最后更新: 2026-05-16 06:41 查看: 24 次纠错评论(0) 课件开VIP

一般曲面上的度量与度量曲率公式

## 一般曲面上的度量
地图对于航行至关重要，几个世纪以来，数学家们探索了许多不同的方法来绘制地图，这里只简要介绍其中特别重要的一种，其他制图法留到这一幕末尾的习题中探讨．现在我们只想指出：每一种这样的制图法都有各自不同的度量公式，尽管它们表达了同样的内蕴几何．

例如，给地球上某个地方定位的最常用方法是提供它的经度 $\theta$ 和纬度 $\phi$ 。可以在平面上用这两个角度画出直截了当的地图：横轴坐标为 $\theta$ ，纵轴坐标为 $\phi$ ．也就是说，如果一幢房屋在平面地图上有经度 $\theta$ 和纬度 $\phi$ ，可以用直角坐标 $(\theta, \phi)$表示它的位置．借助图 2－4，易知［练习］度量公式为

![img-text](/uploads/2026-05/fbd4c1.jpg){width=300px}

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}^2=R^2\left[\sin ^2 \phi \mathrm{~d} \theta^2+\mathrm{d} \phi^2\right], \tag{4.4}
\end{equation*}
$$

它告诉了我们球面上对应于地图上那些邻近点之间的真实距离．这个公式看起来与式（4．2）很不一样，但我们知道，实际上它们表达的是完全相同的内蕴几何．

即使我们把曲面简单地选取为平面，也有无穷多种可能的度量公式．例如，用直角坐标系有 $\mathrm{d} \hat{s}^2=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2$ ，用极坐标系有 $\mathrm{d} \hat{s}^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2$ ．

> 在地理学中，纬度的取值范围为 $-\pi / 2 \leqslant \phi \leqslant \pi / 2$ ，赤道为 $\phi=0$ ，经度的取值范围为 $-\pi \leqslant \psi<\pi$ ；在数学的球坐标系里，纬度的取值范围为 $0 \leqslant \phi \leqslant \pi$ ，赤道为 $\phi=\pi / 2$ ，经度的取值范围为 $0 \leqslant \psi<2 \pi$ ．

现在，我们来考察普通曲面最一般的度量公式的形式和意义。图4－3展示了如何给曲面 $\mathcal{S}$ 上的一小片画一张一般的地图．对于这一小片上的每个点 $\widehat{z}$ ，我们的第一个目标是指定它的坐标为 $(u, v)$ ，使得可以在平面地图上用复数 $z=u+\mathrm{i} v$来表示它．
首先，在这一小片曲面上随意画满一族曲线，对于曲面上的每个点 $\widehat{z}$ ，有且只有一条曲线经过．我们给每一条曲线标记唯一的数 $u$ ，这些曲线称为 $u$ 曲线．标数可以很随意，只要求数值平缓变化，也就是说，当我们在曲面上移动越过 $u$ 曲线时，$u$ 的值按照确定的变化率变化（即可微的，稍后解释可微的意义）。

要完成坐标系，我们还要画第二族曲线，画法也很随意，只要求它们与 $u$ 曲线相交，但不重合．现在给新曲线标记 $\nu$ 值，也要求它们按照确定的变化率可微地变化（按照与前面同样的方式）。新曲线族称为 $v$ 曲线．这样，如图 4－3 所示，对于点 $\widehat{z}$ ，可以用在此相交的唯一一对 $u$ 曲线（例如 $u=U$ ）和 $v$ 曲线（例如 $v=V$ ）来标记．在地图上可以用复数 $z=U+i V$ 表示 $\widehat{z}$ ．如图4－3所示，在地图上 $u$ 曲线被映射为垂直直线，$v$ 曲线被咉射为水平直线．

现在，我们至少在曲面的某个局部建立了坐标系，接下来的任务就是找到定义两个邻近点之间距离的度量公式．在地图上让 $z$ 沿着方向 $\delta z=\delta u+\mathrm{i} \delta v$ 做微小移动．由于 $u$ 值对 $u$ 曲线可微，根据可微的定义，对应微小变化 $\delta u$ ，曲面上沿着$v$ 曲线的微小移动 $\delta \widehat{s}_1$ 与 $\delta u$ 最终成比例．我们设 $A$ 为这个比例在这个点处的值 ：

$$
A \equiv \frac{\partial \widehat{s_1}}{\partial u} \asymp \frac{\delta \widehat{s_1}}{\delta u} .
$$

![图片](/uploads/2026-05/6e3456.jpg){WIDTH=600PX}
 
 
这一点很隺要，我们重申：$A$ 是在 $(u, v)$ 地图水平方向上的局部比例因子，必须在地图上拉伸一小段水平需离获得曲而上的真实距离，从而得出这个因子。

还有另一种形象化的方法，其至可以不在地图。在图4－3中，想象 $u$ 曲线是按照固定的增量 $\epsilon$ 两出来的（即 $u=U, u=U+\epsilon, u=U+2 \epsilon, \cdots$ ），则 $A$ 也可以看作与 $u$ 曲线的聚集度（或密度）成反比：$u$ 曲线越密集，曲面上给定的移动 $\delta \widehat{s_1}$引起地图上的变化 $\delta u$ 就越大．

同样，（在 $u$ 保持不变时）由地图上的微小变化 $\delta v$ 引起的曲面上的移动 $\delta \widehat{s_2}$与 $\delta v$ 最终成正比，于是，可以设 $B$ 为地图垂直方向上的局部比例因子：

$$
B \equiv \frac{\partial \widehat{s_2}}{\partial v} \asymp \frac{\delta \widehat{s_2}}{\delta v}
$$

最后，如图 4－3 所示，我们记 $\omega$ 为 $u$ 曲线与 $v$ 曲线的夹角．这个角显然不是常数：与比例因子 $A$ 和 $B$ 一样，角 $\omega$ 是位置的函数。

现在将勾股定理应用于图 4－3 中放大镜里显示的直角三角形：

$$
\begin{align*}
\delta \widehat{s}^2 & \asymp\left(\delta \widehat{s_1}+\delta \widehat{s_2} \cos \omega\right)^2+\left(\delta \widehat{s_2} \sin \omega\right)^2  \tag{4.5}\\
& \asymp(A \delta u+B \delta v \cos \omega)^2+(B \delta v \sin \omega)^2 . \tag{4.6}
\end{align*}
$$

经过简化，并用回基于无穷小的符号（这是更标准的表示方法），我们有

一般曲面的一般度量公式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}^2=A^2 \mathrm{~d} u^2+B^2 \mathrm{~d} v^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \text {, 其中 } F=A B \cos \omega \text {. } \tag{4.7}
\end{equation*}
$$

你应该还会看其他的书，所以我们应该立即说明：在1827年的杰出原作中，高斯决定将这个度量公式记为

$$
\mathrm{d} \hat{s}^2=E \mathrm{~d} u^2+G \mathrm{~d} v^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v,
$$

在随后的几个世纪里，几乎所有 的微分几何研究论文和教科书都盲从地延用了 $E, F, G$ 记号．我们知道 $\sqrt{E}=A$ 和 $\sqrt{G}=B$ ，前面已经给出了简单的儿何解释，因此就不奇怪为什么在许多重要的公式中出现的是 $\sqrt{E}$ 和 $\sqrt{G}$（而不是 $E$ 利 $G$ ）。结果就是，文献被不必要的平方根弄得乱七八槽。因此，我们将在整本书中继续使用符号 $A$ 和 $B$（代替 $\sqrt{E}$ 和 $\sqrt{G}$ ），当你在别处遇到用 $E, F, G$ 记号表达的度量公式时，可以像下而这样翻译。

记号字典：$E \equiv A^2, G \equiv B^2, F \equiv A B \cos \omega ...(4.8)$ ．

一般的度量公式有如下的简化方法，显然，一旦我们两出了 $u$ 曲线族，就可以画出它们的正交曲线族，并选择这个正交曲线族作为 $v$ 曲线。在这种结构中始终有 $\omega=(\pi / 2)$ ，从而 $F=0$ ．因此，

对于一般的曲面，我们总是可以建立一个局部的正交坐标系（ $u, v$ ），使得度量公式为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}^2=A^2 \mathrm{~d} u^2+B^2 \mathrm{~d} v^2 . \tag{4.9}
\end{equation*}
$$

然而请注意，通常不可能用一个 $(u, v)$ 坐标系覆盖整个曲面，即使非正交坐标系也不行。问题出在你无法避免两条 $u$ 曲线（和／或 $v$ 曲线）相交的情况发生，在这种情况下，在交点处就会有两个不同的 $u$ 值。事实上，我们将会在第 19 章中看到，对于每个封闭曲面（除了甜甜图以外）这些问题都是不可避免的。

例如，在地球表面，假设我们选择 $u$ 曲线为纬线圆（不一定要用 $u=$ 纬度），那么其正交曲线（即 $v$ 曲线）一定是经线圆：所有的大圆都相交于南极和北极。因此，在南极点和北极点一定有无限个 $v$ 值．

## 度量曲率公式
假设我们只有曲面 $\mathcal{S}$ 的一个度量公式（4．9），没有掌握 $\mathcal{S}$ 的任何直接几何知识，也不知道坐标 $u$ 和 $v$ 本身的几何意义。 那么这个曲面是什么样的呢？就 $\mathcal{S}$ 的内蕴几何而言，这个公式告诉了我们一切，但这只是在原理上。我们如何真正从这个公式获取有用的信息呢？

如果我们（通过图2－3）知道每个点的曲率 $\mathcal{K}$ ，则能清楚地了解曲面 $\mathcal{S}$ 的本质和形状．又因为从度量可以知道关于内蕴几何的一切信息，所以它一定包含（特别是）关于曲率的信息。因此，我们可以假设存在一个 $\mathcal{K}$ 的公式。而且，由于度量公式的对称性，显然， $\mathcal{K}$ 的公式在同时交换 $u \leftrightarrow v$ 与 $A \leftrightarrow B$ 时也是对称的。

下面这个 $\mathcal{K}$ 的公式美得令人惊叹：

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathcal{K}=-\frac{1}{A B}\left(\partial_v\left[\frac{\partial_v A}{B}\right]+\partial_u\left[\frac{\partial_u B}{A}\right]\right) . \tag{4.10}
\end{equation*}
}
$$

要得到这个简单而优美的公式，路还很长：第四幕中的第 27 章首先利用几何方法推导出这个公式，第五幕中的 38．8．2 节通过计算（使用嘉当的微分形式）再次推导出这个公式。但现在，我们认为它是来自未来的超先进技术，就像《星际迷航》里 23 世纪的相位枪：现在就可以用它向目标开火，尽管我们对它的工作原一无所知。

例如，在欧几里得度量 $\mathrm{d} \widehat{s}^2=\mathrm{d} r^2+r^2 \mathrm{~d} \theta^2$ 中有 $u=r, v=\theta, A=1, B=r$ ，所以就得到了我们已知的结果：

$$
\mathcal{K}=-\frac{1}{r}\left(\partial_\theta\left[\frac{\partial_\theta 1}{r}\right]+\partial_r\left[\frac{\partial_r r}{1}\right]\right)=-\frac{1}{r}\left(\partial_r 1\right)=0 .
$$

此外，在球面坐标度量公式（4．4）中有 $u=\theta, v=\phi, A=R, B=R$ ，再次得到了我们已知的结果：

$$
\mathcal{K}=-\frac{1}{R^2 \sin \phi}\left(\partial_\phi\left[\frac{\partial_\phi R \sin \phi}{R}\right]+\partial_\theta\left[\frac{\partial_\theta R}{R \sin \phi}\right]\right)=-\frac{\partial_\phi \cos \phi}{R^2 \sin \phi}=+\frac{1}{R^2} .
$$

虽然计算比较长，但我们鼓励你亲自动手尝试将这个公式应用于球面的射影度量公式（4．2），也应该得到 $\mathcal{K = + ( 1 / R 2 )}$ 。

在进人下一节之前，看看稍后需要的另一个结果．度量告诉我们怎样将地图上的一小段距离转换为曲面上的距离．但是，我们应该如何转换面积呢？在图 4－3中，地图上一个小矩形的面积为 $\delta u \delta v$ ，它在曲面上有一个对应平行四边形，其面积最终等于 $(A \delta u)(B \delta v \sin \omega)$ ．因此，利用式（4．7），曲面上的无穷小面积元 $\mathrm{d} \mathcal{A}$由如下公式表示：

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \mathcal{A}=\sqrt{(A B)^2-F^2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v . \tag{4.11}
\end{equation*}
$$

我们通常会指定使用正交坐标系，此时 $F=0$ ，这个公式简化为

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathrm{d} \mathcal{A}=A B \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \tag{4.12}
\end{equation*}
}
$$

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