最后更新: 2026-05-14 06:45 查看: 13 次纠错评论(0) 课件开VIP

曲面度量概述与球面投影

## 曲面度量概述
球面具有完美的外在对称性，优点就是，显而易见其内蕴几何也具有同样的一致性．因为球面的几何一致性，一个紧贴球面的形状可以在球面上自由地滑动和旋转。在图2－5中的曲面上也可以这样，但不像在球面上那样明显。事实上一定如此．上面的讨论说明：要在一个曲面内判断这个曲面在空间中的实际形状是件很难的事情．例如，从内蕴几何的角度来看，图 2－5 中的曲面与球面（至少在局部上）是无法区分的．

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从这个观点来看，最好用一个更抽象的模型来把握所有具有相同内蕴几何的曲面的本质．我们所说的＂本质＂指的是任意两点间距离决定的所有性质，因为由此（而且仅仅由此）就可以决定内蕴几何．事实上，按照高斯对微分几何的基本见解，只要有一个规则来定义两个邻近点之间的无穷小距离（即无穷小线段的长度）就够了．这个规则就是度量 ．有了度量，只要任意曲线可以分割成无穷多段无穷小线段，我们就可以用这些无穷小线段的长度的无穷和（即积分）来定义曲线的长度．因此，我们可以确定几何中的测地线是从一点到另一点的最短路径，同样可以确定角度．

根据这个见解，为认识任意一个（不一定是常曲率的）曲面 $\mathcal{S}$ 的本质，可以有如下策略。为了避免不知道曲面在空间中的形状的困扰，我们在一张平整的纸上为曲面 $\mathcal{S}$ 画一张（制图学意义上的）地图．也就是说，我们在曲面 $\mathcal{S}$ 上的点 $\widehat{z}$与平面上的点 $z$ 之间建立了一一对应关系（即一一映射）。当然，对于球形的大地和夜空，水手和天文学家几千年来一直在设计这样的地图，即现在仍然常用的地理图和天体图。

一般来说，为一张真正弯曲的曲面建立没有变形的地图是不可能的：如果将剥下来的橋子皮压平到桌面上，它一定会破。欧拉在1775年第一个证明了，为地球绘制一张完美的地图，也就是说，地球表面的所有＂直线＂（测地线）在地图上都变成直线，所有的地面距离都可以用地图上的距离乘以一个固定的比例系数来表示，在数学上是不可能的．

前面的讨论用橘子皮解释了绘制完美地图是不可能的，下面再来看一个几何解释．我们知道地球表面的三角形会有角盈 $\mathcal{E} \neq 0$ ，但是，如果这个三角形可以被压平而不改变它上而的距离，那么它在地图中的图像就是一个满足 $\mathcal{E}=0$ 的欧几里得三角形：这就产生矛盾了。

我们最终会发现，在非欧几何和复数之间存在深刻而神秘的联系．因此，让我们从一开始就想象，我们在一张纸上画的地图就是画在复平面 $\mathbb{C}$ 上的。

现在考虑曲而 $\mathcal{S}$ 上的两个邻近点 $\widehat{z}$ 和 $\widehat{q}$ 之间的距离 $\delta \widehat{s}$ 。点 $\widehat{z}$ 和点 $\widehat{q}$ 在复平面上分别用复数 $z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ 和 $q=z+\delta z$ 表示，它们之间的（欧几里得）距离为 $\delta s=|\delta z|$ ．图 4－1 展示了这样一张地图的具体例子（稍后解释）。一旦有了从地图上的距离 $\delta s$ 计算曲面 $\mathcal{S}$ 上的距离 $\delta \widehat{s}$ 的方法，那么（原则上）我们就知道了关于曲面 $\mathcal{S}$ 的内蕴几何的一切．

![图片](/uploads/2026-05/5954fa.jpg)
 
 
 用 $\delta z$ 表示 $\delta \widehat{s}$ 的规则称为度量．一般来说，$\delta \widehat{s}$ 依赖于 $\delta z$ 的方向及其长度 $\delta s$ ：记 $\delta z=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \gamma} \delta s$ ，则 $\delta \widehat{s} \asymp \wedge(z, \gamma)$ 。再次提醒读者注意，$\asymp $表示牛顿的最终相等概念，在序幕中介绍过。这个关系式常用无穷小记号表示为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}=\Lambda(z, \gamma) \mathrm{d} s . \tag{4.1}
\end{equation*}
$$

根据这个公式，要从地图上位于点 $z$ 处方向为 $\gamma$ 的分离量 $\mathrm{d} s$ 得到曲面 $\mathcal{S}$ 上相应的真实分离量 $\mathrm{d} \widehat{s}$ ，就要将 $\mathrm{d} s$ 扩大至 $\Lambda(z, \gamma)$ 倍。

## 4.2 球面的投影地图

图4－1 展示的是用中心投影法绘制南半球地图的方法，说明了式（4．1）的意义．想象南半球是一个玻璃碗，放在复平面的原点 O 上，并想象在球心处有一个点光源，将一束光线穿过半球上的点 $\hat{z}$ 射到了复平面 $\mathbb{C}$ 上的点 $z$ 。这样就得到了南半球的平而地图，称为投影地图（或投影模型）。

如果我们在半球上两一个圆 $C$ ，那么穿过它的光线就会在三维空间中形成一个圆锥，落在复平而 $\mathbb{C}$ 上形成一个完美椭圆 $E$ 。这是中心投影制图法的一个非常特殊和不寻常的特性。如果 $C$ 是一般曲面 $\mathcal{S}$（例如图 1－9 中的曲面）上按照内蕴几何定义的圆，则当 $C$ 的半径收缩时，它在一般地图上的像 $E$ 最终是椭圆。   回过头来讨论中心投影中的完美椭圆。显然，$E$ 的主轴是径向的，笔直指向远离玻璃碗与平面的接触点的方向。换言之，如果想象 $\mathrm{d} z$ 绕 $z$ 旋转，则 $\Lambda(z, \gamma)$ 分别在 $\gamma=\theta$ 和 $\gamma=\theta+(\pi / 2)$ 处取得最小值和最大值．

选择如何绘制一个曲面的地图取决于我们希望准确或忠实地表现哪些特征．例如，图 4－1 说明中心投影地图忠实地表现了直线：地图上的一条直线代表球面上的一个大圆（即测地线）。但是，为保证对于直线的忠实表示，我们付出了一些代价，那就是不能准确地表示角的大小：球面上的两条曲线相交的角度（通常）不是它们在地图上对应曲线相交的角度．

实际上，球面上确实存在两组正交曲线，它们映射到平面地图上的曲线也是正交的：这就是经线和纬线．一个纬线圆（即半球上的水平横截线）映射为平面地图上以原点为中心的圆周，经线（半）圆（即半球与过球心的纵向平面的截线）映射为平面地图上通过原点的直线．如上所述，这些圆和直线确实相交成直角．我们现在利用这个事实，推导出球面上的度量在中心投影地图中用极坐标 $(r, \theta)$ 表示的公式．通过计算来完成这个任务［练习］并不难，但我们要用牛顿的几何推理（就是在序幕中介绍过的推论方式）取而代之，并在本书里一直这样做．

来看看图 4－2．在平面地图上做一个角度为 $\delta \theta$ 的小旋转，使得点 $z$ 在半径为 $r$ 的圆周上旋转移动一段距离 $r \delta \theta$ ，则球面上的点 $\widehat{z}$ 在水平的纬线圆上旋转移动 $\delta \widehat{s_1}$ ．接着让点 $z$ 径向外移 $\delta r$ ，则点 $\widehat{z}$ 沿纵向的经线圆向北移动 $\delta \widehat{s_2}$ ．由勾股定理，$\delta \widehat{s}^2 \asymp \delta \widehat{s}_1{ }^2+\delta \widehat{s}_2{ }^2$ ，现在分别计算式中的每一项．（回忆一下，$\asymp$ 是序幕中引人的符号，表示牛顿＂最终相等＂的概念。）

在图4－2中，令 $H=c z$ 表示在 $\mathbb{R}^3$ 中从球心 $c$ 到复数 $z$ 的距离．因为 $\widehat{z}$ 到 $c$的距离为 $R$ ，而且旋转变换引起的 $\widehat{z}$ 和 $z$ 到球心 $c$ 的距离改变量成比例，所以
$$
\frac{\mathrm{d} \widehat{s_1}}{r \mathrm{~d} \theta} \asymp \frac{\delta \widehat{s_1}}{r \delta \theta}=\frac{R}{H}
$$

![图片](/uploads/2026-05/06dee6.jpg)
 
 
然后，想象 $H$ 是一根长度不变的细绳，一端固定在球心 $c$ 上．如果我们让它的自由端在垂直于复平面的平面内向上摆动距离 $\epsilon$ ，则点 $\widehat{z}$ 相应地按照上式的比例向北移动 $\delta \widehat{s_2}$ ．而且，我们可以看出，以 $\epsilon$ 和 $\delta r$ 为边的灰色纵向小三角形最终相似于以 $R$ 和 $H$ 为边的大三角形 $0 c z$ ．于是

$$
\frac{\delta \widehat{s_2}}{\epsilon} \asymp \frac{R}{H} \quad \text { 且 } \quad \frac{\epsilon}{\delta r} \asymp \frac{R}{H} \Longrightarrow \frac{\mathrm{~d} \widehat{s_2}}{\mathrm{~d} r}=\frac{R^2}{H^2} .
$$

最后，由勾股定理有 $H^2=R^2+r^2$ ．用回以无穷小为基础的表示法，描述球面上真实距离的度量可以用中心投影地图的坐标表示为

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}^2=\frac{1}{1+(r / R)^2}\left[\frac{\mathrm{~d} r^2}{1+(r / R)^2}+r^2 \mathrm{~d} \theta^2\right] \tag{4.2}
\end{equation*}
}
$$

在地理学中，通常的做法是把在赤道处的纬度 $\phi$ 定义为 0 ，但是我们选择从一个极点开始计量纬度 （见图4－2和图2－4）。回到图4－1，我们现在可以通过考察小椭圆 $E$ 的形状来只化由地图产生的变形了．当 $C$ 收缩时，现在应该能够证明 ［练习］

$$
\begin{equation*}
\left(\frac{E \text { 的长轴 }}{E \text { 的短轴 }}\right) \asymp \sec \phi \text {, } \tag{4.3}
\end{equation*}
$$

因此，当 $C$ 向北移动到边缘 $(\phi=\pi / 2)$ 时，它在地图上被映射到无穷远处．

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