蚁＂从一个曲面运到另一个曲面上，它能否设计一个实验来验证它的世界发生了改变？

1839年，明金（高斯为数不多的学生之一）给出了否定的答案。明金发现 ${ }^{(1)}$ ，如果两个曲面具有相同的常正曲率 $\mathcal{K}=\left(1 / R^2\right)$ ，则它们的内蕴几何都与半径为 $R$ 的球面局部一致。

我们已知图 2－2 中救生圈的内沿具有负曲率，但不是常负曲率．事实上，如果 $C$ 是救生圈接触地面的那个圆周，它会将救生圈分割成内半圈和外半圈。显然，当点 $q$ 从内半圈趋近 $C$ 时，曲率 $\mathcal{K}(q)$ 从负值趋于 0；当点 $q$ 越过 $C$ 进人外半圈时，曲率就变成正值了。

事实上，确实存在具有常负曲率的曲面．欧金尼奥•贝尔特拉米称所有这种曲面为伪球形曲面，其中最简单的例子是伪球面 ${ }^{(2)}$ ，如图 2－6 所示．（伪球面由曳物线旋转生成，牛顿在1676年首次研究了曳物线，第二慕将详细讨论伪球面的精确构造。）如果伪球面底圆的半径为 $R$ ，则整个曲面具有常负曲率 $\mathcal{K}=-\left(1 / R^2\right)$ ，稍后我们将证明这一点。

糟糕的是，这个曲面有点名不副实。正如你看到的，它并不像球面那样是封闭的，但该名称确立已久，无法更改。本书后面会证实，不存在封闭的伪球形曲面，此外，当伪球面向上无限延伸时，会遇到一个圆形边缘。事实证明，伪球面不可能越过这个边缘而保持负曲率不变，1901年，大卫•希尔伯特证明了，将一个具有常负曲率的曲面嵌入普通三维欧几里得空间，肯定会有一个边缘使得曲面不能越过这个边缘继续延伸。

![图片](/uploads/2026-05/8b55ca.jpg){width=300px}
 
 明金的结果也适用于这种情形：如果两片曲面具有相同的常负曲率 $\mathcal{K}= -\left(1 / R^2\right)$ ，则它们的内蕴几何都与半径为 $R$ 的伪球面一致。

总之，如果曲面具有（正的或负的）常曲率 $\mathcal{K}$ ，则这个数（曲率）完全决定了该曲面的内蕴几何．

更一般地，具有变化曲率的曲面情况如何？曲率的影响力仍然很大，但不再是绝对的：两个曲面可能在所有对应点处都具有相同的曲率，却有不同的内蕴几何．（第 260 页习题 19 就是一个具体的例子．）

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