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伪球面的共形地图与庞加莱半平面

## 5.3 伪球面的共形地图

为了创建类似于欧几里得平面的无限双曲平面地图，首先在复平而 $\mathbb{C}$ 上构作伪球面的共形地图。在地图上选择作 $x$ 作为横轴，见图5－4b。 于是伪球面的曳物线母线就是纵轴．伪球而上坐标为 $(x, \sigma)$ 的点在地图上表示为直角坐标为 $(x, y)$的点，我们把它看作复数 $z=x+i y$ 。

如果对地图没有特别的要求，可以简单地选择 $y=y(x, \sigma)$ 为 $x$ 和 $\sigma$ 的任意函数．但现在我们要求地图必须是共形的，即必须将伪球面上的无限小三角形咉射为地图上的相似无限小三角形，更一般地，必须将伪球而上的任何小图形咉射为地图上看起来同样的图形（仅大小不同）。在决定绘制这样一张共形地图之后，我们就不能随意选择 $y$ 坐标了．为什么呢？首先，由 $x=常数$ 表示的曳物线母线正交于由 $\sigma=常数$ 表示的横截圆周，所以它们在共形地图中的像也是正交的．因此，$\sigma=常数$  的像一定是地图上的水平直线 $y=常数$ ．由此我们推断，$y=y(\sigma)$是只与变量 $\sigma$ 有关的函数．

其次，考虑在伪球面的横截圆周 $\sigma=常数$ （半径为 $X$ ）上连接点 $(x, \sigma)$ 和（ $x+ \mathrm{d} x, \sigma)$ 的弧．如图 5－4 所示，根据 $x$ 的定义，这段弧对应的圆心角为 $\mathrm{d} x$ ，所以它在伪球面上的弧长为 $X \mathrm{~d} x$ ．这两个点在地图上的像有相同的高度，它们之间的距离为 $\mathrm{d} x$ ．因此，伪球面上的这段弧被映射为地图上的直线段，伸缩因子为 $X$ ．

因为地图是共形的，所以从点 $(x, \sigma)$ 出发，沿任意方向的无穷小线段都具有相同的伸缩因子 $(1 / X)=(1 / R) \mathrm{e}^{\sigma / R}$ ．换句话说，度量公式为

$$
\mathrm{d} \widehat{s}=X \mathrm{~d} s .
$$

最后，考虑图 5－4a 中伪球面最上面的黑色圆盘．设想这是一个无穷小圆盘，例如它的直径为 $\epsilon$ ．在地图上，它的像是另一个圆盘，其直径为 $(\epsilon / X)$ ，这个像的直径可以更生动地解释为：观察者站在伪球面的轴上，并且与原像圆盘保持在同一高度，看向原像圆盘的视角。假设我们将伪球而上的圆盘向下移动，每次移动距离 $\epsilon$ ，直至到达伪球面的边缘．图 5－4a 展示了由此产生圆盘链，它们彼此相切，大小相同．当圆盘沿伪球面向下移动时，它距离轴越来越远，从轴上相同的高度来观察它，视角会越来越小。因此，在地图上的像圆盘似乎会随着向下移动而逐渐缩小。在图 $5-4 \mathrm{a}$ 中，伪球面上三个相距 $8 \epsilon$ 的黑色圆盘是大小相同的，但是它们在图 5－4b 所示地图中的像圆盘就大小不同了。

对伪球面的地图有了一定的了解之后，我们实际计算一下伪球而上的点 $(x, \sigma)$在地图上对应的 $y$ 坐标。根据以上观察（或者直接根据图 5－4 中三角形是相似的这一要求），我们有

$$
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} \sigma}=\frac{1}{X}=\frac{1}{R} \mathrm{e}^{\sigma / R} \Longrightarrow y=\mathrm{e}^{\sigma / R}+C,
$$

其中 $C$ 为常数。 $C$ 的标准选择是 0 ，从而

$$
\begin{equation*}
y=\mathrm{e}^{\sigma / R}=(R / X) . \tag{5.4}
\end{equation*}
$$

于是，整个伪球面在地图上的像完全在直线 $y=1$（这是伪球面边缘的像）的上方，用地图坐标表示的度量公式为

为了方便后续使用，注意地图中一个边长分别为 $\mathrm{d} x$ 和 $\mathrm{d} y$ 的无限小矩形在伪球面上的原像是一个与之相似、边长分别为 $(R \mathrm{~d} x / y)$ 和 $(R \mathrm{~d} y / y)$ 的无限小矩形．因此，伪球面上的真实面积 $\mathrm{d} \mathcal{A}$ 与地图上看到的面积 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 有如下关系：

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \mathcal{A}=\frac{R^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{y^2} . \tag{5.6}
\end{equation*}
$$

［当然，这个公式是式（4．12）在 $A=B=(R / Y)$ 时的特例．］

## 贝尔特拉米与庞加莱半平面
我们现在有一个类圆柱形、有边缘的伪球面共形地图：$\{(x, y): 0 \leqslant x<2 \pi$ ， $y \geqslant 1\}$ ．为了创造无限双曲平面地图，贝尔特拉米知道他必须去掉上面这两个形容词．注意，选择不同的 $R$ ，虽然对几何参数的定量是不同的，但对几何性质的定性都是一样的，所以做如下特定选择不会有坏处：

几乎所有的双曲几何书籍和论文，都做出了特定选择 $R=1$ ，使得 $\mathcal{K}=-1$ 。在本节中，我们也采用这种传统选择。

如果有人希望从这个特例回到一般情形，只需要在特例 $(R=1)$ 的公式中插人一个合适的 $R$ 的幂。例如，面积公式要乘以 $R^2$ 。

为了去掉＂类圆柱形的＂这个形容词，想象一下，用一个（半径为 1 的）标准圆柱形油漆滚筒刷墙。在滚简滚动一圈之后，你在墙上刷了一个宽度为 $2 \pi$ 的带形区域，滚筒表面的每一个点都被映射到墙上这个带形区域内的一个特定点。要粉刷整面墙，只需继续滚动这个油漆滚简即可！现在，假设我们的油漆滚筒采用伪球面的形式．为了让它适合平坦的墙面，必须首先利用式（5．5）将伪球面拉伸成圆柱面   ，然后就可以像之前一样，继续滚动油漆滚筒（假设水平滚动）。如果一个质点沿着墙面上的一条水平线移动，那么伪球面上对应的质点就会绕伪球面上的水平圆周（即 $\sigma=$ 常数）转一圈又一圈．这样，＂类圆柱形的＂这个形容词就被成功移除了。 现在我们有伪球面地图 $\{(x, y):-\infty<x<\infty, y \geqslant 1\}$ ．

下一个问题，处理伪球面的＂边缘＂，同样可以用共形地图轻易解决．图 5－5的左边是伪球面上的一个质点沿曳物线母线向下运动的图像．当然，质点的路线在伪球面边缘 $(\sigma=0)$ 上的某一点 $\widehat{p}$ 处被迫中断，$\widehat{p}$ 对应着直线 $y=1$ 上的点 $p$ ．但在地图上，点 $p$ 和其他点一样，质点可以毫无障碍地向下移动到 $y=0$ 的点 $q$处．这时，伪球面上的真实距离 $\mathrm{d} \hat{s}$ 仍由标准化双曲度量给出：
$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}=\frac{\mathrm{d} s}{y} \tag{5.7}
\end{equation*}
$$

为什么停在点 $q$ 呢？答案是，质点永远不会到达那么远，因为在伪球面上，$p$和 $q$ 距离无限远！考虑图 5－5 左边所示，在直线 $y=2$ 上直径为 $\mathrm{d} s$ 的小圆盘 $D$ 。它在伪球面上的真实大小是 $\mathrm{d} \widehat{s}=\mathrm{d} s / y$ ，最终等于在直线 $y=0$ 上 $h$ 处观察它的视角［练习］．现在想象 $D$ 以稳定的速度沿伪球面向下移动，它在地图中的表观大小肯定会收缩，使得在点 $h$ 处观察它的视角不变．在地图中，它到达 $y=1$ ， $y=1 / 2, \cdots \cdots$ ，一直向下移动！

假设圆盘 $D$ 从 $y=2$ 走到 $y=1$ 用时为一个单位，则在下一个单位时间到达 $y=1 / 2$ ，然后到达 $y=1 / 4, \cdots \cdots$ ，这些点间隔相同的双曲距离：

$$
\ln 2=\int_1^2 \frac{\mathrm{~d} y}{y}=\int_{1 / 2}^1 \frac{\mathrm{~d} y}{y}=\int_{1 / 4}^{1 / 2} \frac{\mathrm{~d} y}{y}=\cdots .
$$

![图片](/uploads/2026-05/5384b9.jpg)
 
 因此，从地图上看运动变慢了，圆盘 $D$ 在每一个单位时间内只走过了它到 $y=0$的一半距离．这样，$D$ 永远到不了 $y=0$ ．（这种现象就是＂芝诺悖论＂，又称＂芝诺的报复＂！）

最终，我们拥有如下具体模型．

$$
\begin{equation*}
\text { 双曲平面 } \mathrm{H}^2 \text { : 度量公式为 } \mathrm{d} \widehat{s}=\frac{\mathrm{d} s}{y} \text { 的整个阴影半平面 } y>0 \text {. } \tag{5.8}
\end{equation*}
$$

实轴 $y=0$ 上的每一个点到双曲平面上每一个普通点的距离都是无限远的，严格来说，直线 $y=0$ 不是双曲平面的一部分．直线 $y=0$ 上的点称为理想点（或无穷远点）。整条直线 $y=0$ 称为天际线（或视界）。

尽管贝尔特拉米在1868年（比庞加莱早14年）就发现了这张地图，但它现在被普遍称为庞加莱半平面。然而，为了恢复历史平衡，我们固执地把这张地图称为贝尔特拉米－庞加莱半平面．

我们来更生动地解释这张地图的度量公式．图 5－5 最右边是一串纵向排列的圆盘，它们用双曲度量的直径是相等的，都等于 $\epsilon$（即图 5－4a 中伪球面上的那一串圆盘）。在它的左边，我们用这样的圆盘填满了双曲平面的其余部分，它们有相等的双曲直径 $\epsilon$ ．因此，任何曲线的双曲长度，即伪球面上曲线的真实长度，最终等于它所截圆盘的数量乘以 $\epsilon$ 。这就清楚地表明，从 $a$ 到 $b$ 的最短路径是截到最少圆盘的路径，因此其近似的形状如图 5－5 所示．
如果你已经按照我们之前的建议制作了自己的伪球面模型，也可以通过在相似高度的两点之间拉直一条细绳来观察测地线的形状．在不能拉直细绳紧贴模型表面的区域（例如沿着曳物线母线），你可以利用第 15 页方法（1．7）介绍的胶带法来试试，它在任何地方都有效．

我们的下一个任务是确认图 5－5 所示的有趣事实：几乎每一条测地线在地图上的形状都是一个与天际线成直角的完美半圆周。唯一不是这种形状的测地线是曳物线母线，它们的形状是纵向半直线，也可以看作半圆的半径趋向无穷大的极限情况。

## 利用光学来求测地线

本节将利用物理学观点（特别是光学观点）${ }^{(1)}$ 来解释双曲几何模型中的测地线为什么在贝尔特拉米－庞加莱半平面上是半圆形的．我们的灵感来自于 1662 年发现的费马原理 ：

> 光沿用时最少的路径从一个地方传播到另一个地方.

我们将从牛顿式推理开始对物理学进行短暂的探索，看看如何通过对费马原理的几何分析来解释当光线从空气进入水中时为什么会突然弯折（称为折射）。这解释了为什么［练习］当你把勺子放人一杯茶时它看起来是弯折的．

在图 5－6 中，一束光线从 $a$ 点出发，以与铅垂线夹角为 $\theta_1$ 的方向，在空气中以速度 $v_1$ 传播，并到达水面上的 $p$ 点．然后，光线被折射成与铅垂线夹角为 $\theta_2$的方向在水中继续传播，速度降低为 $v_2$ ，最后到达水中的 $b$ 点。早在公元 130 年，托勒密就做过这样的实验，并且编制了一张相当精确的角度 $\theta_1$ 和 $\theta_2$ 对照表．但是，托勒密没有弄清楚这两个角度之间的精确数学关系，在接下来的几个世纪里，科学家们也一直没弄清楚这个关系．

![图片](/uploads/2026-05/d612cb.jpg)
 
 最后，荷兰数学家维勒布罗德•斯涅尔（1580－1626）在 1621 年发现了正确的规律，现在普遍称为斯涅尔定律  ：

$$
\begin{equation*}
\sin \theta_1=n \sin \theta_2 \text {, 其中 } n=\text { 常数. } \tag{5.10}
\end{equation*}
$$

这个 $n$ 值（称为折射率）依赖于界面两边的物质，对于空气／水界面，$n \approx 1.33$ ．
为什么光线会在界面处发生弯折，至少在定性上利用费马原理可以说得清楚。如果光线沿直线从 $a$ 走到 $b$ ，那么它就会浪费宝贵的时间在水中相对缓慢地传播，而不是在空气中快速传播。 定量地说，当时间（关于位置 $p$ ）的导数为零时，就会出现使传播时间最小化所需的弯折量。

从几何角度来看，如果 $p$ 的位置使得光线传播耗时最小，那么，当 $p$ 点发生无限小的位移 $\epsilon$ 时，耗时（关于一阶的 $\epsilon$ ）应该不会变化．但是，正如我们在图 5－6中看到的，这个位移导致光在空气中传播的路线增加了一段，增加的一段长度最终等于 $\epsilon \sin \theta_1$ ，因此多耗时  $\left(\epsilon \sin \theta_1\right) / v_1$ ．此外，光在水中传播的路线缩短了，减少的耗时最终等于 $\left(\epsilon \sin \theta_2\right) / v_2$ 。因为赖时的沙变化为 0 ，所以这两个单独的耗时变化必须相等。因此，消除 $\epsilon$ 后，

$$
\begin{equation*}
\frac{\sin \theta_1}{v_1}=\frac{\sin \theta_2}{v_2} \tag{5.11}
\end{equation*}
$$

这不仅证明了斯涅耳定律（5．10），而且做出了一个物理预测，这个预测在直接实验中得到了证实：折射率是两种材料中的光速之比，$n=\left(v_1 / v_2\right)$ 。

如图5－7所示，假设水在一个玻璃杯的底部，光线从空气中出发，穿过水层，到达杯子底部的玻璃内，会如何弯折呢？假设光线在玻璃内的传播速度为 $v_3$ ，就有同样的定律

$$
\frac{\sin \theta_1}{v_1}=\frac{\sin \theta_2}{v_2}=\frac{\sin \theta_3}{v_3} .
$$

![图片](/uploads/2026-05/5a19f5.jpg)
 
 更一般地，如果我们有一个 $m$ 层的复合材料，水平铺设的每一层单质都很薄，光在第 $i$ 层单质的传播速度为 $v_i$ ，则光在复合材料中的传播服从定律：
 
 $$
\frac{\sin \theta_i}{v_i}=\text { 常数 }=k, \quad i=1,2, \cdots, m .
$$

更进一步，想象光通过一块非均质材料，其密度在每一个水平面 $y=常数$ 上都是相同的，并且随着 $y$ 连续变化．在高度 $y$ 处的光速为 $v(y)$ ，在高度 $y$ 处的光线入射角为 $\theta(y)$（与界面法线的夹角）．那么，广义斯涅尔定律是

$$
\begin{equation*}
\frac{\sin \theta(y)}{v(y)}=k . \tag{5.12}
\end{equation*}
$$

你可能会说：这些都很有趣，但这和证明双曲平面中的测地线都是半圆周有什么关系？！好吧，现在回头再看看图 5－5，假设伪球面上的点 $\hat{a}$ 和 $\hat{b}$ 对应于双曲平面 $\mathrm{H}^2$ 上的点 $a$ 和 $b$ ．想象一个质点沿着伪球面上的不同路径，以恒定不变的速度（比如1）从 $\widehat{a}$ 运动到 $\widehat{b}$ ．质点在伪球面上的这些运行路径在双曲平面上也有对应的从 $a$ 到 $b$ 的路径，但质点的速度不均匀：从图 5－5 可以看到，如果质点在伪球面上以恒定的速度向下移动，双曲平面上对应像点的移动会减慢．

关键在于地图是共形的，所以速度减慢只取决于质点所在的位置，而与质点的运动方向无关．假设我们以单位速率从 $\widehat{a}$ 点向四面八方发射出大量的质点，在 无穷小时间 $\epsilon$ 后，这此质点在伪球而上会形成一个圆心为 $\hat{a}$ 、半径为 $\epsilon$ 的圆图。由模型（5．8）可知，这个圆图在双曲平面上的像是一个圆心为 $a$ 、半径为 $\epsilon y$ 的圆圈，其中 $y$ 是的 $a$ 高度。换句话说，从点 $a$ 射出的质点速度为 $v(y)=y$ ：离天际线越近，质点速度越慢。

质点在伪球而上从 $\hat{a}$ 到 $\hat{b}$ 的任意路线上花费的时间当然与在双曲平而上从 $a$到 $b$ 的对应路线上花费的时间是相同的．伪球面的测地路径是两点之间的最短路线，也是耗时最少的路线，所以，双曲平面上的测地线也是从 $a$ 到 $b$ 的最快路线：双曲平面上沿测地线的运动当然浮动费马原理，所以双曲平面上测地线的形状由广义斯湟尔定律决定！将 $v(y)= y$ 代人式（5．12），在图 5－8 中答案就清晰可见了：

![图片](/uploads/2026-05/cc3909.jpg)
 
 双曲平面 $\mathrm{H}^2$（贝尔特拉米－庞加莱半平面模型）上的测地线满足 $(\sin \theta / y)=k$ ．如果 $k \neq 0$ ，则测地线是圆心在天际线上、  半径 $r=(1 / k)$ 的半圆周．如果 $k=0$ ，则测地线是纵向半直线 $\theta=0$ ．（5.13）

在 11．7．5 节，我们还要给出这个重要事实（基于角动量）的第二个物理解释。

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