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爱因斯坦的时空几何学与三维双曲几何

## 6.4 爱因斯坦的时空几何学

既然仅仅默比乌斯变换群的子群就对几何学具有如此深刻的意义，我们自然要问，整个默比乌斯变换群是否具有更加非凡的功力。

整个默比乌斯群至少在看似没有关系的两个知识领域里扮演着至关重要的基础性作用，这两个知识领域是相对论和三维双曲几何．事实上，这不是巧合，这两个主题之间存在深刻的联系．但是，我们不能在此探讨这件事，建议阅读 Penrose （2005， 18.4 节），那里对此有非常精彩的论述．

第一个作用可以豪不夸张地称为＂基本原理＂：

>**默比乌斯群描述了空间和时间的对称性，或者更准确地说，掉述了爱因斯坦统一时空的对称性。**

显然，在此详细探讨爱因斯坦的狄义相对论既不合适，也不可行。  然而，对于以前没有学习过这个理论的读者，我们将尽量讲得充分一些，以便带助你理解这个理论与默比乌斯䬺的特殊联系。

爱因斯坦理论的起点是关于大自然的一个非凡而奇异的实验事实：

>**对于在匀速相对运动中的所有观察者，光的传播速率都是相同的。**

在1905年，爱因斯坦首先认识到，只有在这些观察者对空间和时间的量度不一致的情况下才可能出现这个现象！

为了量化这个理论，我们将一个事件 $\mathfrak{E}$ 的时间 $T$ 和三维空间坐标 $(X, Y, Z)$ 合并成四维时空中的单一四维向量 $(T, X, Y, Z)$ 这是事件 $\mathfrak{E}$ 的空间和时间坐标，我们称之为第一观察者．

当然，第一观察者向量的空间分量不具有绝对意义：如果第二观察者使用同一个原点，但坐标轴相对于第一观察者坐标轴做了旋转，那么，第二观察者应该是同一事件 $\mathfrak{E}$ 的不同空间坐标 $(\tilde{X}, \tilde{Y}, \tilde{Z})$ 。如果这两个观察者之间没有相对运动，就应该有 $\tilde{X}^2+\tilde{Y}^2+\tilde{Z}^2=X^2+Y^2+Z^2$ ，因为这表示到事件发生点的距离的平方．

与此相反，我们习惯认为时间分量 $T$ 确实具有绝对意义。然而，被无数实验验证了的爱因斯坦理论告诉我们这是错误的．如果两个（瞬间重合的）观察者处于相对运动中，则他们对事件发生时间的认识会不一致。进而，他们对 $\left(X^2+\right. Y^2+Z^2$ ）的值的认识也不再一致，这就是著名的洛伦兹收缩．

只有当两个观察者的相对速度非常接近不可能达到的光速（约每秒 186000英里  ）时，这种效应才会被察觉。例如，即使第二个观察者以步枪子弹的速度 （每小时 2000 英里）远离第一个观察者，他们的时钟之间的差距即使经过一生 （比如85年）的积累，也只有百分之一秒左右！相对于光的速度，我们蜗牛般的存在只是个偶然，这个偶然把爱因斯坦的发现的真相掩盖了数千年（并且仍然在日夏一日地继续掩盖）。
如果第二个物体以接近光速的速率运行，则时间和空间的畸变是巨大的，遍布全球的柆子加速器每天都在证实这个现象。在这样不同寻常的环境下，时空中是否存在某些方面具有绝对意义，使得均速相对运动的两个观察者看到的时空是一致的？

令人惊讶的是，爱因斯坦的回答是＂存在！＂：时空确实具有与所有观察者无关的绝对结构。因此，爱因斯坦本人非常不喜欢（并多年拒绝接受）将这个理论命名为＂相对论＂，他认为应该称之为＂绝对论＂。

为方便起见，我们定义光速为 1 ，爱因斯坦发现：存在观察者与事件之间的时空区间J ，使得两个观察者看到的时空区间的值是一致的．这个时空区间J 是由其平方定义的：
$$
\begin{equation*}
J^2 \equiv T^2-\left(X^2+Y^2+Z^2\right)=\tilde{T}^2-\left(\tilde{X}^2+\tilde{Y}^2+\tilde{Z}^2\right) \tag{6.15}
\end{equation*}
$$

闵可夫斯基意识到，这种区间是距离概念的正确推广，适合用于时空．时空的等距变换／对称性保持这种区间不变．但是，它与通常的距离大不相同：不同事件之间的区间的平方可以是 0 ，甚至为负数．

我们来提供在 $\mathrm{J}^2>0$ 的情形下关于 J 更生动的解释．前面已经说过，我们假设两个观察者（相互之间做匀速相对运动）在一个特定的地点和时间瞬间重合，将其定义为一个原始事件，记为 $\mathfrak{O}$ ．（当然，要精确定义这个事件，必须假设我们的观察者像质点一样，位于一个确定的位置。）现在假设第一个观察者（巧合地或故意地）在事件 $\mathfrak{E}$ 发生的时刻到达这个事件发生的地点．在他看来，他一直坐在那儿未曾移动，而两个事件 $\mathfrak{O}$ 和 $\mathfrak{E}$ 就在他坐的地点 $(X=Y=Z=0)$ 发生，所以事件 $\mathfrak{O}$ 和 $\mathfrak{E}$ 之间的时空区间（对所有观察者都是一致的）就是 $J=T$ ：

>如果观察者戴着一块手表在匀速运动中从一个事件到达另一个事件，那么这两个事件之间的不变时空区间 」就是手表上走过的时间．

然后，想象事件 $\mathfrak{O}$ 产生了一个电火花，它向所有的方向发射出光子（光的粒子）。如果两个观察者都关注同一个光子，他们看到的就是一致的，沿着光子在时空中轨述上的每一个事件都有 $\mathrm{J}=0$ 。这个指向一个特定光线且＂长度＂消失的四维向量称为零向量。

洛伦茨变换 $\mathcal{L}$ 是时空的线性变换，是 $4 \times 4$ 矩阵，它将一个观察者对一个事件的观察 $(T, X, Y, Z)$ 映射为另一个观察者对同一个事件的观察（ $\widetilde{T}, \widetilde{X}, \widetilde{Y}, \widetilde{Z}$ ）。换言之， $\mathcal{L}$ 是保持 $\mathrm{J}^2$ 这个量不变的线性变换，而且两个观察者对这个量的观察是一致的．

我们再回过头来考虑那个电火花，它向所有方向发射出去的光子形成一个球面．球心位于原点，半径随着时间以光速增大。在时间 $T=1$ 时，这些光子形成了一个半径为 1 的球面，现在选择用黎曼球面来表示它．于是，现在可以认为这个球面是由同时标记了时空坐标 $(1, X, Y, Z)$ 的点组成的，这些点也可以用式（4．25）中球极平面投影定义的复数表示。

将射影坐标描述的 $z=\left(z_1 / z_2\right)$ 代人球极平面投影公式（4．25），就得到
$$
X=\frac{\frac{\mathfrak{z}_1 \overline{\mathfrak{z}_2}+\mathfrak{z}_2 \overline{\mathfrak{z}_1}}{\left|\mathfrak{z}_1\right|^2+\left|\mathfrak{z}_2\right|^2}, \quad Y=\frac{\mathfrak{z}_1 \overline{\mathfrak{z}_2}-\mathfrak{z}_2 \overline{\mathfrak{z}_1}}{\mathrm{i}\left(\left|\mathfrak{z}_1\right|^2+\left|\mathfrak{z}_2\right|^2\right)}, \quad Z=\frac{\left|\mathfrak{z}_1\right|^2-\left|\mathfrak{z}_2\right|^2}{\left|\mathfrak{z}_1\right|^2+\left|\mathfrak{z}_2\right|^2} . . . . .}{}
$$

但是，每一束光线等同于这束光线方向上的任意一个零向量．如果令 $T=1$ ，我们可以选择一个标量因子 $\left|z_1\right|^2+\left|z_2\right|^2$ 乘以上述表达式，就消去了分母（也就是，取 $T=\left|\mathfrak{z}_1\right|^2+\left|\mathfrak{z}_2\right|^2$ ）．这个新的零向量 $(T, X, Y, Z)$（沿着原来的时空方向）可以表示为

$$
\begin{aligned}
T & =\left|\mathfrak{z}_1\right|^2+\left|\mathfrak{z}_2\right|^2 \\
X & =\mathfrak{z}_1 \overline{\mathfrak{z}_2}+\mathfrak{z}_2 \overline{\mathfrak{z}_1}, \\
Y & =-\mathrm{i}\left(\mathfrak{z}_1 \overline{\mathfrak{z}_2}-\mathfrak{z}_2 \overline{\mathfrak{z}_1}\right), \\
Z & =\left|\mathfrak{z}_1\right|^2-\left|\mathfrak{z}_2\right|^2 .
\end{aligned}
$$

容易将这些公式转换为以下形式［练习］：

$$
\left(\begin{array}{cc}
T+Z & X+\mathrm{i} Y \\
X-\mathrm{i} Y & T-Z
\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{ll}
\mathfrak{z}_1 \overline{\mathfrak{z}_1} & \mathfrak{z}_1 \overline{\mathfrak{z}_2} \\
\mathfrak{z}_2 \overline{\mathfrak{z}_1} & \mathfrak{z}_2 \overline{\mathfrak{z}_2}
\end{array}\right)=2\binom{\mathfrak{z}_1}{\mathfrak{z}_2}\left(\begin{array}{ll}
\overline{\mathfrak{z}_1} & \overline{\mathfrak{z}_2}
\end{array}\right),
$$

也就是

$$
\left(\begin{array}{cc}
T+Z & X+\mathrm{i} Y  \tag{6.17}\\
X-\mathrm{i} Y & T-Z
\end{array}\right)=2\binom{\mathfrak{z}_1}{\mathfrak{z}_2}\binom{\mathfrak{z}_1}{\mathfrak{z}_2}^*,
$$

其中＂＊＂仍表示共轭转置。

现在，时空区间可以简洁地表示为这个矩阵的行列式：

$$
\mathrm{J}^2=T^2-\left(X^2+Y^2+Z^2\right)=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
T+Z & X+\mathrm{i} Y  \tag{6.18}\\
X-\mathrm{i} Y & T-Z
\end{array}\right)
$$

容易看出［练习］，这个放大了的时空向量仍然是零向量，理应如此．
现在已经利用球极平面投影用复数表示了光线，通过式（6．17），我们来在在复平面 C 上的默比乌斯变换 $  z \mapsto \widetilde{z}=M(z)$ 作用于这束闪光的效果，也就是

$$
\left[\begin{array}{l}
\mathfrak{z}_1 \\
\mathfrak{z}_2
\end{array}\right] \longmapsto\left[\begin{array}{l}
\tilde{\mathfrak{z}_1} \\
\tilde{\mathfrak{z}_2}
\end{array}\right]=[M]\left[\begin{array}{l}
\mathfrak{z}_1 \\
\mathfrak{z}_2
\end{array}\right] .
$$

代人式（6．17），得到（光线的轨迹生成的）零向量的线性变换：

$$
\left(\begin{array}{cc}
T+Z & X+\mathrm{i} Y  \tag{6.19}\\
X-\mathrm{i} Y & T-Z
\end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{cc}
\tilde{T}+\tilde{Z} & \tilde{X}+\mathrm{i} \tilde{Y} \\
\tilde{X}-\mathrm{i} \tilde{Y} & \tilde{T}-\tilde{Z}
\end{array}\right)=[M]\left(\begin{array}{cc}
T+Z & X+\mathrm{i} Y \\
X-\mathrm{i} Y & T-Z
\end{array}\right)[M]^* .
$$

最后，想象这个线性变换作用于所有时空向量（不仅仅是零向量）．

因为 $\operatorname{det}[M]=1=\operatorname{det}[M]^*$ ，由式（6．18）可得这个线性变换保持时空区间不变：

$$
\widetilde{J}^2=\operatorname{det}\left\{[M]\left(\begin{array}{cc}
T+Z & X+\mathrm{i} Y \\
X-\mathrm{i} Y & T-Z
\end{array}\right)[M]^*\right\}=J^2 .
$$

于是，

> **复平面 C 上的每一个默比乌斯变换都生成时空中唯一的洛伦茨变换．反过来，可以证明（详见 Penrose and Rindler，1984，（6．20）第1章）每一个洛伦茨变换都对应唯一（不论正负号）的默比乌斯变换**．

这么漂亮的＂神来之作＂，即使在专业物理学家中也非众所周知．
因此，每个默比乌斯变换或洛伦茨变换从根本上等价于下面要介绍的四个原型之一．基本思想是关注变换的不动点，变换把该点映射为自身：$M(z)=z$ ．

显然［练习］这产生了一个二次方程．二次方程有两个解（可能是不同的，也可能重合），所以默比乌斯变换有两个不动点。 ${ }^{(1)}$ 如果这两个不动点是不同的，可以把它们想象 ${ }^{(2)}$ 成北极和南极，这就产生了图 6－5a～6－5c 中的三个原型．如果这两个不动点重合，可以把它们都想象成北极，这就产生了图 6－5d 中的第四个原型．

![图片](/uploads/2026-05/741d39.jpg)
 
 为了使这四种洛伦茨变换更加生动，想象你自己乘坐一艘宇宙飞船，邀游在星际空间中，看着舷窗外散布在天球上四面八方的无数星星．把这个天球想象成
 一个单位球，你在球心，射向你眼睛的星光与天球相交于一点，它们被标记在球面上．我们还假设你的宇宙飞船与球面对齐，北极就在你的正前方。

现在，如果你启动侧向推进器，使宇宙飞船围绕球面的南北轴旋转，你看到的星场将绕你旋转，如图 6－5a 所示．这种洛伦茨变换当然叫作旋转．在复平面中对应的默比乌斯变换也是一个旋转，$M(z)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a} z$ ，这种类型称为椭圆型．

假设你不再旋转，而是启动强大的主发动机．几乎在一瞬间，宇宙飞船会以接近光速的速率 $v$ 直接向天球的北极飞去．如图 6－5b 所示，你会看到星星朝着你前进的方向蜂拥而来——这与大多数科幻电影的描述正好相反！这种洛伦茨变换叫作上升．在复平面中对应的默比乌斯变换是简单的扩张，$M(z)=\rho z$ ，扩张系数为实数 $\rho$ ，这种类型称为双曲型．事实上（见第108页习题34），扩张系数 $\rho$ 与航天器速度 $v$ 有关：

$$
\begin{equation*}
\rho=\sqrt{\frac{1+v}{1-v}} \tag{6.21}
\end{equation*}
$$

如果你同时启动主发动机和侧向推进器，前面两种效应将联合起来，使得星图朝着你前进的方向螺旋运动，如图 6－5c 所示．这种洛伦茨变换叫作四螺旋，对应的默比乌斯变换为 $M(z)=\rho \mathrm{e}^{\mathrm{i} a} z$ ，称为斜驶型。

如图6－5d 所示，洛伦茨变换的最后一种类型叫作 空旋转，这时两个不动点在北极重合了。很难对这个时空变换给出生动的物理描述，对应的默比乌斯变换称为抛物型，它是复平面 $\mathbb{C}$ 上的平移：$M(z)=z+\tau$ ，也就是每一个复数都沿着平行于 $\tau$ 的直线运动．从第 50 页图 4－8 可知，所有这些直线都被球极平面投影为经过北极的圆周，它们在北极的切线都平行于 $\tau$ ，所以就有图 6－5d 这样的形式．注意，当越来越接近北极时，球面上的运动会越来越小，直到北极，使其成为仅有的不动点．

## 三维双曲几何

值得注意的是，无论是罗巴切夫斯基还是波尔约，都没有着手发展二维非欧几何．相反，两人从一开始就各自寻找一种替代三维欧几里得空间的双曲型理论  ，双曲平面自然地出现在了这个双曲三维空间中。

我们曾经在上半平面中引人如下度量，建立了双曲平面的共形地图：

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}=\frac{\mathrm{d} s}{\text { 边界上方的欧几里得高度 }}=\frac{\sqrt{\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2}}{y} \text {. } \tag{6.22}
\end{equation*}
$$

为了将这个地图推广到三维双曲空间 $\mathbb{H}^3$ ，考虑三维欧几里得空间 $(X, Y, Z)$ 中的水平 $(X, Y)$ 平面上方的半空间 $Z>0$ ．现在可以通过取如下度量公式来建立 $\mathbb{H}^3$ 的共形模型：

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{\mathrm{~s}}=\frac{\mathrm{d} s}{\text { 边界上方的欧几里得高度 }}=\frac{\sqrt{\mathrm{d} X^2+\mathrm{d} Y^2+\mathrm{d} Z^2}}{Z} \text {. } \tag{6.23}
\end{equation*}
$$

$(X, Y)$ 平面 $(Z=0)$ 上的点都是无穷远点，这个边界平面就是二维的天际面，我们将它视为复平面 $\mathbb{C}$ ，取坐标为 $X+\mathrm{i} Y$ ．

从这个结构立即可以得出，每个纵向半平面都是双曲平面 $\mathbb{H}^2$ 。见图6－6，并与图 5－5 比较。（可以想象这个空间充满了同样大小的双曲球面，随着越来越临近天际面，球面的欧几里得大小就会越来越小．）

![图片](/uploads/2026-05/7a37a5.jpg)
 
 我们想象光线在这样一个纵向平面内传播，对称性限定它始终在这个平面内，所以，前而对光线传播路线的分析仍然适用．于是，
 
> $\mathbb{H}^3$ 的测地线是纵向半直线和正交于天际面$\mathbb{C}$ 的半圆周．

在二维双曲空间 $\mathbb{H}^2$ 中的测地线有两种：一种特殊，是纵向半直线；另一种典型，是正交于天际线的半圆周。同样，在三维双曲空间 中的双曲平面也有两种：一种特殊，是纵向半平面；另一种典型，是正交于天际面 $\mathbb{C}$ 的半球面，如图 6－6所示。

我们来看看为何如此，想象你住在 $\mathbb{H}^3$ 里．你说的＂平面＂是什么意思呢？假设我递给你一个中心位于点 $p$ 的无限小圆盘 D。为了（唯一地）将这个圆盘延伸为一个无限大的＂平面＂$H$ ，你可能需要将它的直径延长为无限长的双曲线，即正交于天际面 $C$ 的半圆周．如果圆盘是坚直的，这显然会得到包含 $D$ 的纵向半平面．如果圆盘 $D$ 不是坚直的，这个结构就会生成一个正交于 $\mathbb{C}$ 的半球面 $H$ ，这里 $D$ 与 $H$ 在点 $p$ 的切平面重合．此外，容易看出，这个半球面的中心就是 $D$ 在点 $p$的（欧几里得）法线与天际面 $\mathbb{C}$ 的交点。

假设图 6－6 中的半球面就是这个 $H$ ，考虑图中经过点 $p$ 的纵向平面与 $H$ 的交线．显然，这条交线是 $D$ 的直径延伸成的双曲直线．这是因为，由 $H$ 的构作，$H$在点 $p$ 的切平面与 $D$ 重合．现在设经过点 $p$ 的纵向直线为 $L$ ．如果让经过点 $p$ 的纵向平面绕直线 $L$ 旋转一周，这个纵向平面与 $H$ 的交线就会扫过整个 $H$ ，这证实了 $H$ 确实是 $D$ 扩展成的唯一双曲平面．因此，

>  $\mathrm{H}^3$ 中的双曲平面是纵向半平面和正交于天际面 $\mathbb{C}$ 的半球面．

显然，纵向半平面就是双曲平面，有两个理由：一是生活在 $\mathbb{H}^3$ 空间中的居民称它为平面，二是它的内蕴几何就是 $\mathbb{H}^2$ 空间的几何．那么，半球面形的平面是否也同样是双曲平面呢？也就是说，如果我们在这样的一个半球面上，用其外围空间 $\mathrm{H}^3$ 的双曲度量（6．23）来测量距离，是否真的会得到 $\mathrm{H}^2$ 呢？

答案是肯定的：每一个半球面的内蕴几何都是 $\mathbb{H}^2$ 的几何．如果你生活在 $\mathbb{H}^3$空间中，那么，每一个方向与另一个任意的方向是一样的，每一条直线与另一条任意的直线是一样的，每一个平面与另一个任意的平面是一样的．将几何反演推广到三维空间，就有可能提供一个自然的几何解释，证明存在将纵向双曲平面变成半球面形平面的运动，因此它们的内蕴几何一定是相同的． 不过，现在我们还是做一个计算来回答这个问题．

如果我们在半径为 $R$ 的半球面上建立球面坐标系（经度和纬度），则 $Z= R \cos \phi$ ，将式（4．4）代人双曲度脈公式（6．23），得到

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \widehat{s}=\frac{\sin ^2 \phi \mathrm{~d} \theta^2+\mathrm{d} \phi^2}{\cos ^2 \phi} . \tag{6.24}
\end{equation*}
$$

要看清楚这个公式的确就是 $\mathbb{H}^2$ 的度质，我们可以引人新的坐标系，将这个度星公式转换成标准形式（6．22）（见第106页习题28），或者使用内蕴度量的曲率公式（4．10）来验证：［练习］ $\mathcal{K}=1$ 。

我们来介绍 $\mathrm{H}^3$ 的一对简单等跑变换．度量公式（6．23）显然不公因为下述水平坐标面上的欧儿里得平移而改变：

$$
X+\mathrm{i} Y \mapsto X+\mathrm{i} Y+\text { (复常数), } \quad Z \mapsto Z .
$$

同样，双曲距离也不会因为空间在下述以原点为中心的欧儿里得扩张而改变：

$$
(X, Y, Z) \mapsto k(X, Y, Z)=(k X, k Y, k Z),
$$

其中 $k>0$ 是扩张系数，因为在这里 $\mathrm{d} s$ 和 $Z$ 都乘了相同的伸缩因子 $k$ ，所以 $\mathrm{d} \widehat{s}$没有改变．

将这个扩张与平移结合起来，可见以天际面上任意点为中心的扩张都是等距变换．有了这两种等距变换就可以再次验证，所有半球面形的平面一定具有相同的内蕴几何，因为任意两个半球面形的平面都可以通过刚体运动重合：首先通过天际面上的平移使得它们具有同一个中心，然后通过扩张使得它们的半径相等．

任意一个等距变换一定会将一个平面变换成另一个平面，这就是说，天际面 C上的边界圆周一定会被变换成另一个边界圆周。事实证明（尽管我们不能在这里证明）这种保圆性是很重要的，有了保圆性就足以完全确定 ${ }^{(1)}$ 所涉及的复映射：它们只能是默比乌斯变换！

反过来，复平面 $\mathbb{C}$ 上的任何默比乌斯变换都会诱导出整个 $\mathbb{H}^3$ 空间中的唯一变换，因为 $\mathbb{H}^3$ 中的每个点 $p$ 都是由三个平面的交点唯一确定的，这三个（半球面形的）平面在天际面 $\mathbb{C}$ 上就是三个圆周。由默比乌斯变换的保圆性，这三个圆周的像是三个新的圆周，它们在 $\mathbb{H}^3$ 中就是三个新的半球面形的平面，相交于点 $p$的像．还可以证明，${ }^2$ 这个诱导出来的变换是 $\mathbb{H}^3$ 中的正向等距变换．综上所述，就得到了庞加莱（Poincaré，1883）的伟大发现：

> 三维空间 $\mathbb{H}^3$ 中的正向等距变换群是 $\mathbb{C}$ 上的默比乌斯变换群。

如果你是在 $\mathrm{H}^3$ 的世界里长大的，读的是 $\mathrm{H}^3$ 的学校，就会学到三角形的内角和总是小于两个直角之和，每一条直线都有经过同一点的无穷多条平行线，等等。但是，你在大学最终会学到一种理论几何学，它与你的日常经验不一致，例如每一个三角形的内角和都严格等于$\pi$, 无论这个三角形有多大，为了只管的理解这种奇异现象，数学家们试图构建一个模型典而，在这个曲面上，这种＂欧几里得＂几何实际上是成立的。佔縣注总的是，他们成功了！

从寓言回到现实吧，实际上是瓦赫特（高斯的一个学生）在1816年第一次发现了这样一个曲而，后来罗巴切夫斯基和波尔约又独立地重新发现了它，罗巴切夫斯基把它命名为极限球面。根据图 6－6，一个典型的极限球面就是一个普通的欧几里得球面，它位于（接触）天际面上．令人惊讶的是，如果使用双曲度量（6．23）来测量距离，极限球面内的几何结构确实就是一个平坦的欧几里得平面！参见第 107 页习题 30 和第 107 页习题 32.

贝尔特拉米提供了一种更简单的理解方法．由于将几何反演推广到三维双曲空间，可以交换纵向半平面和半球面，他观察到，通过反演和刚体运动，一个典型的极限球面可以变成 $Z=$ 常数 $=k$ ．在这个水平面内，双曲度是（6．23）简化为

$$
\mathrm{d} \widehat{s}=\frac{\sqrt{\mathrm{d} X^2+\mathrm{d} Y^2}}{k},
$$

这显然就是欧几里得度量．

回想一下，希尔伯特证明了在欧几里得空间中不能构作一个完整的双曲平面．双曲空间中存在的极限球面就是完整的欧几里得平面，这使得欧几里得几何也从属于双曲几何，从而说明了双曲几何的优越性．事实上，球面几何也包含在内．研究证明， $\mathrm{H}^3$ 中居民所称的球面（即与中心的双曲距离不变的点的集合）实际上也出现在我们的模型中，就是欧几里得球面，但它有一个不同的中心．此外，这样的双曲球面具有恒定正曲率的内蕴几何：它看起来像球面，实际上也是球面！详见第 107 页习题 31 。

我们已经多次接受了这样的概念：某些智能生物生活在一个非欧几何世界 （比如 $\mathrm{H}^3$ ）里。这并没有你认为的那么怪异。1915年，爱因斯坦发现我们居住的实际时空不是平坦的！事实上，能量和物质扭曲了时空的结构，产生了一种复杂的曲率形态，既有正的也有负的，在不同的地方、不同的时间和不同的方向上都有不同的曲率。

然而，在正常情况下，曲率的量小得出奇，以至于三角形内角和与 $\pi$ 的差完全无法察觉．这就造成一个错觉：我们的世界是服从欧儿里得几何定律的．这种错觉是如此完美，如此令人信服，以至于它影响了我们 4000 多年．
尽管如此，爱因斯坦还是在1915年发现了时空曲率的微妙模式，这是极其重要的，甚至在日常生活中也是如此．它有一个名字⋯⋯那就是引力！

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