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平行角与庞加莱圆盘

## 5.6 平行角

现在我们回到起点，看看双曲公设（1．1）．在掌握了双曲平面上测地线的形状后，从图5－9可以清楚地看到：在双曲平面上确实存在无穷多的直线（以短划线表示） ，它们经过点 $p$ ，而且不与直线 $L$ 相交．我们称这样的直线超平行于 $L$ ．这就直观地验证了双曲公设。

从图5－9还可以看到，在双曲平面上，有且只有两条直线在双曲平面内没有与 $L$ 相交，而是在天际线上与 $L$ 相交，它们恰好是所有与 $L$ 相交的直线和所有超平行线的分界线．这两条线称为 $L$ 的渐近线 ．

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  从图 5－9 还可以清楚地看到，如同在欧几里得几何中一样，只有一条经过点 $p$的直线 $M$（虚线）与 $L$ 垂直相交（交点为 $q$ ）．有了垂线 $M$ ，就可以按照通常的方式定义点 $p$ 到直线 $L$ 的距离，即 $M$ 上线段 $p q$（双曲的，如 $\mathrm{d} \widehat{s}$ ）的长度 $D$ 。

事实上，如图 5－9 所示，过点 $p$ 的两条渐近线有一个夹角，$M$ 就是这个夹角的平分线，这在目前还不是很明显．$M$ 与任意一条渐近线的夹角称为平行角，通常记为 $\Pi$ ．当直线 $M$ 绕点 $p$ 旋转时，它与 $L$ 的交点会向天际线 $y=0$（即无穷远处）移动，$\Pi$ 能告诉你 $M$ 旋转多远就可以不与 $L$ 相交了。

罗巴切夫斯基和波尔约都发现，角 $\Pi$ 与点 $p$ 到直线 $L$ 的双曲距离 $D$ 之间存在重要的关系：

$$
\begin{equation*}
\tan (\Pi / 2)=\mathrm{e}^{-D} . \tag{5.14}
\end{equation*}
$$

上式称为**波尔约－罗巴切夫斯基公式**．

因此，如果 $p$ 接近 $L$ ，则 $\Pi \approx(\pi / 2)$ ，类似于欧几里得几何的结果几乎也成立：从点 $p$ 出发的射线（半直线）大约有一半最终会与直线 $L$ 相交．当然，在欧几里得几何里，无论点 $p$ 距离直线 $L$ 多远，从点 $p$ 出发的射线都有一半会与直线 $L$ 相交．但是，在双曲平面上就不一样了，当点 $p$ 逐渐远离直线 $L$ 时，从点 $p$出发的射线与直线 $L$ 相交的比例会减少到 0 ！这个现象，从图 5－9 可定性地看出，从式（5．14）可定量地看出。

必须认识到，伪球面或真正双曲平面上的微观居民无法看出测地线之间有什么差别一一每一条直线（即测地线）都是一样的．因此，在内蕴几何里，地图上表现为纵向半直线的测地线与表现为半圆的测地线是完全不可区分的。

但是，半圆在天际线上有两个端点，纵向半直线在天际线上似乎只有一个端点，这是怎么回事呢？答案是，除了天际线上的这些点，在无穷远处还有一个点，所有的纵向半直线都在此处相交．由模型（5．8）可知，当我们沿着两条相邻的纵向半直线向上移动时，它们之间的距离随着 $1 / y$ 趋于 0 ，并且它们在无穷远处收敛到一个单点．这在伪球面上尤为明显．

在强调双曲平面上的两种直线在数学上相同之后，我们现在来个 180 度的大转弯，强调它们在心理上是不同的．也就是说，站在这个非欧几何的世界之外，通过我们的地图往里看，我们可能会发现，某些数学关系在纵向半直线的情况下更容易看清楚，因为这种情况比半圆周的情况更简单（但不太典型）。
使得这个想法真正有用的是双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 上刚体运动（例如，绕点 $p$ 旋转）的存在性．这种保持距离不变的运动称为等距变换，它是下一章的主题．现在，注意到双曲平面也有等距变换，可以通过适当地旋转（刚性移动）双曲平面，使得其中的半圆形测地线变成纵向半直线形的测地线。

例如，回到图 5－9，我们可以将 $\mathbb{H}^2$ 绕 $p$ 旋转，直到 $L$ 变成纵向半直线，成为图 5－10 所示的情况，这种形式更简单．容易验证图 5－10 中标记的角度［ 练习］，由此可以看出 $M$ 是点 $p$ 两条渐近线夹角的平分线．这意味着，在我们做旋转之前，当图 5－9 中的 $L$ 在一般位置时，$M$ 确实是角平分线．

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同样，这幅新图上更简单的几何关系也使得我们更容易证实波尔约－罗巴切夫斯基公式（5．14）的正确性，详情请参阅《复分析》6．3．6节。

## 5.7 贝尔特拉米－庞加莱圆盘

贝尔特拉米－庞加莱上半平面及其度量公式 $\mathrm{d} \widehat{s}=\mathrm{d} s / y$ 只是描述抽象双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 的一种方法，还有其他几种模型。 ${ }^{(1)}$ 虽然从定义上看，所有这些模型在内蕴几何上都是相同的，但它们在心理上并不相同：某一个特定的事实或公式可能很难在一个模型中看清楚，在另一个模型中却是显而易见的．因此，在试图把握双曲几何的奇迹时，善于在不同模型之间转换是一项很有用的技能。

我们只准备介绍一个特别有用的著名模型，这个模型是绘制在单元圆盘上的，见图 5－11．像上半平面一样，这也是一个共形模型，其中的测地线也被表示成圆弧，与天际线相交成直角，但现在表示无限远天际线的是这个圆盘的边界（单位圆）．如果 $r$ 是一点到圆盘中心的距离，新的度量公式是（见第 105 页习题 25 ）

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}=\frac{2}{1-r^2} \mathrm{~d} s \tag{5.15}
\end{equation*}
$$
 
 ![图片](/uploads/2026-05/a42515.jpg){width=500px}
 
 更详尽的内容诮参阅《复分析》或 Stillwell（2010）．你可以借助共形曲率公式（4．16）证明［练习］这个曲而具有带负曲率 $\mathcal{K = - 1}$ ，至少可以确认这就是双曲平面 $\mathrm{H}^2$ 。

这个慔型也是贝尔特拉米首次发现的，与半平而模型一起发表在1868年的同一篇论文里，见 Stillwell（1996）．14年后，庞加莱重新发现了这个模型，使之被广泛称为＂庞加莱圆盘＂。与前面一样，我们坚定不移地支持将这个模型同时归功于他们两位，称之为贝尔特拉米－庞加莱圆盘，或者争议更少的共形圆盘模型。

1958年，英国著名几何学家 H．S．M．考克斯特（1907—2003）向荷兰艺术家 M．C．埃舍尔（1898—1972）介绍了 $H^2$ 的共形圆盘模型，由此引发埃舍尔创作出了著名系列版画《圆极限》   ，图5－11就是其中第一张的复制品。这里有意把全图印得颜色淡一些，把双曲直线做了加黑突出处理。［这张图的想法直接来自 Penrose（2005，图 2．12）．］从中我们看到，确实有无穷多条双曲直线通过点 $p$与 $L$ 不相交，服从双曲公设（1．1）．圆的直径也是双曲直线，所以图 5－11 的三角形 $\Delta$ 是真正的双曲三角形．注意，明显可见（而且容易证明） $\mathcal{E}(\Delta)<0$ ，正如它应该的那样．

当你盯着图 5－11 看的时候，试着把自己想象成其中的一条鱼．你的大小和形状与其他的鱼完全一样，你可以永远沿着一条直线游泳，不会看到周围环境或其他鱼的任何变化．但从外而看地图，距离的压缩会让你看起来像是在沿着一条圆形路径绕圈，并且在前进的过程中不断缩小。事实上，如果 $\delta \equiv(1-r)$ 是图5－11中所示鱼到天际线的欧几里得距离，我们看一下靠近地图边缘的一点，会发现式（5．15）意味着［练习］（鱼的表观大小）$\propto \delta$ 。

在第 105 页习题 25 中你会看到，实际上有一个简单的共形变换，可以将这个新圆盘模型与之前讲过的共形半平面模型联系起来，从而解释新圆盘模型的共形性．利用计算机做这个变换，可以将图 5－11 变成图 5－12，后者不是埃舍尔本人的创作，但他青定会很欣赏这张图的。［此图经许可从 Stillwell（2005，第195页）复制而来。 ］

让我们停下来喘口气，回顾一下我们已经走了多远吧．我们在本书开始时讲的故事已经有了一个圆满的结局，算是结束了吧。 2000 多年来，围绕平行公设的困惑和怀疑一直困扰着欧几里得几何学。现在，贝尔特拉米给出了对双曲几何学的具体解释，作为一种合理的选择，数学界持续了 2000 多年的压抑终于得以夝快宜泄。这真是结束第二幕的好地方！

也可能不是⋯⋯

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