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球极平面投影公式及其保圆性

## 4.8 球极平面投影公式

在本节中，我们要推导球面 $\Sigma$ 上的点 $\widehat{z}$ 和它在 $\mathbb{C}$ 上的球极平面投影 $z$ 之间坐标关系的显式公式．为简化问题，我们仅考虑 $R=1$ 的标准情形．

令点$z$的直角坐标为 $\mathrm{z}=x+\mathrm{i} y$ ，球面 $\Sigma$ 上点 $\tilde{z}$ 的直角坐标为 $(X, Y, Z)$ ．我们选择 $X$ 轴和 $Y$ 轴分别与平而 $\mathbb{C}$ 的 $x$ 轴和 $y$ 轴重合，$Z$ 轴正半轴经过北极 $N$ 。为了让你适应这两个坐标系，请验证以下实：$\Sigma$ 的方程为 $X^2+Y^2+Z^2=1$ ，北极 $N$的坐标为 $(0,0,1)$ ，南极 $S$ 的坐标为 $(0,0,-1)$ ，以及 $1=(1,0,0), ~ \mathrm{i}=(0,1,0)$ ．

已知球面 $\Sigma$ 上点 $\widehat{s}$ 的坐标为 $(X, Y, Z)$ ，它的球极像为 $z=x+\mathrm{i} y$ ，我们来求联系二者的公式。设点 $\hat{z}$ 到平面 $\mathbb{C}$ 的垂足为 $z^{\prime}=X+i Y$ 。显然，球极像 $z$ 与垂足 $z^{\prime}$具有相同的方向，所以

$$
z=\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|} z^{\prime} .
$$
图 4－12a 绘出了过北极 $N$ 和点 $\widehat{z}$ 的球面 $\Sigma$ 和平面 $\mathbb{C}$ 的纵剖面．显然，点 $\widehat{z}$和 $z$ 都在这个纵剖面上．由图 4－12a 中所示分别以 $N \widehat{z}$ 和 $N z$ 为斜边的两个直角三角形的相似性，立即可得［练习］：

$$
\frac{|z|}{\left|z^{\prime}\right|}=\frac{1}{1-Z} .
$$

由此得到第一个球极平面投影公式：

$$
\begin{equation*}
x+\mathrm{i} y=\frac{X+\mathrm{i} Y}{1-Z} \tag{4.24}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-05/f5befb.jpg)
 
 为方便使用，我们反过来求出用 $z$ 的坐标表示的 $\hat{z}$ 的坐标．因为［练习］

$$
|z|^2=\frac{1+Z}{1-Z},
$$

我们有［练习］

$$
\begin{equation*}
X+\mathrm{i} Y=\frac{2 z}{1+|z|^2}=\frac{2 x+\mathrm{i} 2 y}{1+x^2+y^2}, \quad Z=\frac{|z|^2-1}{|z|^2+1} . \tag{4.25}
\end{equation*}
$$

用三维坐标 $(X, Y, Z)$ 表示球面 $\Sigma$ 上的点常常是很有用的，但肖定是不自然的，因为球面的内蕴几何是二维的．使用更自然的二维球面极坐标（ $\phi, \theta$ ），会得到一个特别整齐的球极平面投影公式。

回忆一下，我们知道 $\theta$ 表示绕 $Z$ 轴旋转的角度，$\theta=0$ 定义为过 $X$ 轴正半轴的纵向半平面。因此，对于平而 $\mathbb{C}$ 上的点 $z, \theta$ 就是正实轴到 $z$ 的通常角度。如图4－12b所示，$\phi$ 定义为球面 $\Sigma$ 上从北极 $N$ 到点 $\widehat{z}$ 的圆心角。   例如，赤道表示为 $\phi=(\pi / 2)$ 。 按照惯例， $0 \leqslant \phi \leqslant \pi$ ．

假设点 $\widehat{\mathrm{z}}$ 的的坐标为 $(\phi, \theta)$ ，它的球极像为 z ，显然有 $\mathrm{z}=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ ，于是我们只需求出 $r$ 关于 $\phi$ 的函数．从图 4－12b 可知，三角形 $N \widehat{z} S$ 和 $N O z$ 相似［练习］，又因为 $\angle N S \widehat{z}=(\phi / 2)$ ，所以 $r=\cot (\phi / 2)$［练习］．由此得到第二个球极平面投影公式：

$$
\begin{equation*}
z=\cot (\phi / 2) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} \tag{4.26}
\end{equation*}
$$

罗杰•彭罗斯爵士提出过球极平面投影的一个漂亮的不同解释，我们会在第 108 页习题 33 里介绍怎么用这个公式建立彭罗斯的新解释。

>  彭罗斯用复数直接标记光线的方法．在正文中，借助黎曼球面，通过球极平面投影，就可以用复数来标记光线。罗杰•彭罗斯爵士：（参见 Penrose and Rindler，1984，第 1 卷，第 13 页）发现了另一种非凡的方法，将光线与复数直提关联起来。设点 $p$ 位于复平面（天际面）的原点正上方一个单位。现在想象。从点 $p$ 发时一束闪光，同时，复平面 $\mathbb{C}$ 以光速 $(=1)$ 向上（沿 $\phi=0$ 的方向）向着点 $p$ 运动。（你可以想象整个平面向上飞速运动，产生平面波。）将从点 $p$ 沿方向 $(\theta, \phi)$ 发射出来的光子 $F$ 的速度分解成垂直和平行于 $\mathbb{C}$ 的分量。求出光子 $F$ 撞到 $\mathbb{C}$ 的时间。证明光子 $F$ 在点 $z=\cot (\phi / 2) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ 处撞到 C．因此，彭罗斯的构作方法等价于球极平面投影法！

为了说明这个公式的一个应用，我们简单讨论一下表示对径点的复数之间的关系．回忆一下，一对对径点就是球的直径的两个端点．例如，南极和北极互为对径点。我们要证明

**如果 $\widehat{p}$ 和 $\widehat{q}$ 是球面 $\Sigma$ 上的一对对径点，则它们的球极像 $p$ 和 $q$有如下关系**：

$$
\begin{equation*}
q=-(1 / \bar{p}) . \tag{4.27}
\end{equation*}
$$

注意到 $p$ 和 $q$ 实际上是对称的（这是显然的），我们有 $p=-(1 / \bar{q})$ ．现在证明式（4．27）：如果 $\widehat{p}$ 的坐标是 $(\phi, \theta)$ ，则 $\widehat{q}$ 的坐标是 $(\pi-\phi, \pi+\theta)$ 。于是，

$$
q=\cot \left[\frac{\pi}{2}-\frac{\phi}{2}\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi+\theta)}=-\frac{1}{\cot (\phi / 2)} \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}=-\frac{1}{\cot (\phi / 2) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}}=-\frac{1}{\bar{p}} .
$$

第 96 页习题 7 是式（4．27）的初等几何证明．

## 4.9 球极平面投影的保圆性

本节致力于证明一个美丽、令人惊讶且至关重要的事实：

> **球极平面投影是保圆的！（4．28）**

我们已经知道，每一个共形映射都将无穷小圆周映射为无穷小圆周。球极平面投影不仅如此，还将球面上任意大小、任意位置的有限圆周映射为平面上的正圆周，尽管球面上的圆心不被映射为平面上的圆心。我们指出，当球面上的圆周靠近北极 $N$ 时，它的像等别大；如果圆周经过 $N$ ，它的像就会变成图4－8所示的直线。

《复分析》3．4．2 节最后给出了命题（4．28）漂亮、完全概念化的儿何解释，在此代之以计算性的处理。

单位球面 $\Sigma$ 上的每一个圆周都是 $\Sigma$ 与一个平面的交线，这个平面到球心 $O$的型离小于 1 ：

$$
l X+m Y+n Z=k \text {, 其中 } l^2+m^2+n^2 \geqslant k^2 \text {. }
$$

把式（4．25）代入这个平面方程，得到这个平面与球面 $\Sigma$ 的交线在平面 $\mathbb{C}$ 上的球极平面投影曲线，其方程为［练习］

$$
2 l x+2 m y+n\left(x^2+y^2-1\right)=k\left(x^2+y^2+1\right) .
$$

如果 $k=n$ ，则这个圆周在球面 $\Sigma$ 上经过北极 $N$ ，它的像是一条直线（当然如此！），其方程为 $l x+m y=n$［练习］．如果 $k \neq n$ ，配方，将方程写为［练习］

$$
\left[x-\frac{l}{k-n}\right]^2+\left[y-\frac{m}{k-n}\right]^2=\frac{l^2+m^2+n^2-k^2}{(k-n)^2} .
$$

这是一个圆，其中

$$
\text { 圆心 }=\left(\frac{l}{k-n}, \frac{m}{k-n}\right), \quad \text { 半径 }=\frac{\sqrt{l^2+m^2+n^2-k^2}}{|k-n|} .
$$

（评论：这是一个非常好的例子，说明计算极具魅力，但也很有腐蚀能力。我们调用＂魔鬼机器＂在短短几行中完成工作，证明了结果．但我们站在这里，完全不知道为什么结果是真的！）

有了保圆性，借助图 1－5 容易证明：球面上的测地线（即大圆）在地图上表现为圆周，它与赤道相交于一条直径的两个端点。

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