最后更新: 2026-06-01 19:14 查看: 8 次纠错评论(0) 课件开VIP

1.1 三维欧氏空间中的标架(1)

我们知道，一元函数 $y=f(x)$ 的图像是一条曲线，二元函数 $z= f(x, y)$ 的图像是一张曲面．但是，把曲线和曲面表示成参数方程则更加便利于研究，这种表示方法首先是由 Euler 引进的．例如，在空间中的一条曲线可以表示为三个一元函数

$$
x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t) .
$$

在向量的概念出现之后，空间中的一条曲线可以自然地表示为一个二元向量函数

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t))
$$

因此，向量函数是本课程的基本工具．
在本章，我们首先要复习解析几何中已经学习过的向量代数知识，以及介绍向量函数相加、向量函数与函数相乘、向量函数的点乘和叉乘的求导法则。在三维欧氏空间中标架是建立坐标系的基础，而且我们将来要把曲线和曲面与紧附在曲线和曲面上的标架族联系起来，用标架族的变化状态来刻画曲线和曲面的弯曲情况。因此在本章我们还要介绍三维欧氏空间中标架的概念，为在三维欧氏空间中研究曲线和曲面做好准备．

## §1．1 三维欧氏空间中的标架
通常把我们所处的空间称为三维欧氏空间。确切地说，所谓的三维欧氏空间 $E^3$ 是一个非空的集合，其中的元素称为＂点＂，任意两个不同的点唯一地决定了连接它们的直线，不在一条直线上的任意三个不同的点唯一地决定了通过这三点的平面，而且在 $E^3$ 中存在不共面的四个点．另外，过直线外任意一点能够作、并且只能作一条直线与已知直线平行．最后这个断言就是欧氏几何的平行公理．

任意两个点 $A, B \in E^3$ 都可以连接成一条直线段 $A B$ ．指定 $A$ 为起点、 $B$ 为终点的线段 $A B$ 称为有向线段，记作 $\overrightarrow{A B}$ ．设 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{C D}$是两条有向线段，如果 $A B D C$ 成为一个平行四边形，则称这两条有向线段是相等的，记为

$$
\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{C D} \text {. }
$$

所有相等的有向线段的集合称为一个向量．因此，在三维欧氏空间 $E^3$中，一个向量可以表示为 $E^3$ 中的一条有向线段，而相等的有向线段所代表的是同一个向量。以后，我们经常用黑斜体单个字母，或者用带箭头的单个字母表示向量。

按照＂三角形法则＂，可以定义向量的加法如下：设 $a, b$ 是两个向量，并且假定它们用有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{B C}$ 来表示，则连接 $A$ 和 $C$的有向线段 $\overrightarrow{A C}$ 就代表向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ ．我们把起点和终点相同的有向线段的集合称为零向量，记为 $\mathbf{0}$ ，于是任意一个向量与零向量之和为该向量自身，即

$$
a+0=a .
$$

另外，若向量 $a$ 用有向线段 $\overrightarrow{A B}$ 来表示，并且把有向线段 $\overrightarrow{B A}$ 所代表的向量记为 $-\boldsymbol{a}$ ，于是

$$
\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})=\mathbf{0} .
$$

我们把向量 $-\boldsymbol{a}$ 称为 $\boldsymbol{a}$ 的反向量．容易验证，向量的加法遵循下面的运算法则：
（1） $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$ ；
（2）$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$ ．
在三维欧氏空间 $E^3$ 中还规定线段 $A B$ 的长度是点 $A$ 到点 $B$ 的距离，记为 $|A B|$ ，并对于任意三点 $A, B, C$ ，下面的三角形不等式成立：

$$
|A B|+|B C| \geq|A C| .
$$

向量 $a$ 的长度 $|a|$ 定义为代表它的有向线段 $a=\overrightarrow{A B}$ 的长度．这样，向量 $\boldsymbol{a}$ 与实数 $c$ 的乘积 $c \cdot \boldsymbol{a}$ 可以定义为与 $\boldsymbol{a}$ 平行的向量，当 $c>0$

时 $c \cdot \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 同向，当 $c<0$ 时 $c \cdot \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 反向，并且 $c \cdot \boldsymbol{a}$ 的长度 $|c \cdot \boldsymbol{a}|$是 $\boldsymbol{a}$ 的长度 $|\boldsymbol{a}|$ 的 $|c|$ 倍；当 $c=0$ 时，$c \cdot \boldsymbol{a}=\mathbf{0}$ ．容易验证，向量与实数的乘法遵循下面的运算法则：
（1）$\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ ；
（2）$(\lambda+\mu) \boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{a}$ ；
（3）$(\lambda \mu) \boldsymbol{a}=\lambda(\mu \boldsymbol{a})$ ，
其中 $\lambda, \mu$ 是任意的实数．
向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的点乘 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}$ 定义为实数

$$
a \cdot b=|a| \cdot|b| \cdot \cos \angle(a, b) .
$$

很明显，向量的点乘遵循下面的运算法则：
（1） $\boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{a}+\boldsymbol{c} \cdot \boldsymbol{b}$ ；
（2）$(\lambda \boldsymbol{a}) \cdot \boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) ;$
（3） $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a}$ ．
由此可见，

$$
|\boldsymbol{a}|^2=\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{a} \geq 0,
$$

并且上面的等号成立的条件是 $a=0$ ．另外，向量 $a$ 和 $b$ 垂直的充分必要条件是

$$
a \cdot b=0 .
$$

当向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行时，规定它们的叉乘为零向量．当 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 不平行时，规定向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的叉乘 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ 是与已知向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 都垂直的一个向量，其长度等于向量 $a$ 和 $b$ 所张成的平行四边形的面积，即

$$
|a \times b|=|a| \cdot|b| \sin \angle(a, b),
$$

并且它和 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 构成右手系．容易验证，向量的叉乘遵循下面的运算法则：
（1） $\boldsymbol{c} \times(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{a}+\boldsymbol{c} \times \boldsymbol{b}$ ；
（2）$(\lambda \boldsymbol{a}) \times \boldsymbol{b}=\lambda(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b})$ ；
（3）$a \times b=-b \times a$ ．
根据定义，向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行的充分必要条件是

$$
a \times b=0 .
$$

在 $E^3$ 中取定不共面的 4 个点，把其中一点记作 $O$ ，把另外 3 点分别记为 $A, B, C$ ，于是得到由一点 $O$ 和 3 个不共面的向量 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}$构成的图形 $\{O ; \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}\}$ ．这样的一个图形称为 $E^3$ 中的一个标架，其中点 $O$ 称为该标架的原点．在 $E^3$ 中取定一个标架 $\{O ; \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ ， $\overrightarrow{O C}\}$ 之后，则空间 $E^3$ 中的任意一点 $p$ 可以唯一地表示为 3 个有序的实数 $(x, y, z)$ ．事实上，从点 $p$ 出发可以作唯一的一个平面与平面 $O B C$平行，它和直线 $O A$ 有唯一的交点，记为 $p_1$ ，那么向量 $\overrightarrow{O p_1}$ 与 $\overrightarrow{O A}$ 共线，于是有实数 $x$ ，使得 $\overrightarrow{O p_1}=x \overrightarrow{O A}$ 。同理，从点 $p$ 出发可以作唯一的一个平面与平面 $O A C$ 平行，它和直线 $O B$ 有唯一的交点，记为 $p_2$ ，从点 $p$ 出发可以作唯一的一个平面与平面 $O A B$ 平行，它和直线 $O C$ 有唯一的交点，记为 $p_3$ ，并且有实数 $y, z$ ，使得 $\overrightarrow{O p_2}=y \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O p_3}=z \overrightarrow{O C}$ ，那么

$$
\begin{equation*}
\overrightarrow{O p}=\overrightarrow{O p_1}+\overrightarrow{O p_2}+\overrightarrow{O p_3}=x \overrightarrow{O A}+y \overrightarrow{O B}+z \overrightarrow{O C} \tag{1.1}
\end{equation*}
$$

因此，在 $E^3$ 中取定标架 $\{O ; \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}\}$ 之后，点 $p$ 和有序的 3 个实数构成的组 $(x, y, z)$ 是一一对应的，该数组称为点 $p$ 关于已知标架 $\{O ; \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}\}$ 的坐标．

设 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 是 $E^3$ 的一个标架，并且 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 是彼此垂直的、构成右手系的 3 个单位向量，于是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{i}=\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{k}=1, \quad \boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{j}=\boldsymbol{i} \cdot \boldsymbol{k}=\boldsymbol{j} \cdot \boldsymbol{k}=0 \tag{1.2}
\end{equation*}
$$

并且

$$
\begin{equation*}
i \times j=k, \quad j \times k=i, \quad k \times i=j . \tag{1.3}
\end{equation*}
$$

这样的标架称为 右手单位正交标架，在本书简称为 正交标架．由正交标架给出的坐标系称为笛卡儿直角坐标系．在笛卡儿直角坐标系下，设向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的分量分别是 $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ，则

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}= & \left(x_1 \boldsymbol{i}+y_1 \boldsymbol{j}+z_1 \boldsymbol{k}\right) \cdot\left(x_2 \boldsymbol{i}+y_2 \boldsymbol{j}+z_2 \boldsymbol{k}\right) \\
= & x_1 x_2+y_1 y_2+z_1 z_2, \\
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}= & \left(x_1 \boldsymbol{i}+y_1 \boldsymbol{j}+z_1 \boldsymbol{k}\right) \times\left(x_2 \boldsymbol{i}+y_2 \boldsymbol{j}+z_2 \boldsymbol{k}\right) \\
= & \left(x_1 y_2-x_2 y_1\right)(\boldsymbol{i} \times \boldsymbol{j})+\left(y_1 z_2-y_2 z_1\right)(\boldsymbol{j} \times \boldsymbol{k})  \tag{1.4}\\
& \quad+\left(z_1 x_2-z_2 x_1\right)(\boldsymbol{k} \times \boldsymbol{i}) \\
= & \left(\left|\begin{array}{ll}
y_1 & z_1 \\
y_2 & z_2
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
z_1 & x_1 \\
z_2 & x_2
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
x_1 & y_1 \\
x_2 & y_2
\end{array}\right|\right) .
\end{align*}
$$

设点 $A, B$ 的坐标分别是 $\left(x_1, y_1, z_1\right)$ 和 $\left(x_2, y_2, z_2\right)$ ，则线段 $A B$ 的长度是

$$
\begin{equation*}
|A B|=\sqrt{\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A B}}=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2+\left(z_2-z_1\right)^2} . \tag{1.5}
\end{equation*}
$$

因此，通常我们把三维欧氏空间 $E^3$ 写成 $\mathbb{R}^3$ ，并把 $\mathbb{R}^3$ 中的向量 $(x, y, z)$的长度直接定义为 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ．事实上，这样的 $\mathbb{R}^3$ 是三维欧氏空间 $E^3$ 在取定了一个正交标架 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 之后的具体表现形式。为简单起见，我们经常把三维欧氏空间理解为上面所说的 $\mathbb{R}^3$ ．

现在我们来考察由 $E^3$ 中全体正交标架所构成的集合．设 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}$ ， $k\}$ 是在 $E^3$ 中的一个固定的正交标架，则 $E^3$ 中的任意一个正交标架 $\left\{p ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right\}$ 可以如下来确定：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\overrightarrow{O p}=a_1 \boldsymbol{i}+a_2 \boldsymbol{j}+a_3 \boldsymbol{k},  \tag{1.6}\\
e_1=a_{11} \boldsymbol{i}+a_{12} \boldsymbol{j}+a_{13} \boldsymbol{k}, \\
e_2=a_{21} \boldsymbol{i}+a_{22} \boldsymbol{j}+a_{23} \boldsymbol{k}, \\
e_3=a_{31} \boldsymbol{i}+a_{32} \boldsymbol{j}+a_{33} \boldsymbol{k} .
\end{array}\right.
$$

因为 $e_i$ 是彼此正交的单位向量，所以

$$
\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j=\sum_{k=1}^3 a_{i k} a_{j k}=\delta_{i j}= \begin{cases}1, & i=j,  \tag{1.7}\\ 0, & i \neq j .\end{cases}
$$

由于 $e_1, e_2, e_3$ 构成右手系，所以

$$
e_1 \times e_2=e_3,
$$

因而 $e_1, e_2, e_3$ 的混合积

$$
\begin{align*}
\left(e_1, e_2, e_3\right) & =\left(e_1 \times e_2\right) \cdot e_3=e_3 \cdot e_3 \\
& =\left|\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=1 \tag{1.8}
\end{align*}
$$

命

$$
\begin{align*}
& a=\left(a_1, a_2, a_3\right), \\
& A=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right), \tag{1.9}
\end{align*}
$$

则（1．7）和（1．8）式说明 $A$ 是其行列式为 1 的正交矩阵，即 $A \in \mathrm{SO}(3)$ ．在取定的一个正交标架 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 下，$E^3$ 中的任意一个正交标架 $\left\{p ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right\}$ 与矩阵对 $(a, A)$ 是一一对应的，因此 $E^3$ 中的全体正交标架的集合可以与集合 $E^3 \times \operatorname{SO}(3)$ 等同起来．注意到正交矩阵的条件（1．7）式是矩阵元素 $a_{i j}(1 \leq i, j \leq 3)$ 所满足的 6 个关系式

$$
\begin{array}{r}
\left(a_{11}\right)^2+\left(a_{12}\right)^2+\left(a_{13}\right)^2=1, \\
\left(a_{21}\right)^2+\left(a_{22}\right)^2+\left(a_{23}\right)^2=1, \\
\left(a_{31}\right)^2+\left(a_{32}\right)^2+\left(a_{33}\right)^2=1, \\
a_{11} a_{21}+a_{12} a_{22}+a_{13} a_{23}=0, \\
a_{11} a_{31}+a_{12} a_{32}+a_{13} a_{33}=0, \\
a_{21} a_{31}+a_{22} a_{32}+a_{23} a_{33}=0 .
\end{array}
$$

因此，其行列式为 1 的正交矩阵的集合 $S O(3)$ 有 3 个自由度，因而 $E^3 \times \operatorname{SO}(3)$ 是一个 6 维的空间．

在 $E^3$ 中两个不同的正交标架给出了两个不同的笛卡儿直角坐标系．设 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 和 $\left\{p ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right\}$ 是 $E^3$ 中的两个正交标架（见图 1．1），它们的关系由（1．6）式给出．假定点 $q$ 关于 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 的坐标是 $(x, y, z)$ ，关于 $\left\{p ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 的坐标是 $(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$ ，则一方面有

![图片](/uploads/2026-06/915b94.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
&\overrightarrow{O q}=x i+y j+z k=(x, y, z) \cdot\left(\begin{array}{l}
i \\
j \\
k
\end{array}\right)\\
&\text { 另一方面有 }\\
&\begin{aligned}
\overrightarrow{O q} & =\overrightarrow{O p}+\overrightarrow{p q} \\
& =\left(a_1, a_2, a_3\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
i \\
j \\
k
\end{array}\right)+(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) \cdot\left(\begin{array}{c}
e_1 \\
e_2 \\
e_3
\end{array}\right) \\
& =(a+(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) \cdot A) \cdot\left(\begin{array}{c}
i \\
j \\
k
\end{array}\right) .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

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