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作为转向率的曲率

## 8.4 作为转向率的曲率

1761年，在牛顿引入曲率概念大约一个世纪后，克斯特纳发表了一种简单的替代解释，最终被证明比牛顿的解释更易于推广。

> 曲率是切线关于弧长的转向率。换言之，如果 $\varphi$ 是切线的仰角， $s$ 是弧长，则 $\kappa=\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} s$ ．

注意，这个定义有一个明显的优点，那就是，对紧邻关注点的一小段曲线进行局部测量，就可以确定曲率：我们不霾需要绘制很长的法线，直到它们在曲率中心相交．

要验证定义（8．4）与牛顿的定义是等价的，只需证明半径为 $\rho$ 的标准圆周的曲率为 $\kappa=1 / \rho$ ，对于一般曲线，取其曲率圆就行了。对于标准圆周的情形，其切线的转向率显然是一致的．考虑沿圆周走一整圈，则切线旋转的角为 $2 \pi$ ，而走过的整个周长为 $2 \pi \rho$ ，所以切线的转向率为 $(2 \pi) /(2 \pi \rho)=\kappa$ ，正如所微证。

图 8－4 再次证明了这个等价性并且更进一步．设 $T$ 为曲线 $\mathcal{C}$ 的单位切向量， $N$ 为指向曲率中心 $c$ 的单位法向量．当从点 $p$ 移动到点 $q$ 时，走过距离 $\delta s$ ，而 $T$ 旋转了 $\delta \varphi$ 。因为 $\delta s$ 最终等于半径为 $1 / \kappa$ 的曲率圆上对应的一段弧（根据牛顿最初的定义），所以 $\delta s \asymp(1 / \kappa) \delta \varphi$ ．因此 $\kappa=\mathrm{d} \varphi / \mathrm{d} s$ ，这就再次验证了定义（8．4）．

![图片](/uploads/2026-05/b34c04.jpg)
 
 现在来看图 8－4 的右侧子图，令 $T_p$ 和 $T_q$ 分别是点 $p$ 和 $q$ 的切向量．将它们的起点画在同一个点上，连接它们端点的向量是 $\delta T \equiv\left(T_q-T_p\right)$ ，该向量最终指向 $N$ ，其长度最终等于连接这两个向量端点的单位圆的弧长（图8－4中以虚线表示），因此 $\delta T \asymp N \delta \varphi$ 。于是

$$
\begin{equation*}
\frac{\delta T}{\delta s} \asymp N \frac{\delta \varphi}{\delta s} \Longrightarrow \frac{\mathrm{~d} T}{\mathrm{~d} s}=\kappa N . \tag{8.5}
\end{equation*}
$$

现在回到开始讨论的曲率物理模型，也就是，单位质量的珠子以单位速率沿曲线运动的模型．因为珠子以单位速率运动，珠子的速度向量 $\boldsymbol{v}$ 就是 $\boldsymbol{T}$ ，而且 $\delta s=\delta t$ ，所以式（8．5）中的 $(\mathrm{d} T / \mathrm{d} s)=(\mathrm{d} v / \mathrm{d} t)$ 实际上就是珠子的加速度，也是金属丝作用于珠子的力．这样我们就验证了结论（8．1）．
当然，我们可以用法向量取代切向量，将曲率看作法向量 $N$ 的转向率．事实上，图 8－5 生动地显示：$T$ 的端点是沿 $N$ 的方向开始旋转的， $N$ 的端点是沿 $-T$ 的方向开始旋转的，它们移动的距离相等．因此，

$$
\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} s}=-\kappa T .
$$

事实上，用法线取代切线是极其重要的，当我们将关注点从曲线转回到曲面上时，就不存在＂唯一＂的切线了，但是仍然存在唯一的法向量，垂直于曲面的切平面．而且，法向量在曲面上一点附近的变化，的确能告知我们曲面在这一点处的曲率．

![图片](/uploads/2026-05/b2f4f3.jpg)
 
（顺便提一下，我们再一次注意到几何理解和盲目计算之间的区别．在上面提到的情形下，这显得非常简单．设 $\varphi$ 表示切线与水平的 $x$ 轴之间的夹角，则

$$
T=\left[\begin{array}{l}
\cos \varphi \\
\sin \varphi
\end{array}\right], \quad N=\left[\begin{array}{r}
-\sin \varphi \\
\cos \varphi
\end{array}\right] .
$$

令一撇（＇）表示关于弧长的导数，则 $\kappa=\varphi^{\prime}$ ．直接计算立即可得 $T^{\prime}=\varphi^{\prime} N$ 和 $\left.N^{\prime}=-\varphi^{\prime} T.\right)$

如果珠子具有任意质量 $m$ ，以任意（未必恒定的）速率 $v$ 运动，情况会是怎样的呢？在这种情形下，可以定义 $\delta s \asymp v \delta t$ 和 $v=v T$ 。这样，式（8．5）就变成了下面这个著名结果的广义版本：控制物体在圆形轨道上运动所需要的力为

$$
F=m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t}=\kappa m v^2 N .
$$

牛顿早在 1665 年就开始注意到这一点，${ }^{(1)}$ 当时他正在努力理解是什么力使月球保持在轨道上。

这种曲率（看作转向率）的新解释使我们能够处理无法用函数图像表示的曲线，因此也就超越了牛顿最初的公式（8．3）．设 $\mathcal{C}$ 是质点的轨迹，质点在时刻 $t$ 的位置为 $(x[t], y[t])$ ，则速度为

$$
v=\left[\begin{array}{c}
\dot{x} \\
\dot{y}
\end{array}\right], \text { 因此 } \tan \varphi=\frac{\dot{y}}{\dot{x}},
$$

其中，变量上方的点 ${ }^{(2)}$ 表示关于时间的导数，这是牛顿引人的记号．注意，我们不再假设速率是恒定不变的，即 $v$ 的长度是变化的．

对上面的方程 $\tan \varphi=(\dot{y} / \dot{x})$ 两边求导，利用求导的链式法则，不难得到［练习 ］更一般的公式（也是牛顿发现的）：
$$
\begin{equation*}
\kappa=\frac{\dot{x} \ddot{y}-\dot{y} \ddot{x}}{\left[\dot{x}^2+\dot{y}^2\right]^{3 / 2}} . \tag{8.6}
\end{equation*}
$$

然而，我们也可以用几何术语更直接地解释这个公式．来看图 8－6a，其中显示了在点 $p$ 的速度 $v$ 和经过时间 $\delta t$ 后的速度．由此可知，质点沿曲线 $\mathcal{C}$ 走过了距离 $\delta s \asymp v \delta t$ ．在图 8－6b 中，把两个速度向量的起点画在同一个点上，连接它们端点得到的向量就是速度的增量（向量）$\delta \boldsymbol{v} \asymp \dot{\boldsymbol{v}} \delta t$ ．

图 8－6 中的阴影部分就是半径为 $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$ 、圆心角为 $\delta \varphi$ 的扇形，我们有

$$
\text { (阴影扇形的面积) }=\frac{1}{2} v^2 \delta \varphi \asymp \frac{1}{2} v^2 \kappa \delta s \asymp \frac{1}{2} v^3 \kappa \delta t \text {. }
$$

如图 8－6所示，这个扇形的面积最终等于以速度向量

$$
v=\left[\begin{array}{l}
\dot{x} \\
\dot{y}
\end{array}\right] \quad \text { 利 } \quad \delta v \asymp\left[\begin{array}{l}
\ddot{x} \\
\ddot{y}
\end{array}\right] \delta t
$$

![图片](/uploads/2026-05/7c1102.jpg)
 
 为边的三角形的面积．由行列式的初等结论（这可以用几何方法证明［练习］），这个三角形的面积就是 $1 / 2$ 乘以这些两列矩阵的行列式：
（以速度向量为边的三角形的面积）$\asymp \frac{1}{2} v^2(\dot{x} \ddot{y}-\dot{y} \ddot{x}) \delta t$ ．
于是，

$$
\frac{1}{2} v^3 \kappa \delta t \asymp \frac{1}{2} v^2(\dot{x} \ddot{y}-\dot{y} \ddot{x}) \delta t .
$$

这就证明了式（8．6）．
注意，如果质点的水平速率是恒定不变的 $\dot{x}=1$ ，则它的轨道是 $(t, y[t])$ ，那么，我们发现牛顿最初的式（8．3）就是式（8．6）的一个特例．事实上，这正是牛顿自己的简化方式．可以再次参见 Knoebe（2007，第 182－185 页）．

最后，考虑一个特别重要的特殊情况，其中质点的运动速率为单位速率，从而

$$
|v|=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}=1,
$$

而且 $\delta s=\delta t$ ．因此，图8－6b 所示的速度增量 $\delta v$ 现在正交于 $v$ ，与单位圆相切．如图 8－7 所示，在 $\delta t$ 期间，速度 $v$ 的端点走过了单位圆上的一段弧 $\delta \varphi$ ，它的高度上升了 $\delta \dot{y} \asymp \ddot{y} \delta t=\ddot{y} \delta s$ ．
 ![图片](/uploads/2026-05/fcbcc6.jpg)
 由于图8．7中的两个阴影三价形是终相似，所以

$$
\frac{\delta \varphi}{\ddot{y} \delta s} \times \frac{1}{\dot{x}} .
$$

回忆 $\kappa=(\delta \varphi / \delta s)$ ，式（8．6）就变成了一个极其简单的公式（京怪的是，在标准数科书中不容易找到这个公式）：对于单位速率的轨遮，

$$
\begin{equation*}
\kappa=\ddot{y} / \dot{x} . \tag{8.7}
\end{equation*}
$$

类似地，通过同样的三角形可得 $\kappa=-\ddot{x} / \dot{y}$ 。（第 255 页习题 1 会给出这个结果的计算证明，但启发性差一点儿。）

## 8.5 例子：牛顿的曳物线

伪球面的常负高斯曲率实际上可以追溯到牛顿曳物线的曲率，因为伪球面是由曳物线绕轴旋转生成的．

有了曳物线的参数方程（见第 102 页习题 16 ），利用式（8．6），经过常规计算［练习］可得它的曲率．然而，对这个问题的几何分析更优雅，而且，几何分析提供答案的方式被证明对研究伪球面更有用。在此，我们提出一个针对这个特定曲线的论证  ，而不是利用我们迄今为止推导出的任意一个一般公式．

如图 8－8 所示，令
$\rho_1=$ 作为母线的曳物线的曲率半径，
$\rho_2=$ 由曲面到轴的法线线段 $p l$ 的长度．
（我们将在后面说明 $\rho_2$ 就是曲率半径，因此用同一个希腊字母表示这两个距离。）

由曳物线的定义，曳物线的切线段（从切点 $p$ 到切线与轴的交点 $a$ ）的长度恒定为 $R$ ．取相邻两点 $p$ 和 $q$ ，就有图 8－8 中所示的两条这样的切线段 $p a$ 和 $q b$ ，它们的夹角是 • 对应的法线 $p o$ 利 $q o$ 也有相同的夹角 • 现在画出垂直于 $q b$ 的线段 $a c$ ．

![图片](/uploads/2026-05/a136ac.jpg)
 
 固定点 $p$ ，将点 $q$ 合并到点 $p$ ，会发生什么呢？在这个极限过程中，$o$ 是曲涂圆的中心，$p q$ 是曲率圆上的一段弧，$a c$ 近似于圆心为 $p$ 、半径为 $R$ 的圆周上的一段弧．因此

$$
\rho_1 \asymp o p, \quad \frac{p q}{o p} \asymp \bullet \asymp \frac{a c}{R},
$$

从而

$$
\frac{a c}{p q}=\frac{R}{\rho_1} .
$$

接着，再次利用曳物线的儿何定义 $p a=R=q b$ ，得到

$$
b c \approx p q .
$$

最后，利用三角形 $a b c$ 最终相似于三角形 $l a p$ ，我们有

$$
\frac{R}{\rho_1} \asymp \frac{a c}{p q} \asymp \frac{a c}{b c} \asymp \frac{\rho_2}{R} .
$$

因此，

$$
\begin{equation*}
\kappa=\frac{1}{\rho_1}=\frac{\rho_2}{R^2} . \tag{8.8}
\end{equation*}
$$

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