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平面曲率

## 8.1 引言

对曲率（curvature）的研究不是始于曲面，而是始于曲线（curve），特别是平面曲线，顾名思义嘛。

对于平面曲线，我们肯定有一种直观的想法：它的某一段比较直一些，而另一段就比较弯曲一些。那么，如何用数学的精确性来量化这种弯曲程度呢？

在整个第一築里，我们的注意力都集中在内蕴（高斯）曲率的概念上．为什么如此痴迷于内蕴几何，而不是外在几何呢？在第二幕结束的时候，我们提供了一个令人信服的理由：作为时空的居民，这是对我们唯一有意义的一种时空几何，而且时空的内蕴曲率具有根本的重要性一一它就是万有引力．

但是，给定二维曲面上的一片，只有非常有限的变形方式，能使它在变形时保留其内蕴几何（也就是说没有拉伸距离）。一维曲线就不一样了：我们可以将它任意弯曲（不拉伸），使得它变成任意别的曲线，而长度不变．因此，一维内蕴曲率的概念根本不存在！换句话说，如果你是一个非常短的一维生物，生活在一条曲线中，当你在这条曲线里运动时，只能向前和向后测量距离，那么这条曲线的形状，对你来说不仅是不可知的，而且根本就是毫无意义的．
因此，从一开始就很明显的是，我们所能期待的最好结果就是曲率的外在定义：曲线在平面内的状态是怎样的．最大的惊喜（称之为＂奇迹＂也不为过）是这个一维曲率的外在概念最终会被认为与二维曲面的内蕴曲率有直接的关系．

正如我们说过的，生活在一维曲线内的生物无法通过在曲线内的测量来感知他所处一维世界的曲率。但是，我们可以放宽这个生物关于可测性和可知性的概念．例如，假设他不仅可以沿曲线测量长度，而且知道质量、速度和力等物理概念，那就不一样了．现在，让我们继续回到一条平面曲线上．把这条平面曲线想象成一个位于外层空间的无摩擦金属丝，没有重力（或其他外力）的作用，并假设我们以单位速率沿金属丝发射一个单位质量的无摩擦珠子。

由于没有外力，珠子将继续以单位速率沿金属丝运动。但是，牛顿第一运动定律告诉我们，如果没有外力作用在珠子上，它就会沿直线运动．这里所发生的
是，当珠子要沿着直线飞行时，弯曲的金属丝约束了它，产生了与其运动方向成直角的外力，使得速度向量转到使得珠子继续在金属丝上运行的方向，但不改变速度向量的长度，也就是速率．

一段金属丝弯曲得越厉害，珠子在通过这段金属丝时的速度向量转弯得越快。牛顿第二运动定律告诉我们，速度的变化率（加速度）实际上等于弯曲的金属丝对（单位质量的）珠子施加的力 $F$ 。金属丝弯曲的角度越大，就必须施加越大的力才能使珠子的轨迹弯曲。

为了让这个想法更直观，回想一下你去游乐场坐过山车时，在弯曲轨道上高速（但是匀速）行驶是什么感觉。这时你已经成功地变成了生活在一维空间的生物，只能沿着过山车的弯曲轨道运行。［我们将很快讨论在三维空间中扭曲的曲线，但现在，想象你沿着水平（因此是平面）的轨道运行．］还有，当你坐在汽车里时，即使闭上眼睛，在转弯时仍然能感觉到汽车的侧面对你的身体产生压力：转弯越急，压力越大．

事实上，牛顿是第一个给曲率 $\kappa$ 引入纯几何定义的人，我们等一会儿就来讨论这个几何定义．根据牛顿的定义和他发现的运动定律，他的确能导出如下结论：

> 如果一根金属丝具有平面曲线的形状，一个单位质量的珠子以单位速率沿金属丝发射出去，金属丝就会有一个力 $F$ 作用在珠子上．这个力的方向垂直于曲线，这个力的大小就是这条曲线的曲率 $\kappa$ 。

几何与物理的这种联系（即轨道弯曲的几何与使得物体保持在轨道上的力之间的联系）成为了牛顿杰作的关键，这部杰作就是 1687 年出版的《自然运动的哲学原理》，可以说是历史上最重要的科学著作．

在《原理》中，牛顿使用无限小的几何（序幕中描述的＂最终相等＂）来解释天体的运行，包括行星围绕太阳的椭圆轨道转动，而太阳是这个椭圆轨道的一个焦点．与刚才所讲的不同的是，现在行星不是像珠子一样穿在金属丝上，而是在引力这只无形之手的作用下，它们的运动轨道偏离了从太阳延伸到太空的直线轨迹，引力的强度与（行星到太阳的）距离的平方成反比．这就是牛顿著名的引力平方反比定律．

## 8.2 曲率圆

在牛顿的《原理》出版 20 多年前， 21 岁的牛顿（在 1664 年的牛顿圣诞节前不久）就开始研究平面曲线的＂弯曲性＂，将曲率的概念首次引入数学。

牛顿认为曲线 $\mathcal{C}$ 在点 $p$ 处的曲率圆是曲线在 $p$ 附近最接近曲线的圆周，正如切线是在这一点最接近曲线的直线 （见图8－1）。

![图片](/uploads/2026-05/3b8658.jpg)
 
 
牛顿是如何确定曲率目的中心（曲率中心）$c$ 的位置的呢？取曲线 $\mathcal{C}$ 上点 $p$的邻近点 $q$ ，则曲线在点 $p$ 和点 $q$ 处的法线相交，当 $q \rightarrow p$ 时，两条法线交点的极限位置就是近似圆的中心 $c$ 。称 $p c$ 为曲率半径，$\kappa \equiv(1 / p c)$ 。牛顿最初给这个概念起了个别名，称为＂crookednesse＂  ，但后来重新命名为曲率。（关于记号的重要提示：这里＂$p c$＂表示点 $p$ 和点 $c$ 之间

按照牛顿的思路，我们用曲线偏离自身切线的快慢来量度曲率 $\kappa$（见图 8－2）．根据平面曲线在点 $p$ 的曲率 $\kappa$ 的定义，图 8－2 所示圆的直径为 $p s=(2 / \kappa)$ ．现在设 $q$ 为曲线 $\mathcal{C}$ 上点 $p$ 的邻近点（这里 $\xi=p q$ ），记点 $q$ 到点 $p$ 的切线 $\mathcal{T}$ 的距离为 $q t=\sigma$ ，舍去垂直于这段距离的分量，最后记 $\epsilon=p t$ ．

因为 $\mathcal{T}$ 与 $\mathcal{C}$ 相切，所以 $\lim _{\epsilon \rightarrow 0}(\sigma / \epsilon)=0$ ，于是

$$
\frac{\xi^2}{\epsilon^2}=\frac{\epsilon^2+\sigma^2}{\epsilon^2}=1+\left[\frac{\sigma}{\epsilon}\right]^2 \asymp 1 \Rightarrow \xi \asymp \epsilon .
$$

关于记号的重要提示：在此，以及全书中，我们都使用在序幕中介绍和定义的记号 二表示牛顿的最终相等概念。

图 8－2 中灰色的三角形 $p t q$ 最终相似于三角形 $s q p$ ，  所以

$$
\frac{\xi}{[2 / \kappa]} \asymp \frac{\sigma}{\xi} .
$$

![图片](/uploads/2026-05/eb81fa.jpg)
 
本质上，这就是牛顿 《原理》第一篇中的引理 II（Newton，1687，第 439 页） （也可参见 Brackenridge and Nauenberg，2002，第 112 页）．根据前面得到的两个结果，我们有

$$
\begin{equation*}
\kappa \asymp \frac{2 \sigma}{\epsilon^2} \text { 或 } \quad \sigma \asymp \frac{1}{2} \kappa \epsilon^2 . \tag{8.2}
\end{equation*}
$$

这样，既可以用 $\sigma$ 表示 $\kappa$ ，也可以用 $\kappa$ 表示 $\sigma$ ．
曲率有正负号会更方便：当 $\mathcal{C}$ 向上凸时，$\kappa$ 为正；当 $\mathcal{C}$ 向下凹时，$\kappa$ 为负。例如，我们马上就可以得出，抛物线的直角坐标方程为 $y=a x^2$ ，它在原点的曲率是 $\kappa=2 a$ 。同样， $\cos x$ 的泰勒展开式告诉我们［练习］，余弦函数 $y=\cos x$ 的图像在点 $(0,1)$ 处的曲率 $\kappa=1$ ，因此其曲率圆是以原点为中心单位圆．

## 8.3 牛顿的曲率公式

假设曲线 $\mathcal{C}$ 是 $y=f(x)$ 的图像．如果 $x$ 轴平行于曲线在点 $p$ 处的切线 $\mathcal{T}$ ，则泰勒公式意味着［练习］$\sigma \asymp(1 / 2) f^{\prime \prime}\left(x_p\right) \epsilon^2$ ，其中 $x_p$ 是点 $p$ 的 $x$ 坐标。于是，由式（8．2）有

$$
\kappa=f^{\prime \prime}\left(x_p\right) .
$$

注意，这个公式自动服从我们关于曲率 $\kappa$ 正负号的约定．

更一般地，假设 $x$ 轴是沿任意方向的，曲线在点 $p$ 的切线 $\mathcal{T}$ 与 $x$ 的倾斜角为 $\varphi$ ，则 $f^{\prime}=\tan \varphi$ ．牛顿发现，在一般情形下，上述公式的正确推广为

$$
\begin{equation*}
\kappa=\frac{f^{\prime \prime}}{\left\{1+\left(f^{\prime}\right)^2\right\}^{3 / 2}} \tag{8.3}
\end{equation*}
$$

其中的导数都取为 $x=x_p$ 的导数值。
在接触了几个使用无穷小几何的例子之后，你应该不难读慬牛顿对以上公式的原始证明．后来，克内贝尔（Knoebel，2007，第 182－185 页）重写了这个证明．然而，在这里，我们将提供一个不同的几何论证，试图解释式（8．3）复杂的新分母是旋转 $x$ 轴的简单结果．来看图 8－3．

![图片](/uploads/2026-05/3f4bfa.jpg)
 
 这里，仍如前一样，记 $\epsilon \equiv p t$ 和 $\sigma \equiv q t$ ，取 $x$ 轴为水平方向，而不是平行于 $\mathcal{T}$ ．如果记 $\delta x \equiv x_q-x_p$ ，根据泰勒定理，点 $q$ 在 $\mathcal{T}$ 上方的高度为 $a q \asymp(1 / 2) f^{\prime \prime}(\delta x)^2$ ．因为图 8－3 中两个灰色的三角形显然相似，所以将 $a p$ 投影到 $\mathcal{T}$ 的垂直方向上，就要乘以一个因子 $\cos \varphi$ ，于是得到 $\sigma \asymp(1 / 2) f^{\prime \prime}(\delta x)^2 \cos \varphi$ ．

接下来，因为 $p a \asymp p t=\epsilon$ ，所以 $\delta x \asymp \epsilon \cos \varphi$ ．于是，将切线投影到水平方向的 $x$ 轴，我们要多加两次因子 $\cos \varphi$ ，一共就有 $\cos \varphi$ 的三次方，所以

$$
\sigma \asymp \frac{1}{2} f^{\prime \prime} \epsilon^2 \cos ^3 \varphi .
$$

最后，图8－3右侧方框中的子图说明

$$
\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{1+\left(f^{\prime}\right)^2}}
$$

于是，由式（8．2）立即可得牛顿公式（8．3）．

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