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球面的共形球极地图

## 4.7 球面的共形球极地图

喜帕恰斯（约公元前150年）可能是第一个绘制球面共形地图的人，他使用的方法如图 4－8 所述，即所谓的球极平面投影法．到了公元 125 年，托勒密（他通常被认为是该方法的发现者）用这种方法绘制了天体在天球上的位置。

![图片](/uploads/2026-05/d0860a.jpg){width=700px}

这个投影法类似于中心投影，不同的是点光源在北极 $N$ ，而不是在球心，投影到的是一个横截赤道的平面，而不是南极的切平面。穿过球面 $\Sigma$ 上点 $\widehat{z}$ 的光线射到复平面 $\mathbb{C}$ 上的一点 $z$（称为点 $\widehat{z}$ 的**球极像**）．这样我们就建立了从 $\mathbb{C}$ 上的点到 $\Sigma$ 上的点一一对应的关系，所以也可以说 $\widehat{z}$ 是 $z$ 的球极像．因为上下文清楚地表明我们考虑的是从 $\mathbb{C}$ 到 $\Sigma$ 的映射，还是从 $\Sigma$ 到 $\mathbb{C}$ 的映射，所以，球极像是 $\widehat{z}$ 还是 $z$ 一目了然，不会引起混淆．

注意以下立即可得的事实：（i）$\Sigma$ 的南半球被映射到 $\mathbb{C}$ 上圆周 $|z|=R$ 的内部，特别地，南极 $S$ 被映射到复平面的原点 0 ；（ii）球面 $\Sigma$ 赤道上的每个点被映射到复平面 $\mathbb{C}$ 的圆周 $|z|=R$ 上（即映射到自身）；（iii）在复平面 $\mathbb{C}$ 上，圆周 $|z|=R$的外部被映射到 $\Sigma$ 的北半球，但北极 $N$ 不是复平面 $\mathbb{C}$ 上任何有限点的像。然而，很明显，随着 $z$（在任何方向上）越来越远离原点，像 $\widehat{z}$ 越来越接近北极 $N$ ．在这之后，直到第二幕结束，我们都将采用复分析中惯例，将 $\Sigma$ 取成单位球面，它的每个点以其球极像的复数标记，这个球面称为黎曼球面．北极 $N$ 就是无穷远点的具体表现．这样的复平面称为扩充复平面．

图 4－8 说明了以下事实：

> **平面上直线的球极像是球面 $\Sigma$ 上的一个圆周，这个圆周沿着平行于原像直线的方向经过北极 $N$**．

要弄清这一点，首先观察到，当点 $z$ 沿着图 4－8 所示的直线运动时，连接北极 $N$和点 $z$ 的直线扫出了一个经过北极 $N$ 的平面的一部分．于是球极像 $\widehat{z}$ 沿着这个平面与球面 $\Sigma$ 的交线运动，其轨迹是经过北极 $N$ 的圆周．其次，注意到球面 $\Sigma$ 在北极 $N$ 的切平面平行于平面 $\mathbb{C}$ 。我们用第三个平面与这两个平行平面相交，得到两条平行的直线，一条是原像直线，另一条是圆周在北极 $N$ 的切线．所以，圆周在北极 $N$ 的切线平行于原像直线．
由此可知，球极平而投影是保持角度不变的 。图4－9显示了两条相交于点 $z$的直线，它们的球极平面投影像都是经过北极 $N$ 的圆周．

![图片](/uploads/2026-05/001242.jpg){WIDTH=700PX}
 
 注意到两个圆周在两个交点（ $\widehat{z}$ 和北极 $N$ ）处夹角的大小是相同的，这是因为球面上的图形关于由球心和两个圆心决定的平面具有镜像对称性。 ${ }^{(2)}$ 又因为圆在北极 $N$ 处的切线与平面上的原像直线平行，所以图4－9中所示在点 $z$ 和 $\widehat{z}$ 处的两个角具有相等的大小。但是，在说球极平面投影是＂共形的＂之前，我们必须定义球面上角度的方向。

根据我们的约定，图 4－9 所示在点 $z$ 处的角（从黑色线条到白色线条）是正的，也就是说，当从平面上方向下看时，它是逆时针的．从图4－9可以看出，在点 $\widehat{z}$ 处的角是负的（顺时针）．然而，如果我们从球内部向外看这个角，它是正的．因此，

> 如果我们用从球面 $\Sigma$ 内部向外看到的角来定义 $\Sigma$ 上角的方向，那么球极平面投影就是共形的．

历史注释：值得注意的是，托勒密在公元125年左右首次将球极平面投影法付诸实际应用，从此这种方法广为人知。但是，直到近1500年后，球极平面投影的共形性这个至关重要的美丽性质才被发现。这是托马斯•哈里奥特在1590年左右首先发现的 ${ }^{(1)}$ ——是的，就是在1603年发现球面的角盈与面积关系的基本公式（1．3）的那个托马斯•哈里奥特！

由共形性可知，球面的度量具有式（4．13）的形式．如图4－10所示，球面上一个半径为 $\delta \widehat{s}$ 的小圆周最终映射为平面上一个半径为 $\delta s$ 的圆周，其中

$$
\delta \widehat{s} \asymp \Lambda \delta s .
$$

现在我们来求出这个 $\Lambda$ ．

![图片](/uploads/2026-05/c3ff7b.jpg)
 
 因为 $\Lambda$ 仅依赖于点 $\widehat{z}$ ，与半径 $\delta \widehat{s}$ 及其方向无关，所以我们可以自由地选取一个方向使得几何分析度是简坚，于是，我们选职水平方向，理综猪组线国的分向，
在球极平而投影的作州下，羕而上的组线眅被均匀攻大，生成一个认原复为也在平而上和它一样地转动，它们的移动的距离与它们到北极 $N$ 的距离成比例，于是，

$$
\frac{\delta \widehat{s}}{\delta s}=\frac{N \widehat{z}}{N z} .
$$
 
图 4－11 显示的是图 4－10 中经过三点 $N, \widehat{z}, z$ 的纵剖而．三价形 $N \widehat{z} S$ 机似于三角形 $N O z$ ，所以

$$
\frac{N \widehat{z}}{2 R}=\frac{R}{N z} .
$$

![图片](/uploads/2026-05/a5d6d4.jpg)

结合前面得到的结果，我们有

$$
\frac{\delta \widehat{s}}{\delta s}=\frac{2 R^2}{[N z]^2}
$$

最后，令 $r=|z|$ ，利用勾股定理，从三角形 NOz 可知 $[\mathrm{Nz}]^2=R^2+r^2$ ，于是球极地图的共形度量公式为

$$
\boxed{
\mathrm{d} \widehat{s}=\frac{2}{1+(r / R)^2} \mathrm{~d} s
...(4.22)}
$$

这是我们第一次尝试共形曲率公式（4．16），当然会得到 $\mathcal{K}=\left(1 / R^2\right)$ ．建议你用以下两种方式确认这个结果．一是，记 $r^2=x^2+y^2$ ，利用拉普拉斯算子在直角坐标系里最初的形式，即式（4．15）。二是，利用拉普拉斯算子在极坐标系里的如下形式：

$$
\begin{equation*}
\nabla^2=\partial_r^2+\frac{1}{r} \partial_r+\frac{1}{r^2} \partial_\theta^2 \tag{4.23}
\end{equation*}
$$

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