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共形地图

## 共形地图

> 注：以下内容需要《复变函数》知识，详见 [共形映射](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=898)

虽然球面投影地图具有保持直线不变的优点，但是对于儿乎所在的目的，为了保持角度不变而放弃保持直线不变会好得多。如果一张地图能保持角的大小和指向都不变，则称为共形的 ；如果它保持价的大小不变，而使角的指向相反，则称为反共形的．

我们所说的两曲线的夹角是指它们交点处两切线的夹角，见图 4－4．

![图片](/uploads/2026-05/ffc132.jpg)
 
 根据度量公式（4.1），一个地图是共形的，当且仅当扩张因子 $\Lambda$ 不依赖于从 $z$出发的无穷小向量 $\mathrm{d} z$ 的方向 $\gamma$ ：

$$
\begin{equation*}
\text { 共形地图 } \Longleftrightarrow \mathrm{d} \widehat{s}=\Lambda(z) \mathrm{d} s \text {. } \tag{4.13}
\end{equation*}
$$

共形地图的一大优点是

> **曲面 $\mathcal{S}$ 上的一个无穷小图形在共形地图中表示为相似图形，与原图形仅大小不同： $\mathcal{S}$ 上图形的线性大小是地图上图形的线性大小的 $\Lambda$ 倍**。

事实上， 18 世纪的数学家所称的无穷小相似，就是现代术语中的共形概念．
显然，由结论（4．13）右边的等式可推出共形性，现在通过图 4－5 说明反过来也是可以的．图 4－5 左图是曲面的共形地图，其中的三角形在向一个点收缩．此时，曲面上对应的曲线三角形就会收缩到一个直线三角形，用序幕里介绍的术语来说就是，地图上的三角形与曲面上的三角形是最终相似的，即存在某个与三角形的边 $\delta s_1$ 和 $\delta s_2$ 的方向无关的 $\Lambda$ ，使得

$$
\frac{\delta \widehat{s_1}}{\delta s_1} \asymp \frac{\delta \widehat{s_2}}{\delta s_2} \asymp \Lambda .
$$

于是，我们证明了，由共形性可推出结论（4．13）右边的等式．

![图片](/uploads/2026-05/79fa1f.jpg)
 
 在讨论一般度量公式（4．7）时，显然可以只考虑曲面上由 $u$ 曲线和 $v$ 曲线组成正交坐标系的情形，地图上与其对应的是由纵横直线组成的正交坐标系．但是在这个阶段，一般来说，两个方向上的拉伸因子 $A$ 和 $B$ 是不同的，所以地图上的无穷小圆就拉伸为曲面上的椭圆了，而且夹角也会改变。

现在考虑更特殊的情形：拉伸因子在所有方向上都是相同的，即 $A=B=\Lambda$ 。于是无穷小圆映射为无穷小圆，角度保持不变．在这种情况下，$(u, v)$ 坐标称为共形坐标（或等温坐标），式（4．9）简化为欧几里得度量的简单倍数：

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}^2=\Lambda^2\left[\mathrm{~d} u^2+\mathrm{d} v^2\right] . \tag{4.14}
\end{equation*}
$$

这是一个很强的限制条件，以至于有人担心这样的地图可能根本不存在．但是，高斯在 1822 年发现，对于一般曲面，总是有可能（至少局部地）画出一张这样的地图．值得注意的是，这个证明（见第 97 页习题 8 ）依赖于复数——事实上，复分析和共形地图之间有很深的联系，这是下一节的主题．

曲率公式（4．10）已经很优美了，但是现在可以变得更加优美．${ }^{(1)}$ 回忆一下二阶拉普拉斯微分算子 $ \nabla^2$ ：

$$
\begin{equation*}
\nabla^2 \equiv \partial_u^2+\partial_v^2 . \tag{4.15}
\end{equation*}
$$

现在，有了条件 $A=B=\Lambda$ ，容易［练习］将式（4．10）简化为

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathcal{K}=-\frac{\nabla^2 \ln \Lambda}{\Lambda^2} . \tag{4.16}
\end{equation*}
}
$$

##   4.6 讲一点儿可视化的复分析

即使我们将曲面 $\mathcal{S}$ 选为平面，讨论平面到平面的共形映射，这也仍然是一个丰富而深刻的研究领域。需要强调的是，这些共形映射与复数错综复杂的纠缠关系是无法避免的，本节只准备进行简单的介绍．（在这一幕的后面将给出更多具体的例子。）我的第一本书《复分析》中全面介绍了复分析中的精彩结果是如何从这个几何的基础性问题中产生的，在此冒味地向你推荐它．

每个曲面 $\mathcal{S}$ 一定有共形地图，而且是无穷多种共形地图！我们首先要指出，为生成满足度量公式（4．14）

$$
\mathrm{d} \widehat{s}=\Lambda(u, v) \mathrm{d} s
$$

的共形 $(u, v)$ 坐标系，特定的 $u$ 曲线和与之正交的 $v$ 曲线并不需要有什么独特之处。

真正神奇的是共形映射 $F: \mathbb{C} \rightarrow \mathcal{S}$ 本身。给定一个共形映射 $F$ ，通过对复平面 $\mathbb{C}$ 上的 $(u, v)$ 坐标网格做旋转、伸缩和平移，就可以在曲面 $\mathcal{S}$ 上创建无穷多个不同的共形（ $\widetilde{u}, \widetilde{v}$ ）坐标系，（利用映射 $F$ ）得到曲面 $S$ 上全新的 $\widetilde{u}$ 曲线和与之正交的 $\tilde{v}$ 曲线． $\mathcal{S}$ 上这个全新的正交 $(\tilde{u}, \tilde{v})$ 坐标系与原先的坐标系一样，也是共形的．

我们引入一些记号来充分解释这一点．按照复分析中的惯例，可以认为 $z= u=\mathrm{i} \nu$ 位于复平面 $\mathbb{C}$ 的一个副本上，它在复函数 $z \mapsto \widetilde{z}=f(z)$ 下的像 $\widetilde{z}=\widetilde{u}+\mathrm{i} \widetilde{v}$
位于复平面 $\mathbb{C}$ 的另一个副本上：

$$
z \mapsto \widetilde{z}=\tilde{u}+\mathrm{i} \tilde{v}=f(z)=f(u+\mathrm{i} v) .
$$

在我们刚刚讨论过的例题里，有 $f(z)=a \mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau} z+w$ ，它由拉伸（实数）$a$ 倍、旋转 （角度）$\tau$ 、平移（复数）$w$ 组成。

将映射 $f$ 与映射 $F$ 复合，得到从复平面 $\mathbb{C}$ 到曲面 $\mathcal{S}$ 的新共形映射 $\widetilde{F} \equiv F \circ f$ ．如果 $z$ 沿着小复数 $\delta z$ 的方向移动距离 $|\delta z|$ ，则它在第一个映射 $z \mapsto \widetilde{z}=f(z)$ 的像从 $\widetilde{z}$ 出发，沿着 $\delta \widetilde{z}$ 的方向移动距离 $|\delta \widetilde{z}|$（其中 $\delta \widetilde{z}$ 是 $\delta z$ 的像），显然有

$$
\begin{equation*}
\delta \widetilde{z}=a \mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau} \delta z . \tag{4.17}
\end{equation*}
$$
于是，距离 $\delta s=|\delta z|$ 被拉伸 $a$ 倍，所以 $\delta \widetilde{s}=|\delta \widetilde{z}|=a \delta s$ ．接着，在第二个映射 $F$的作用下（这时映射到曲面 $\mathcal{S}$ 上），距离 $\delta \widetilde{s}$ 被拉伸 $\Lambda(\widetilde{z})$ 倍，其中 $\Lambda(\widetilde{z})$ 是共形度量因子．于是，$\delta s$ 在复合映射 $\widetilde{F}$ 下的拉伸因子是这两个拉伸因子的乘积：

$$
\mathrm{d} \widetilde{z}=\widetilde{\Lambda}(z) \mathrm{d} s \text {, 其中 } \widetilde{\Lambda}(z)=a \Lambda(\widetilde{z}) \text {. }
$$

这只勉强触及了表面，为了解释原因，我们简单地引用复分析中的如下基本事实，详情请参见《复分析》。你一定研究过一些有用的常见实函数，例如 $x^m, \mathrm{e}^x, \sin x$ 。只要将自变量换成复数 $z$ ，每一个这样的实函数 $f(x)$ 就能唯—延拓为复函数 $f(z)$ 。像之前一样，可以把它想象成从一个复平面 $\mathbb{C}$ 到另一个复平面 $\mathbb{C}$ 的映射。复分析的神奇之处是，所有这些自然出现的映射 $f(z)$ 自动地都是共形的．

例如，图 4－6 说明了平方映射

$$
z \mapsto \widetilde{z}=f(z)=z^2=\left[r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right]^2=r^2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} 2 \theta}
$$

![图片](/uploads/2026-05/a3f714.jpg)

的作用，它将每个复数的模平方，辐角加倍。如你所见，左边那些小＂正方形＂ 变成右边的相似＂正方形＂．当然，这两组＂正方形＂只在收缩到一点时才是真正的正方形．同样，左图中黑色的 T 形越小，就与被映射到右图中的 T 形像越相似。

为了看出这有多神奇，假设随机写下两个实函数 $\tilde{u}$ 和 $\tilde{v}$（实变量 $u$ 和 $v$ 的函数），然后将它们强制合并成单一的复咉射 $f(u, v)=\widetilde{u}+\mathrm{i} \widetilde{v}$ 。那么 $f$ 根本不可能是共形的．我们将会看到，这也意味着导数 $f^{\prime}(z)$ 不可能存在！

我们重做一次之前的分析，但现在用导数 $f^{\prime}(z)$ 存在的一般映射 $f(z)$（称为解析映射）替换线性函数。正如我们刚才指出的，解析映射非常罕见，但还是包括了从数学和物理学中自然产生的所有有用函数．
现在，与式（4．17）类似，我们有

$$
\begin{equation*}
\delta \widetilde{z} \asymp f^{\prime}(z) \delta z=a \mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau} \delta z . \tag{4.18}
\end{equation*}
$$

主要的区别是，现在伸缩系数 $a(z)$ 和旋转角 $\tau(z)$ 都依赖于位置 $z$ ，而不是在整个复平面 $\mathbb{C}$ 上不变。例如，在图 4－6 中，我们可以看到网格左上角的白色＂正方形＂比下面毗连实轴的黑色＂正方形＂扩大得更多一些，所以 $a(z)$ 在黑色＂正方形＂内比在白色＂正方形＂内小．同样，这个黑色＂正方形＂很明显没有旋转，所以这里的 $\tau=0$ ，但白色＂正方形＂显然必须经过旋转才能得到它的像．

如果 $f^{\prime}(z) \neq 0$ ，由式（4．18）可知，每一个从点 $z$ 出发的微小复箭头 $\delta z$ ，经过同样的拉伸 $a$ 和旋转 $\tau$ ，都能得到从点 $\widetilde{z}=f(z)$ 出发的像箭头 $\delta \widetilde{z}$ 。如图 4－7 所示，从点 $z$ 出发的两个 $\delta z$ 之间的夹角，将与它们的像［从点 $\widetilde{z}=f(z)$ 出发的两个 $\delta \widetilde{z}]$ 之间的夹角相同．由此可知，可微复咉射都是自动共形的．

我们知道导数 $f^{\prime}(z)$ 描述了共形咉射的局部性质，并在《复分析》中引入了一些（非标准）术语来刻画这个性质的几何意义。我们称局部拉伸因子 $a$ 为伸缩，称局部旋转角度 $\tau$ 为扭转，称伸缩和扭转的组合（将原始图形转换为像）为伸扭。综上，

![图片](/uploads/2026-05/cf05d4.jpg)
 
 $$
\begin{equation*}
f^{\prime}(z)=f \text { 在 } z \text { 处的伸扭 }=(\text { 伸缩 }) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\text { 扭转 })}=a \mathrm{e}^{\mathrm{i} \tau} \text {. } \tag{4.19}
\end{equation*}
$$

在讨论空间曲面上的共形度量公式之前，我们再次回到 $f(z)=z^2$ ，演示如何借助图 4－6利用几何方法推导出平方函数的伸扭。

考虑图 4－6 中有一个顶点为 $z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i}} \theta$ 的白色＂正方形＂．它经过点 $z$ 、辐角为 $\theta$ 的径向边被映射为经过点 $z^2$ 、辐角为 $2 \theta$ 的径向边，即这条边在映射作用下扭转了角度 $\theta$ ，所以

$$
\tau=\text { 扭转 }=\theta \text {. }
$$

为了求出拉伸因子 $a$ ，注意白色＂正方形＂加黑的外边（它最终等于经过点 $z$ 、连接两个白点的那段圆弧）。它对应的圆心角为 $\delta \theta$ ，长度最终等于 $r \delta \theta$ ．因为平方映射使得辐角加倍，所以这段弧的像（称为像弧）对应的圆心角为 $2 \delta \theta$ ，又因为像弧在半径为 $r^2$ 的圆周上，所以这段像弧的长度最终为 $r^2(2 \delta \theta)$ ．因此，

$$
(\text { 像弧 }) \asymp 2 r(\text { 原弧 }) \Rightarrow a=\text { 伸缩 }=2 r \text {. }
$$

于是，我们得到结论：

$$
\left(z^2\right)^{\prime}=z^2 \text { 的伸扭 }=(\text { 仲缩 }) \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\text { 扭转 })}=2 r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=2 z .
$$

这个结果与实函数的结果 $\left(x^2\right)^{\prime}=2 x$ 看起来完全一样，但它包含的意义要多得多．
将这个几何方法推广到幂函数 $z^m$ ，不难得到 $\left(z^m\right)^{\prime}=m z^{m-1}$［练习］．其他重要映射的伸扭也可以用纯几何的方法推导出来，详情请参见《[复分析](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=850)》。

现在回到我们的主要关注点：曲面上的共形坐标．我们可以把简单的线性函数重新放到极其丰富的可微（即共形）映射 $f(z)$ 里。再次定义从复平面 $\mathbb{C}$ 到曲面 $\mathcal{S}$ 的复合咉射 $\tilde{F} \equiv F \circ f$ ，新的度量公式为

$$
\mathrm{d} \widehat{s}=\widetilde{\Lambda}(z) \mathrm{d} s \text {, 其中 } \widetilde{\Lambda}(z)=(\text { 伸缩 }) \Lambda(\widetilde{z})=\left|f^{\prime}(z)\right| \Lambda(\widetilde{z}) \text { 。 }
$$

只要有一个共形映射 $F: \mathbb{C} \mapsto \mathcal{S}$ ，任选一个解析咉射 $f: \mathbb{C} \mapsto \mathbb{C}$ ，然后变换到 $\mathcal{S}$ ，就可以构作从曲面 $\mathcal{S}$ 到自身的共形映射。为在清这一点，考虑作用在 $\mathcal{S}$ 上的复合映射

$$
\begin{equation*}
\widehat{f} \equiv F \circ f \circ F^{-1} \tag{4.20}
\end{equation*}
$$

首先，$F^{-1}$ 是从曲面 $\mathcal{S}$ 到复平面 $\mathbb{C}$ 的共形映射；其次，$f$ 将 $\mathbb{C}$ 共形映射到 $\mathbb{C}$ ；最后，$F$ 将复平面 $\mathbb{C}$ 共形映射到曲面 $\mathcal{S}$ 。因为这三个咉射都保持角度不变，所以复合映射也保持角度不变，从而复合映射 $\widehat{f}: \mathcal{S} \mapsto \mathcal{S}$ 的确是共形的。

在下一节中，我们将遇到一个非常重要的例子，即球面 $\mathcal{S}=\mathbb{S}^2$ 上的共形映射 $F$ 。稍后，我们将用这个映射 $F$ ，经由映射（4．20），将球面 $\mathbb{S}^2$ 的旋转变换表示为复函数［由式（6．10）给出］．这些旋转变换不仅是共形的，而且是在球面上（保向）等距的．

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