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1.1 三维欧氏空间中的标架(2)

因此，点 $q$ 在两个不同的笛卡儿直角坐标系 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 和 $\left\{p ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\right.$ ， $\left.e_3\right\}$ 下分别有坐标 $(x, y, z)$ 和 $(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$ ，它们满足如下的关系式

$$
\begin{equation*}
(x, y, z)=a+(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) \cdot A, \tag{1.10}
\end{equation*}
$$

即

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a_1+a_{11} \tilde{x}+a_{21} \tilde{y}+a_{31} \tilde{z},  \tag{$\prime$}\\
y=a_2+a_{12} \tilde{x}+a_{22} \tilde{y}+a_{32} \tilde{z}, \\
z=a_3+a_{13} \tilde{x}+a_{23} \tilde{y}+a_{33} \tilde{z} .
\end{array}\right.
$$

正交标架的重要性还在于它能够用来表示欧氏空间 $E^3$ 中刚体的运动．所谓刚体运动原是物理学中的一个概念．如果一个物体在空间中的运动不改变它的形状及其大小，只改变它在空间中的位置，那么该物体的这种运动称为刚体运动．要确定一个刚体在 $E^3$ 中的位置，只要确定在该刚体上不共线的三个点的位置就行了，而刚体上其他的点可以通过它到已知的三个点的距离、以及所成的三个向量构成右手系还是左手系来确定。但是，在 $E^3$ 中正交标架 $\left\{p ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 是由点 $p$和两个彼此正交的单位向量 $e_1, e_2$ 决定的，它们恰好相当于空间中不共线的三个点．这样，在刚体上安装一个正交标架，则这个标架在空间 $E^3$ 到它自身的一个变换，这个变换保持该空间中任意两点之间的距离不变。

设在刚体上安装的正交标架是 $\left\{p ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 。假定它在初始位置时该标架与空间中取定的正交标架 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 重合，经过刚体运动 $\sigma$达到了现在的位置，那么空间中的任意一点 $q$ 在刚体运动 $\sigma$ 下变成了像点

$$
\tilde{q}=\sigma(q)
$$

它关于标架 $\left\{p ; \boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\right\}$ 的相对位置与 $q$ 关于 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 的相对位

置是一样的．若设

$$
\overrightarrow{O q}=(x, y, z) \cdot\left(\begin{array}{l}
i \\
j \\
k
\end{array}\right),
$$

则显然地有

$$
\overrightarrow{p \tilde{q}}=(x, y, z) \cdot\left(\begin{array}{l}
e_1 \\
e_2 \\
e_3
\end{array}\right),
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O \tilde{q}} & =\overrightarrow{O p}+\overrightarrow{p \tilde{q}} \\
& =(a+(x, y, z) \cdot A) \cdot\left(\begin{array}{c}
i \\
j \\
k
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

这就是说，像点 $\tilde{q}=\sigma(q)$ 关于 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 的坐标是

$$
\begin{equation*}
(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})=a+(x, y, z) \cdot A, \tag{1.11}
\end{equation*}
$$

因此，如果把正交标架 $\{O ; i, j, k\}$ 变到 $\left\{p ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 的刚体运动同时把点 $q=(x, y, z)$ 变到点 $\tilde{q}=(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$（它们分别是点 $q$ 和 $\tilde{q}$ 关于正交标架 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 的坐标），则 $(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$ 与 $(x, y, z)$ 之间的关系恰好是由 （1．11）式给出的．注意到公式（1．11）和公式（1．10）有很大的相似性，但是它们的意义却是完全不同的．这种在公式上的相似性说明刚体运动在某种意义上可以看作一种坐标变换（参看图1．2）。具体地说，（1．11）式可以解读为把点 $\tilde{q}$ 在标架 $\left\{p ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 下的坐标 $(x, y, z)$ 变换为在
标架 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 下的坐标 $(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$ 的公式．

![图片](/uploads/2026-06/a198b3.jpg)
 
 我们可以把上面的讨论总结成下面的定理：
定理1．1 $E^3$ 中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于 $E^3$ 中的任意两个正交标架，必有 $E^3$ 的一个刚体运动把其中一个正交标架变成另一个正交标架。

如前面所说，刚体运动可以看作空间 $E^3$ 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换．空间 $E^3$ 到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换称为 等距变换．刚体运动是一种等距变换．容易证明，等距变换把共线的三个点变为共线的三个点，并且保持它们的分比不变，进而可以证明等距变换是如（1．11）式给出的线性变换，但是此时只能证明其中的矩阵 $A$ 是正交矩阵，而不要求它的行列式的值是正的。因此，等距变换把单位正交标架变成一个单位正交标架，但是可能把右手系变成左手系。换句话说，刚体运动是保持右手系不变的等距变换，而等距变换或者是一个刚体运动，或者是一个刚体运动与关于某个平面的反射的合成．

在空间 $E^3$ 中取定笛卡儿直角坐标系之后，几何图形就能够用坐标来表达，几何图形所固有的性质自然也可以用坐标来表达，但是它的表达式应该与笛卡儿直角坐标系的取法无关．反过来，如果几何图形的一个用笛卡儿直角坐标表示的量与笛卡儿直角坐标系的取法无关，则这个量应该是几何图形所固有的量；另外，这个量在几何图形的刚体运动下是保持不变的．我们所研究的就是几何图形的这种不变量．

除了正交标架以外，我们还经常使用仿射标架。所谓的仿射标架是指空间中的一个点 $p$ 和在该点的三个不共面的向量 $e_1, e_2, e_3$ 组成的图形 $\left\{p ; e_1, e_2, e_3\right\}$ ，且该图形不要求这三个向量有单位正交的性质．命

$$
\begin{equation*}
g_{i j}=\boldsymbol{e}_i \cdot \boldsymbol{e}_j, \quad 1 \leq i, j \leq 3, \tag{1.12}
\end{equation*}
$$

我们把 $\left(g_{i j}\right)$ 称为仿射标架 $\left\{p ; e_1, e_2, e_3\right\}$ 的度量系数。空间 $E^3$ 的刚体运动把仿射标架变成仿射标架，并且保持它的度量系数不变，保持标架的定向不变．很明显，$E^3$ 中的全体仿射标架的集合可以等同于 $E^3 \times \mathrm{GL}(3)$ ，其中 $\mathrm{GL}(3)$ 表示非退化的 $3 \times 3$ 矩阵的集合。因此，$E^3$中的全体仿射标架构成一个 12 维的空间．

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