最后更新: 2026-05-20 21:36 查看: 24 次纠错评论(0) 课件开VIP

贝尔特拉米的洞察、曳物线、伪球面、共形地图

## 贝尔特拉米的洞察
在1830年左右，随着罗巴切夫斯基和波尔约发现双曲几何，对平行线的长期研究达到高潮．几乎与此同时，随着高斯在1827年发现微分与几何的联系，一条完全不同的平行线——对微分几何的研究也达到高潮．

![图片](/uploads/2026-05/fd0942.jpg){width=100px}
 罗巴切夫斯基-罗氏几何创始人

就像球面上最初平行的线最终会相交一样(考虑经线)，这两条思想的平行线也会以强有力而富有成效的方式相交．

1868年，意大利几何学家欧金尼奥•贝尔特拉米（见图 5－1）认识到，来自看似不相关思想领域的两个结果之间可能存在联系。 一方面，他知道兰伯特的结果（1．8）——后来被高斯、罗巴切夫斯基和波尔约重新发现——即在双曲几何中，一个三角形的角盈是一个负常数与其面积的乘积。另一方面，他也知道局部高斯 －博内定理。

![图片](/uploads/2026-05/993e05.jpg){width=100px}
 贝尔特拉米
 
 
贝尔特拉米有一个深刻的认识：如果能找到一个常负曲率 $\mathcal{K}=-\left(1 / R^2\right)$ 的曲面，那么通过式（2．6），在这个曲面上构作的测地线三角形都会自动服从双曲几何的中心定律：

$$
\mathcal{E}(\Delta)=-\frac{1}{R^2} \mathcal{A}(\Delta)
$$

当时，罗巴切夫斯基和波尔约发现的双曲几何已经在不明不白之中沉寂了近40 年，虽然因其匪夷所思被一些人诋毁，但还是被大多数人忽视了。现在，贝尔特拉米终于有了一个想法，可以把它建立在一个可靠而直观的基础上。也许双曲几何仅仅是常负曲率曲面的内蕴几何！一场长达 2000 多年的斗争就此走向尾声．

## 5.2 曳物线和伪球面

贝尔特拉米已经知道，图2－6所示的伪球面确实是具有常负曲率 $\mathcal{K}=-\left(1 / R^2\right)$的曲面，其中 $R$ 为底圆半径。

![img-text](/uploads/2026-05/8b55ca.jpg){width=400px}

（我们将在本节中证明这个事实。）更具体地说，他认识到这个曲面的局部几何服从罗巴切夫斯基和波尔约的抽象非欧几何定律。 这种抽象的双曲几何学被理解为发生在一个无限的双曲平面上，这个平面与欧几里得平面几乎一模一样，服从欧儿里得几何的前四个公设，但是平行线服从双曲公设（1．1），而不是欧儿里得几何的平行公设．

尽管伪球面的常负曲率可以确保它忠实地体现这个公设的局部结果，但是伪球面仍然不会成为整个双曲平面的模型．这是因为，它在两个方面与是欧几里得平面不同：（1）伪球面类似于一个圆柱面，而不是平面；（2）伪球面上的一条线段不能沿两个方向无限延长，它会撞到边缘。（正如我们之前提到的，希尔伯特在 1901 年发现，这样的边缘是所有常负曲率曲面的基本特征——这不是内蕴的，而是试图迫使这样的曲面适应普通欧几里得三维空间造成。）

贝尔特拉米认识到了这两个障碍，下一节将说明，他如何通过构作一个伪球面的共形映射，一下子就克服了这两个障碍．现在还是先考虑如何构作伪球面。

试试下面的实验．拿一个小而重的物体（例如镇纸），在上面系一根细绳．现在把物体放在桌面上，并让细绳与桌面边缘垂直，然后沿着桌面边缘移动细绳的自由端来拖动它．你会看到重物沿着图 5－2所示的曲线移动，$Y$ 轴代表桌面边缘．这条曲线称为曳(ye)物线，$Y$ 轴（曲线渐近地接近它）称为曳物线的轴．牛顿在 1676 年首先研究了曳物线。

如果细绳的长度为 $R$ ，那么轨迹线具有如下几何性质：从一个切点到相应切线与 $Y$ 轴交点的长度为常数 $R$ ．牛顿认为这是与曳物线的定义等价的性质．

![图片](/uploads/2026-05/8f0351.jpg)
 
 回到图 5-2，设 $\sigma$ 为曳物线的弧长，$\sigma=0$ 对应于所拖动物体的起始位置 $X=R$ 。当物体将要通过 $(X, Y)$ 时，令 $\delta X$ 表示当物体沿 $X$ 曳物线移动一段距离 $\delta \sigma$ 时 $X$ 发生的微小变化。从图 5 － 2 中两个三价形的最终相似性，可以推出

$$
\frac{-\mathrm{d} X}{\mathrm{~d} \sigma}=\frac{X}{R},
$$

团此

$$
\boxed{
\begin{equation*}
X=R \mathrm{e}^{-\sigma / R} \tag{5.1}
\end{equation*}
}
$$

现在让曳物线绕其轴旋转一周，生成图 2－6所示的曲面，这就是半径为 $R$ 的伪球面。图5－3展示了作者自己（这里指本书作者特里斯坦·尼达姆）制作的伪球面。

![图片](/uploads/2026-05/b19cb2.jpg)

1839年，高斯的学生明金就知道这个曲面具有常曲率，该发现成为双曲几何受到关注的催化剂．值得注意的是，早在此约一个半世纪前（1693 年），克里斯蒂安•惠更斯就研究过这个曲面。

为了证明伪球面的曲率不变性，先求其度量公式，为此要建立一个好用的坐标系．我们着手在伪球面上建立一个非常自然的正交坐标系．看看图 5－4a（请先忽略图 5－4b）．要建立坐标系，对于曲面上任意指定的一点，我们要回答两个问题： （i）这个点在哪一条曳物线母线上？（ii）这个点在这条母线的什么地方？我们指定 $x$ 为曳物线绕其轴的旋转角，这就回答问题（i）；指定 $\sigma$ 为从曳物线底部到这一点的弧长，这就回答了问题（ii）．

![图片](/uploads/2026-05/737813.jpg)
 
 曲线 $x=常数$  是伪球面的曳物线母线（它们显然都是测地线），曲线 $\sigma=常数$ 是伪球面的横截圆周（它们显然不是测地线，类比经纬度）．这个横截圆周的半径是图 5－2中的 $X$ 坐标，所以，由式（5．1）有

> **伪球面上经过点 $(x, \sigma)$ 的 $\sigma=$ 常数的横截圆周的半径为 $X=R \mathrm{e}^{-\sigma / R}$** ．

如图 5－4a 所示，增量 $\mathrm{d} x$ 使得点 $(x, \sigma)$ 走过的弧长为 $X \mathrm{~d} x$ ．于是，度量公式为

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\mathrm{d} \hat{s}^2=X^2 \mathrm{~d} x^2+\mathrm{d} \sigma^2=\left(R \mathrm{e}^{-\sigma / R}\right)^2 \mathrm{~d} x^2+\mathrm{d} \sigma^2 . \tag{5.2}
\end{equation*}
}
$$

最后，将式（5．2）代人曲率公式（4．10），得到

$$
\mathcal{K}=-\frac{1}{R \mathrm{e}^{-\sigma / R}} \partial_\sigma\left[\frac{\partial_\sigma\left(R \mathrm{e}^{-\sigma / R}\right)}{1}\right]=-\frac{1}{R^2},
$$

从而证实了以下关于双曲几何的关键事实，这就是贝尔特拉米需要解释的：

$$
\boxed{
\begin{equation*}
\text { 伪球面具有常负曲率 } \mathcal{K}=-\left(1 / R^2\right) \text {, 其中 } R \text { 是底圆半径. } \tag{5.3}
\end{equation*}
}
$$

这个命题具有重要的数学意义和历史意义，在本书中我们会尽可能直接地给出它的几何解释．事实上，后面会给出这个命题的两个几何证明：在第三幕用外在几何证明，在第四幕用内蕴几何证明．

在继续讨论之前，我们建议你自己做一个伪球面！除此之外，我们实在想不出更好的方法来建立对伪球面的几何感觉。为理解这个结构背后的想法，可以想象旋转图 5－2 来构作伪球面．在这个过程中，无论拖拽物体的位置在哪里，因为拖动物体的细绳长为 $R$ ，下端与曳物线相切，上端在 $Y$ 轴上，旋转的细绳总是生成固定母线长度 $R$ 的（与伪球面相切的）圆锥面．

准备一摞纸，尽可能多（但要前得动），沿三条边钉在一起．拿一个可以放在纸内的最大圆形碗碟，在纸上描出它的边缘，沿着这个圆切出相同的圆盘．重复这个步骤，直到你拥有至少 20 个圆盘——越多越好！在第一个圆盘上剪一个小楔口，把边缘粘到一起，形成一个很浅的圆锥面．取出下一个圆盘，剪出稍微大一点儿的楔口 ，把边缘粘在一起，做成一个稍微高一点儿的圆锥面，但仍具有相同的母线长度。把这个新的圆锥面放在之前的圆锥上，然后重复、再重复⋯⋯你就可以看到自己亲手做的伪球面了！
 
 
## 5.3 伪球面的共形地图

为了创建类似于欧几里得平面的无限双曲平面地图，首先在复平而 $\mathbb{C}$ 上构作伪球面的共形地图。在地图上选择作 $x$ 作为横轴，见图5－4b。 于是伪球面的曳物线母线就是纵轴．伪球而上坐标为 $(x, \sigma)$ 的点在地图上表示为直角坐标为 $(x, y)$的点，我们把它看作复数 $z=x+i y$ 。

如果对地图没有特别的要求，可以简单地选择 $y=y(x, \sigma)$ 为 $x$ 和 $\sigma$ 的任意函数．但现在我们要求地图必须是共形的，即必须将伪球面上的无限小三角形咉射为地图上的相似无限小三角形，更一般地，必须将伪球而上的任何小图形咉射为地图上看起来同样的图形（仅大小不同）。在决定绘制这样一张共形地图之后，我们就不能随意选择 $y$ 坐标了．为什么呢？首先，由 $x=常数$ 表示的曳物线母线正交于由 $\sigma=常数$ 表示的横截圆周，所以它们在共形地图中的像也是正交的．因此，$\sigma=常数$  的像一定是地图上的水平直线 $y=常数$ ．由此我们推断，$y=y(\sigma)$是只与变量 $\sigma$ 有关的函数．

其次，考虑在伪球面的横截圆周 $\sigma=常数$ （半径为 $X$ ）上连接点 $(x, \sigma)$ 和（ $x+ \mathrm{d} x, \sigma)$ 的弧．如图 5－4 所示，根据 $x$ 的定义，这段弧对应的圆心角为 $\mathrm{d} x$ ，所以它在伪球面上的弧长为 $X \mathrm{~d} x$ ．这两个点在地图上的像有相同的高度，它们之间的距离为 $\mathrm{d} x$ ．因此，伪球面上的这段弧被映射为地图上的直线段，伸缩因子为 $X$ ．

因为地图是共形的，所以从点 $(x, \sigma)$ 出发，沿任意方向的无穷小线段都具有相同的伸缩因子 $(1 / X)=(1 / R) \mathrm{e}^{\sigma / R}$ ．换句话说，度量公式为

$$
\mathrm{d} \widehat{s}=X \mathrm{~d} s .
$$

最后，考虑图 5－4a 中伪球面最上面的黑色圆盘．设想这是一个无穷小圆盘，例如它的直径为 $\epsilon$ ．在地图上，它的像是另一个圆盘，其直径为 $(\epsilon / X)$ ，这个像的直径可以更生动地解释为：观察者站在伪球面的轴上，并且与原像圆盘保持在同一高度，看向原像圆盘的视角。假设我们将伪球而上的圆盘向下移动，每次移动距离 $\epsilon$ ，直至到达伪球面的边缘．图 5－4a 展示了由此产生圆盘链，它们彼此相切，大小相同．当圆盘沿伪球面向下移动时，它距离轴越来越远，从轴上相同的高度来观察它，视角会越来越小。因此，在地图上的像圆盘似乎会随着向下移动而逐渐缩小。在图 $5-4 \mathrm{a}$ 中，伪球面上三个相距 $8 \epsilon$ 的黑色圆盘是大小相同的，但是它们在图 5－4b 所示地图中的像圆盘就大小不同了。

对伪球面的地图有了一定的了解之后，我们实际计算一下伪球而上的点 $(x, \sigma)$在地图上对应的 $y$ 坐标。根据以上观察（或者直接根据图 5－4 中三角形是相似的这一要求），我们有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \sigma}=\frac{1}{X}=\frac{1}{R} \mathrm{e}^{\sigma / R} \Longrightarrow y=\mathrm{e}^{\sigma / R}+C,
$$

其中 $C$ 为常数。 $C$ 的标准选择是 0 ，从而

$$
\begin{equation*}
y=\mathrm{e}^{\sigma / R}=(R / X) . \tag{5.4}
\end{equation*}
$$

于是，整个伪球面在地图上的像完全在直线 $y=1$（这是伪球面边缘的像）的上方，用地图坐标表示的度量公式为

为了方便后续使用，注意地图中一个边长分别为 $\mathrm{d} x$ 和 $\mathrm{d} y$ 的无限小矩形在伪球面上的原像是一个与之相似、边长分别为 $(R \mathrm{~d} x / y)$ 和 $(R \mathrm{~d} y / y)$ 的无限小矩形．因此，伪球面上的真实面积 $\mathrm{d} \mathcal{A}$ 与地图上看到的面积 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 有如下关系：

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \mathcal{A}=\frac{R^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{y^2} . \tag{5.6}
\end{equation*}
$$

［当然，这个公式是式（4．12）在 $A=B=(R / Y)$ 时的特例．］

## 视频教程 
<video width="500" height="500" controls>
    <source src="/uploads/2026-05/weiqiumian.mp4" type="video/mp4">
    
</video>

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：球极平面投影公式及其保圆性

下一篇：伪球面的共形地图与庞加莱半平面

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)