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等距变换和复数-引言

## 第 6 章 等距变换和复数 引言

伟大的数学思想不仅使得过去的谜团不再神秘，还会揭示新的谜团：甘尽苦来！我们现在就要看一看微分几何与数学其他领域以及物理学之间的新奇联系。

这此新奇联系中的第一个是三种常曲率几何（欧几里得几何、球面几何和双曲几何）和复数之间的联系。

我们曾要求你想象在复平面上绘制曲面的地图．然而，敏锐的读者会注意到。到目前为止，我们很少使用复数的基本结构．这种情况马上就要改变了．但是，我们首先需要对等距映射的概念做一些更一般的考察。

等距映射一定保持每个角的大小不变，其中还保持角的方向（顺时针或逆时针）不变的映射称为正向的，使得角的方向反转的映射称为反向的．因此，正向的等距变换是一种非常特殊的共形映射，反向的等距变换是一种非常特殊的反共形映射．例如，在平面上，旋转是正向的等距变换，而关于一条直线的反射变换（例如取共轭复数)是反向的等距变换．

接下来我们观察到，关于复合运算，

**给定曲面 $\mathcal{S}$ 上所有的等距变换组成的集合（包括正向等距变换和反向等距变换）具有群 $\mathcal{G}(\mathcal{S})$ 的结构**．

为了证实这一点，设 $e=（什么都不做）$  ，并设 $a, b, c$ 为 $\mathcal{S}$ 的任意三个等距变换，则 $\mathcal{G}(\mathcal{S})$ 满足以下群的公理。 
－由于 $e$ 显然保持距离不变，所以 $e \in \mathcal{G}(\mathcal{S})$ ．而且，因为 $a \circ e=a=e \circ a$ ，我们推断 $e$ 是群的单位元。
－如果我们先做变换 $a$ ，然后再做变换 $b$（两者都保持距离不变），那么两者的复合变换也保持距离不变：$b \circ a \in \mathcal{G}(\mathcal{S})$ ．
－由于变换 $a$ 保持距离不变，其逆变换也保持距离不变，所以 $a^{-1} \in \mathcal{G}(\mathcal{S})$ ．

－多个（不一定是等距的）变换的复合服从结合律：$(a \circ b) \circ c=a \circ(b \circ c)$ ．请注意，正向等距变换和反向等距变换的复合运算具有类似 $(+)$ 和 $(-)$ 的乘法的规律：$(+)(+)=(+),(+)(-)=(-),(-)(-)=(+)$ 。由此可见，

正向等距变换构成全群 $\mathcal{G}(\mathcal{S})$ 的一个子群 $\mathcal{G}_{+}(\mathcal{S})$ ．

然而，反向等距变换根本不会构成一个群。 但它们确实属于全群 $\mathcal{G ( S )}$ ，那么，它们与 $\mathcal{G}_{+}(\mathcal{S})$ 有什么关系呢？

给定反向等距变换 $\xi$ ，它的逆映射 $\xi^1$ 也是反向等距变换。设 $\zeta$ 是任意一个反向等距变换——想象它可以取遍所有可能的反向等距变换．那么，$\xi^{-1} \circ \zeta \in \mathcal{G}_{+}(\mathcal{S}) \Rightarrow \zeta \in \xi \circ \mathcal{G}_{+}(\mathcal{S})$ ．同理，$\zeta \in \mathcal{G}_{+}(\mathcal{S}) \circ \xi$ ．因此，

如果 $\xi$ 是任意一个反向等距变换，则所有反向等距变换组成的
集合为 $\xi \circ \mathcal{G}_{+}(\mathcal{S})=\mathcal{G}_{+}(\mathcal{S}) \circ \xi$ ，因此， $\mathcal{G}(\mathcal{S})$ 是全对称群，且

$$
\begin{equation*}
\mathcal{G}(\mathcal{S})=\mathcal{G}_{+}(\mathcal{S}) \cup\left[\xi \circ \mathcal{G}_{+}(\mathcal{S})\right]=\mathcal{G}_{+}(\mathcal{S}) \cup\left[\mathcal{G}_{+}(\mathcal{S}) \circ \xi\right] . \tag{6.1}
\end{equation*}
$$

每个曲面 $\mathcal{S}$ 是否都具有非平凡的等距变换群 $\mathcal{G}(\mathcal{S})$ 呢？答案是否定的，因为等距变换也必须保持曲率不变。假设一个等距变换将点 $p$ 处的一个非常小（最终为零）的三角形 $\Delta$ 映射到点 $p^{\prime}$ 处的一个全等三角形 $\Delta^{\prime}$ ，则

$$
\mathcal{K}(p) \asymp \frac{\mathcal{E}(\Delta)}{\mathcal{A}(\Delta)}=\frac{\mathcal{E}\left(\Delta^{\prime}\right)}{\mathcal{A}\left(\Delta^{\prime}\right)} \asymp \mathcal{K}\left(p^{\prime}\right)
$$

由此可知，曲颈南瓜（如图 1－9 所示）这样的非正则曲面没有（非平凡的）等距变换。

然而，存在等距变换的曲面 $\mathcal{S}$ 不一定是常曲率曲面．  例如，任何旋转曲面都存在等距变换．正是由于旋转曲面的结构，这种（典型的）非常曲率曲面的确存在等距变换群．事实上，绕旋转曲面的轴的旋转是正向等距变换，关于过旋转曲面的轴的平面的反射是反向等距变换．也可能存在其他的等距变换．

曲面 $\mathcal{S}$ 的对称性越大，曲面上的等距变换群就越大，对称性最大的三种情况就是具有常曲率的三种曲面： $\mathcal{K}=0, \mathcal{K}>0$ 和 $\mathcal{K}<0$ ．在外在几何里，具有这种

几何性质的典型曲而是欧几里得平而、球而和伪球而。然而，等距的概念属于内蕴几何．例如，双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 的贝尔特拉米－庞加莱半平面地图事实上比伪球面更好地描述了双曲几何．下而的讨论就与这个地图（或共形圆盘模型）有关。

我们先简要地陈述这三种对称性最大的几何与复数之间令人惊奇的联系，稍后再详细讨论．主要结果：

**所有三种常曲率几何都具有（正向等距变换）对称群 $\mathcal{G}_{+}(\mathcal{S})$ ，它们都是复平面的默比乌斯变换 $z \mapsto M(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$（其中 $a, b, c, d$ 为复数）群的子群**．

## 6.2 默比乌斯变换

仅从以上结果就可以看出，默比乌斯变换在现代数学里是极为重要的（我们将会看到，它在物理学里也是同等重要的）。现在总结我们需要用到的一些变换的某些性质。  
－分解为较简单的变换．将 $z \mapsto M(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$ 分解［练习］为以下变换序列．

$$
\left.\begin{array}{l}\text {（i）} z \mapsto z+\frac{d}{c}, \text { 是一个平移；}  \tag{6.3}\\ \text {（ii）} z \mapsto(1 / z), \text { 是一个复反演；} \\ \text {（iii）} z \mapsto-\frac{(a d-b c)}{c^2} z, \text { 是一个扩张和一个旋转的复合；} \\ \text {（iv）} z \mapsto z+\frac{a}{c}, \text { 是另一个平移．}\end{array}\right\}
$$

注意：如果 $(a d-b c)=0$ ，则 $M(z)$ 将整个复平面压缩到单个像点 $(a / c)$ ．在此特殊情况下，$M(z)$ 是不可逆的，称为奇异的．在讨论默比乌斯变换时，我们总是假设 $M(z)$ 是非奇异的，也就是 $M(z)$ 是可逆的［即 $(a d-b c) \neq 0$ ］．

在以上四个变换中，只有第二个变换（或称互反映射）需要进一步研究，其余的我们都很熟悉。
－关于圆周的反演。映射 $z \mapsto(1 / z)$ 是理解默比乌斯变换的关键．如《复分析》中一样，本书称这个互反咉射为复反演。在极坐标系里，$z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ 的复反演的像为 $1 /\left(r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}\right)=(1 / r) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}$ ：像的长度是原像长度的倒数，像的辐角是原像辐角的相反数（见图6－1a）。请特别注意，复反演是如何将单位圆周外（内）的一点映射到单位圆周内（外）的．图6－1a还展示了将复反演分解为两步的方法，这个方法有特别丰富的成果．

![图片](/uploads/2026-05/ab2695.jpg)
 
 （1）将点 $z=r \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}$ 变到方向和 $z$ 相同、长度为其倒数的地方，即点 $(1 / r) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}= (1 / \bar{z})$.
（2）做复共轭变换（即关于实轴的反射），也就是将 $(1 / \bar{z})$ 变到 $\overline{(1 / \bar{z})}= (1 / z)$.
你可以自己验证一下，改变这两个映射的先后次序是不重要的，不影响最后的结果。（请注意，并不都是这样的，例如序列（6．3）中几个映射，改变次序后的结果就可能不一样。）

步骤（2）在几何上是平凡的．我们来看在步骤（1），它称为几何反演  ，简称反演。这个变换可不简单。显然，单位圆周 $C$ 在咉射中扮演重要的角色：反演将 $C$ 的内部和外部交换，因周 $C$ 上的每个点都是不动点（也就是将这个点映射到自身）。因此，我们记这个咉射为 $z \mapsto \mathcal{J}_C(z)=(1 / \bar{z})$ ，称 $\mathcal{J}_C$ 为＂关于 $C$ 的反演＂（这比前面的名称更准确些）。

这个术语增加的准确性很重要，如图 6－1b 所示，有一个自然的方式把关于 $\mathcal{J}_C$ 的反演推广到关于任意圆周 $K$（例如，圆心为 $q$ 、半径为 $R$ 的圆周）的反演．显然，这个＂关于 $K$ 的反演＂记为 $z \mapsto \widetilde{z}=\mathcal{J}_K(z)$ ，也应该是 $K$ 的内部和外部的交换，而且使得 $K$ 上的每个点保持不变。如果 $\rho$ 是从 $q$到 $z$ 的距离，我们可以定义 $\widetilde{z}=\mathcal{J}_K(z)$ 为在从 $q$ 到 $z$ 的方向上到 $q$ 的距离为 $\left(R^2 / \rho\right)$ 的点。你可以亲自验证，只要想象将图 6－1a 乘以因子 $R$ ，就肯定会得到这个定义．

－反演是黎曼球面关于赤道的反射变换．如果我们利用球极平面投影将复数从平面上逆咉射到单位球面上，从而创建黎曼球面，反演的效果就会简单得惊人：

**黎面球面的赤道平面 $\mathbf{C}$ 上关于单位圆周的反演诱导出黎曼球面关于 $\mathbb{C}$ 的反射 ...(6.4)**。

为了验证效果（6．4），我们来看图6－2，其中显示了黎曼球面的纵向截面．点 $z$ 被球极平面投影到 $\widehat{z}$ ，再关于赤道平面反射到 $\widehat{\tilde{z}}$ ，最后被球极平面投影到 $\widetilde{z}$ 。容易看出［练习］三角形 $N O \widetilde{z}$ 与三角形 $z O N$ 相似，从而有 $|\tilde{z}| / 1=1 /|z|$ 。因此，$\tilde{z}=\mathcal{J}_C(z)$ ，这就是效果（6．4）。

![图片](/uploads/2026-05/133a26.jpg)

注意，图 6－2 还表明，关于单位圆周的反演等价于先做以南极为光源的球极平面投影，再做以北极为光源的球极平面投影（或反之）．
反演是保圆的．根据命题（4．28），复平面 $\mathbb{C}$ 中的圆周 $K$ 被投影到球面 $\Sigma$上的圆周， 球面关于其赤道平面的反共形反射（反演）将其映射到 $\Sigma$ 上的另一个圆周，最后映射回 $\mathbb{C}$ 中的圆周 $\mathcal{J}_C(K)$ 。如图 6－3 所示。

如果改成从复平面 $\mathbb{C}$ 中的一条直线开始，根据事实（4．21），会得到 $\Sigma$上的一个经过北极 $N$ 的圆周，这个圆周被反射成一个经过南极 $S$ 的圆周，再投影回 $\mathbb{C}$ 中一个经过 0 的圆周。相反，因为反演交换圆周内外的点，经过 0 的圆周 $K$ 被映射成直线 $\mathcal{J}_C(K)$ ．如图 6－4 所示．

我们可以把第二个结果看作第一个结果的极限情况，直线是圆周的极限形式．事实上，在黎曼球面上，复平面上的直线就是恰好经过北极的圆周．有了这种统一的语言，我们可以总结如下：

**反演是反共形映射，将圆周咉射为圆周 ...(6.5)**．

![图片](/uploads/2026-05/daec5a.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2026-05/0c6fa6.jpg)
  
 －复反演是黎曼球面的旋转．考虑在这个几何反演后接着取共轭，$z \mapsto \bar{z}$ ，那么最终的结果就是复反演．但是，共轭对黎曼球面的作用是另一种反射，这次是关于经过实轴的纵向平面的反射．你可以很容易地验证（也许要借助一个橘子），两个关于经过实轴的纵向平面的反射的复合是围绕该轴的一个旋转：
 
 **复反演 $z \mapsto(1 / z)$ 是黎曼球面绕实轴旋转角度 $\pi$ ．因此它是（6．6）共形的，将圆周映射到圆周...(6.6)**。

我们也可以使用球极平而映射公式（4．26）提供第二个证明．自己验证一下，如果 $\widehat{z}$ 的坐标为 $(\phi, \theta)$ ，围绕实轴旋转 $\pi$ 会将它带到一个坐标点 $(\pi-\phi,-\theta)$ ．因此，旋转后的点对应的复数是

$$
\cot \left[\frac{\pi}{2}-\frac{\phi}{2}\right] \mathrm{e}^{\mathrm{i}(-\theta)}=\frac{1}{\cot (\phi / 2)} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \theta}=\frac{1}{\cot (\phi / 2) \mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta}}=\frac{1}{z}
$$

这就是我们要证明的。

图6－3说明了反演和复反演对定向圆周 $K$ 的作用．注意：圆周 $K$ 前进方向左侧区域（图6－3所示的深色区域，即 $K$ 的内部）是如何被映射到 $(1 / K)$ 前进方向左侧区域的．如果 $K$ 包含 0 ，那么 $(1 / K)$ 的方向将被映射反转，但＂左侧 → 左侧＂规律仍然有效．你应该自己验证一下，可以直接验证，也可以利用结论（6．6）。

图 6－4 说明了同样的现象，当 $K$ 穿过 0 （球面上的南极）时，$(1 / K)$ 是一条直线（球面上穿过北极的圆周）。

事实上，这给出了半平面和圆盘内部之间的一个共形映射，正是从共形半平面模型（图 5－12）构作共形圆盘模型（图 5－11）的方法。［第105页习题 25 给出了这个映射的显式默比乌斯变换公式，《复分析》6．3．10节有完整解释．］
－保角性和保圆性．如图6－3和图6－4所示，利用＂圆周＂新的一般定义，由序列（6．3）和效果（6．4）立即可知，

**默比乌斯变换是共形的，它将每一个定向圆周 $K$ 映射为定向圆周 $\widetilde{K}$ ，并将 $K$ 前进方向左侧的区域映射为 $\widetilde{K}$ 前进方向左侧的区域...(6.7)**。

－矩阵表示．有了黎曼球面，在儿何上，我们就可以认为无穷远点 $\infty$ 和其他点是一样的——它就是北极点．由结论（6．6）可知，复反演引起黎曼球面发生一个交换南极和北极的旋转，这就使得 $0=1 / \infty$ 和 $\infty=1 / 0$ 在字面上是正确的。

如果我们能去除无穷大在代数层面的特殊角色就好了。为此，我们采用射影几何的思想，将黎曼球面上的每个点表示为 $\mathbb{C}^2$ 上一对复数 $\left[\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2\right]$的比：$z=\left(\xi_1 / \xi_2\right)$ ．

复数的有序对 $\left[\xi_1, \xi_2\right]$ 称为复数 $z$ 的射影坐标，或齐次坐标．为了保证这个比值是适定的，我们要求 $\left[\xi_1, \xi_2\right] \neq[0,0]$ ．对于满足＂$\xi_1$ 为任意复数，$\xi_2 \neq 0$＂的每个有序复数对 $\left[\xi_1, \xi_2\right]$ ，恰有一个普通的有限点 $z=\left(\xi_1 / \xi_2\right)$与之对应，但是，每一个复数 $z$ 对应于一个无穷的射影坐标集 $\left[k_{\xi_1}, k_{\xi_2}\right]= k\left[\xi_1, \xi_2\right]$ ，其中 $k$ 是任意非L零复数．例如，复数 $i$ 可以表示为 $[1+i, 1-i]$ ，也可以表示为 $[-1, i]$ 或 $[3+2 i, 2-3 i]$ ，这只是 $i$ 的无穷多个射影坐标中的三个例子。

现在，无穷远点可以表示为具有形式 $\left[\xi_1, 0\right]$ 的一对复数，它并不特殊．
正如 $\mathbb{R}^2$ 空间中的线性变换都可以用一个 $2 \times 2$ 的实知阵表示一样， $\mathrm{C}^2$ 空间中的线性变换都可以用一个 $2 \times 2$ 的复矩阵表示：

$$
\left[\begin{array}{l}
\mathfrak{z}_1 \\
\mathfrak{z}_2
\end{array}\right] \longmapsto\left[\begin{array}{l}
\mathfrak{w}_1 \\
\mathfrak{w}_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
\mathfrak{z}_1 \\
\mathfrak{z}_2
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
a \mathfrak{z}_1+b_{\mathfrak{z}_2} \\
c \mathfrak{z}_1+d_{\mathfrak{z}_2}
\end{array}\right]
$$

如果把 $\left[\mathfrak{z}_1, \mathfrak{z}_2\right]$ 和 $\left[\mathfrak{w}_1 \cdot \mathfrak{w}_2\right]$ 分别看作 $\mathbb{C}$ 中 $z=\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)$ 及其像 $w=\left(\mathfrak{w}_1 / \mathfrak{w}_2\right)$ 在 $\mathbb{C}^2$ 中的射影坐标，上述 $\mathbb{C}^2$ 中的线性变换就诱导了 $\mathbb{C}$ 中的下述（非线性）变换：

$$
z=\frac{\mathfrak{z}_1}{\mathfrak{z}_2} \longmapsto w=\frac{\mathfrak{w}_1}{\mathfrak{w}_2}=\frac{a_{\mathfrak{z}_1}+b_{\mathfrak{z}_2}}{c_{\mathfrak{z}_1}+d_{\mathfrak{z}_2}}=\frac{a\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)+b}{c\left(\mathfrak{z}_1 / \mathfrak{z}_2\right)+d}=\frac{a z+b}{c z+d}
$$

这正是最一般的默比乌斯变换！
于是，每一个默比乌斯变换 $M(z)$ 对应一个 $2 \times 2$ 矩阵 $[M]$ ，

$$
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \longleftrightarrow[M]=\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]
$$

而且，表示两个默比乌斯变换的复合的矩阵就是两个对应矩阵的乘积：

$$
\begin{equation*}
\left[M_2 \circ M_1\right]=\left[M_2\right]\left[M_1\right] \tag{6.8}
\end{equation*}
$$

同样，表示默比乌斯逆变换的矩阵就是对应矩阵的逆矩阵：

$$
\begin{equation*}
\left[M^{-1}\right]=[M]^{-1} \tag{6.9}
\end{equation*}
$$

由此易得［练习］：非奇异獸比乌斯变换构成一个群，这是我们前面提到过的事实。

因为默比乌斯变换的系数不是唯一的，所以默比乌斯变换对应的矩阵也不是唯一的：如果 $k$ 是任意非零常数，则矩阵 $k[M]$ 与 $[M]$ 对应同一个默比乌斯变换．然而，如果限定 $(a d-b c)=1$ ，将矩阵 $[M]$ 规范化，那么一个默 比乌斯变换的对应矩阵就只有两种可能：一个是 $[M]$ ，另一个是 $-[M]$ ．换言之，默比乌斯变换对应的矩阵在＂不计正负号的情况下＂是唯一的。这个表面在似平凡的事实，在数学和物理学中都具有深刻的意义，详见 Penrose and Rindler（1984，第 1 草）和 Penrose（2005， 11.3 节）．

## 6.3 主要结果

现在可以叙述并证明主要结果（6．2）更详细的版本。
所有三种常曲率几何的对称群 $\mathcal{G}_{+}(\mathcal{S})$ 都是默比乌斯变换群的子群。
1．欧几里得几何（ $\mathcal{K = 0}$ ）：

$$
E(z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} \theta} z+k
$$

注意 $z \mapsto \bar{z}$ 是反向等距变换，是关于实轴的反射．于是结论（6．1）告诉我们整个等距变换群是 $\mathcal{G}=\{E(z)\} \cup\{E(\bar{z})\}$ ．
2．球极地图中的球面几何 $(\mathcal{K = + 1 )}$ ：

$$
\begin{equation*}
S(z)=\frac{a z+b}{-\bar{b} z+\bar{a}}, \quad \text { 其中 }|a|^2+|b|^2=1 \text {. } \tag{6.10}
\end{equation*}
$$
 
注意 $z \mapsto \bar{z}$ 是反向等距变换，是球面关于过实轴的纵向平面的反射．于是结论（6．1）告诉我们整个等距变换群是 $\mathcal{G}=\{S(z)\} \cup \{S(\bar{z})\}$.

3．贝尔特拉米－庞加莱半平面地图中的双曲几何 $(\mathcal{K = - 1 )}$ ： $H(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$ ，其中 $a, b, c, d$ 为实数，且 $(a d-b c)=1$ ．

注意 $z \mapsto-\bar{z}$ 是反向等距变换，是关于虚轴的反射．于是结论（6．1）告诉我们整个等距变换群是 $\mathcal{G}=\{H(z)\} \cup\{H(-\bar{z})\}$ ．
有了关于矩阵的结果（6．8）和（6．9），就容易证明以上三个集合都是群。我们还注意到，在球面几何中的矩阵是一种特殊类型，在物理学中起着重要作用。这类矩阵称为酉矩阵，也就是说，将它取共轭，再做转置（这两个操作的复合记为 *），则［练习］可得到道变换的矩阵：
$S$ 是酉矩阵，意味着 $[S][S]^*=$ 单位矩阵。
欧几里得平面的变换 $E(z)$ 是一个关于 $\theta$ 的旋转接一个关于 $k$ 的平移，这显然是平面内最一般的刚体运动．所以，我们现在跳过这个问题，将精力投入 $\mathcal{K}= \pm 1$
 的情况。这些情况有一些令人惊奇的结果，证明这些结果更有挑战性。在这项工作中，我们不打算停下来对这些结果做几何评判，而是建议你参阅《复分析》。现在，我们要炫耀一下我们建立的度量机器具有的计算能力。

为此，需要介绍一点儿复分析的知识。我们在4．6节讲过，复映射 $z \mapsto w=f(z)$的导数 $f^{\prime}(z)$ 和在一年级微积分中定义的一模一样，所有通常的微分公式都没有变．于是，可以将导数的除法公式应用于规范化［即 $(a d-b c)=1$ ］的默比乌斯变换，得到

$$
\begin{equation*}
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \Longrightarrow M^{\prime}(z)=\frac{1}{(c z+d)^2} \tag{6.12}
\end{equation*}
$$

回顾式（4．19），复函数的导数被赋予＂伸扭＂的几何功能，所以它比实函数的普通导数具有更丰富的意义，也更具魔力．

我们现在回来讨论主要结果．根据欧拉在 1775 年首先证明的结果，球面的刚体运动就是旋转．大约在 1819 年，高斯第一个认识到，这些旋转运动可以表示为形式如式（6．10）的默比乌斯变换．

取球面半径为 1 ，可以将球极度量公式（4．22）用复数 $z$ 写成

$$
\mathrm{d} \widehat{s}=\frac{2}{1+|z|^2}|\mathrm{~d} z|
$$

要证明映射 $z \mapsto w=S(z)=\frac{a z+b}{-\bar{b} z+\bar{a}}$ 是正向等距映射，我们必须证明

$$
\begin{equation*}
\frac{2}{1+|w|^2}|\mathrm{~d} w|=\frac{2}{1+|z|^2}|\mathrm{~d} z| . \tag{6.13}
\end{equation*}
$$

直接计算可得［练习］

$$
1+|w|^2=\frac{1+|z|^2}{|-\bar{b} z+\bar{a}|^2}
$$

由式（6．12）可得

$$
\left|\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} z}\right|=\left|S^{\prime}(z)\right|=\frac{1}{|-\bar{b} z+\bar{a}|^2}=\frac{1+|w|^2}{1+|z|^2},
$$

这就验证了式（6．13），从而证明了主要结果的第2部分．（但是，这并未证明这些是仅有的正向等距映射。这个问题要用以后的几何分析来解决。）

然而，我们这些凡夫俗子（甚至高斯）怎么能猜到这些默比乌斯变换的形式呢？！这里有一个简单的论点，仅仅基于我们目前所知道的：如果旋转使球面上的点 $\widehat{z}$ 移动到 $\widehat{M(z)}$ ，那么它也使 $\widehat{z}$ 的对径点移动到 $\widehat{M(z)}$ 的对径点．但是，我们知道对径点的球极平面映射像具有结论（4．27）所示的关系，所以

$$
M\left(-\frac{1}{z}\right)=-\frac{1}{\overline{M(z)}} .
$$
于是

$$
\frac{a\left[-\frac{1}{\bar{z}}\right]+b}{c\left[-\frac{1}{\bar{z}}\right]+d}=-\frac{\overline{c z+d}}{\overline{a z+b}} \Longrightarrow \frac{-b \bar{z}+a}{d \bar{z}-c}=\frac{\bar{c} \bar{z}+\bar{d}}{\bar{a} \bar{z}+\bar{b}}
$$

由此明显有 $c=-\bar{b}$ 和 $d=\bar{a}$ ，这正是式（6．10）的形式！
第105页习题27会给出一个具体的例子，说明怎么用默比乌斯变换来表示旋转，并给出一个构作性证明，证明每个旋转都是形如式（6．10）的默比乌斯变换．

最后考虑双曲平面．由度量公式（5．7）可知，我们必须证明 $z \mapsto w=H(z)= \frac{a z+b}{c z+d}$ 满足

$$
\begin{equation*}
\frac{|\mathrm{d} w|}{\operatorname{Im} w}=\frac{|\mathrm{d} z|}{\operatorname{Im} z} \tag{6.14}
\end{equation*}
$$

直接计算可得［练习，注意到 $\bar{a}=a, \cdots$ ］

$$
\operatorname{Im} w=\frac{w-\bar{w}}{2 \mathrm{i}}=\frac{\operatorname{Im} z}{|c z+d|^2}
$$

由式（6．12）可得

$$
\left|\frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{~d} z}\right|=\left|H^{\prime}(z)\right|=\frac{1}{|c z+d|^2}=\frac{\operatorname{Im} w}{\operatorname{Im} z}
$$

这就验证了式（6．14），从而证明了主要结果的第 3 部分．
双曲等距变换不仅包含类似于旋转和平移的普通运动，还包含第三种类型的刚体运动，称为极限旋转，在通常的欧几里得儿何里没有与之对应的运动形式．极限旋转是 $\mathbb{H}^2$ 中普通旋转运动的极限：旋转中心从无穷远点出发，逐渐接近天际线 $y=0$ ，旋转运动最终变成天际线上的一个点．详见《复分析》6．3．7节和 6．3．8 节．

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