最后更新: 2026-06-01 19:19 查看: 8 次纠错评论(0) 课件开VIP

1.2向量函数

§1．2 向量函数
由三维欧氏空间 $E^3$ 中的全体向量组成的空间称为三维欧氏向量空间．在给定了一个正交标架 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 之后，该空间等同于由有序的三个实数的组构成的空间 $\mathbb{R}^3$ ．设有 $\mathbb{R}^3$ 中的三个向量

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right), \\
& \boldsymbol{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right),  \tag{2.1}\\
& \boldsymbol{c}=\left(c_1, c_2, c_3\right),
\end{align*}
$$

则 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 的点乘（以后也称为 内积，或数量积）是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}| \cdot \cos \angle(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b})=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3 ; \tag{2.2}
\end{equation*}
$$

$a$ 和 $b$ 的叉乘（以后也称为 向量积）是

$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left(\left|\begin{array}{ll}
a_2 & a_3  \tag{2.3}\\
b_2 & b_3
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{ll}
a_3 & a_1 \\
b_3 & b_1
\end{array}\right|,\left|\begin{array}{cc}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{array}\right|\right) .
$$

因此 $(a \times b) \perp a,(a \times b) \perp b$ ；向量 $a, b$ 和 $a \times b$ 构成右手系，并且

$$
\begin{equation*}
|a \times b|=|a| \cdot|b| \cdot \sin \angle(a, b) . \tag{2.4}
\end{equation*}
$$

$\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{c}$ 的 混合积 是

$$
(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\left|\begin{array}{lll}
a_1 & a_2 & a_3  \tag{2.5}\\
b_1 & b_2 & b_3 \\
c_1 & c_2 & c_3
\end{array}\right|,
$$

它的几何意义是由向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 和 $\boldsymbol{c}$ 所张成的平行六面体的有向体积．
所谓的向量函数是指从它的定义域到 $\mathbb{R}^3$ 中的映射，也就是三个有序的实函数．设有定义在区间 $[a, b]$ 上的向量函数

$$
\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), \quad a \leq t \leq b .
$$

如果 $x(t), y(t), z(t)$ 都是 $t$ 的连续函数，则称向量函数 $r(t)$ 是连续的；如果 $x(t), y(t), z(t)$ 都是 $t$ 的连续可微函数，则称向量函数 $\boldsymbol{r}(t)$ 是连续可微的．向量函数 $r(t)$ 的导数和积分的定义与数值函数的导数和积分的定义是相同的，即

$$
\begin{align*}
\left.\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=t_0}= & \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol{r}\left(t_0+\Delta t\right)-\boldsymbol{r}\left(t_0\right)}{\Delta t} \\
= & \lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left(\frac{x\left(t_0+\Delta t\right)-x\left(t_0\right)}{\Delta t}, \frac{y\left(t_0+\Delta t\right)-y\left(t_0\right)}{\Delta t}\right. \\
& \left.\frac{z\left(t_0+\Delta t\right)-z\left(t_0\right)}{\Delta t}\right) \\
= & \left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right), \quad t_0 \in(a, b) \tag{2.6}
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\int_a^b r(t) \mathrm{d} t & =\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n r\left(t_i^{\prime}\right) \Delta t_i \\
& =\left(\int_a^b x(t) \mathrm{d} t, \int_a^b y(t) \mathrm{d} t, \int_a^b z(t) \mathrm{d} t\right) \tag{2.7}
\end{align*}
$$

其中 $a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$ 是区间 $[a, b]$ 的任意一个分割， $\Delta t_i=t_i-t_{i-1}, t_i^{\prime} \in\left[t_{i-1}, t_i\right]$ ，并且 $\lambda=\max \left\{\Delta t_i ; i=1, \cdots, n\right\}$ 。这就是说，向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，因此向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性．

定理 2.1 假定 $\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{b}(t), \boldsymbol{c}(t)$ 是三个可微的向量函数，则它们的内积、向量积和混合积的导数有下面的公式：
（1）$(a(t) \cdot b(t))^{\prime}=a^{\prime}(t) \cdot b(t)+a(t) \cdot b^{\prime}(t)$ ；
（2）$(a(t) \times b(t))^{\prime}=a^{\prime}(t) \times b(t)+a(t) \times b^{\prime}(t)$ ；
（3）$(\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{b}(t), \boldsymbol{c}(t))^{\prime}=\left(\boldsymbol{a}^{\prime}(t), \boldsymbol{b}(t), \boldsymbol{c}(t)\right)+\left(\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{b}^{\prime}(t), \boldsymbol{c}(t)\right) +\left(\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{b}(t), \boldsymbol{c}^{\prime}(t)\right)$.
上述定理的证明是直接的，留给读者自己完成．下面的定理给出了具有特殊性质的向量函数所满足的条件，以后会经常用到．

定理 2.2 设 $a(t)$ 是一个处处非零的连续可微的向量函数，则
（1）向量函数 $\boldsymbol{a}(t)$ 的长度是常数当且仅当 $\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t) \equiv 0$ ．
（2）向量函数 $\boldsymbol{a}(t)$ 的方向不变当且仅当 $\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t) \equiv \mathbf{0}$ ．
（3）如果向量函数 $\boldsymbol{a}(t)$ 与某一个固定的方向垂直，那么

$$
\left(\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{a}^{\prime}(t), \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t)\right) \equiv 0 .
$$

反过来，如果上式成立，并且处处有 $\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t) \neq \mathbf{0}$ ，那么向量函数 $\boldsymbol{a}(t)$ 必定与某一个固定的方向垂直．

证明（1）因为

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}|\boldsymbol{a}(t)|^2=\frac{\mathrm{d}(\boldsymbol{a}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t))}{\mathrm{d} t}=2 \boldsymbol{a}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t),
$$

所以 $|\boldsymbol{a}(t)|^2$ 是常数，当且仅当 $\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t) \equiv 0$ ．
（2）如果向量函数 $\boldsymbol{a}(t)$ 的方向不变，则有一个固定的单位向量 $\boldsymbol{b}$ ，使得向量函数 $\boldsymbol{a}(t)$ 能够写成

$$
\boldsymbol{a}(t)=f(t) \cdot \boldsymbol{b},
$$

其中 $f(t)=\boldsymbol{a}(t) \cdot \boldsymbol{b}$ 是处处非零的连续可微函数，因此

$$
\boldsymbol{a}^{\prime}(t)=f^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{b}, \quad \boldsymbol{a}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t) \equiv \mathbf{0} .
$$

反过来，设 $\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t) \equiv \mathbf{0}$ ，命 $\boldsymbol{b}(t)=\boldsymbol{a}(t) /|\boldsymbol{a}(t)|,|\boldsymbol{b}(t)|=1$ ．我们要证明 $\boldsymbol{b}(t)$ 是常向量函数．因为 $\boldsymbol{b}(t)$ 的长度是 1 ，故由（1）可知， $\boldsymbol{b}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{b}(t) \equiv 0$ ，即 $\boldsymbol{b}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t) \equiv 0$ ．由 $\boldsymbol{b}(t)$ 的定义得知

$$
\boldsymbol{a}(t)=f(t) \boldsymbol{b}(t),
$$

其中 $f(t)=|\boldsymbol{a}(t)|$ 处处不为零，故

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{a}^{\prime}(t)=f^{\prime}(t) \boldsymbol{b}(t)+f(t) \boldsymbol{b}^{\prime}(t), \\
\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t)=f(t) \boldsymbol{b}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t)=0,
\end{gathered}
$$

因此 $\boldsymbol{b}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t)=0$ ，即 $\boldsymbol{b}^{\prime}(t)$ 与 $\boldsymbol{a}(t)$ 共线，假设

$$
\boldsymbol{b}^{\prime}(t)=\lambda(t) \boldsymbol{a}(t) .
$$

由于 $\boldsymbol{b}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t) \equiv 0$ ，故

$$
\boldsymbol{b}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t)=\lambda(t) \boldsymbol{a}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t)=\lambda(t) f^2(t) \equiv 0
$$

于是 $\lambda(t) \equiv 0$ ，即

$$
\boldsymbol{b}^{\prime}(t) \equiv \mathbf{0},
$$

故 $\boldsymbol{b}(t)$ 是常向量，所以向量函数 $\boldsymbol{a}(t)$ 的方向不变．
（3）设有单位常向量 $\boldsymbol{b}$ ，使得 $\boldsymbol{a}(t) \cdot \boldsymbol{b} \equiv 0$ ．对此式求导数得到

$$
\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{b} \equiv 0, \quad \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t) \cdot \boldsymbol{b} \equiv 0
$$

因此向量 $\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{a}^{\prime}(t), \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t)$ 都落在 $\boldsymbol{b}$ 的正交补空间内，即对于任意的 $t$ ，向量 $\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{a}^{\prime}(t), \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t)$ 是共面的，于是

$$
\left(\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{a}^{\prime}(t), \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t)\right) \equiv 0 .
$$

反过来，假定上面的式子成立，则

$$
\left(\boldsymbol{a}(t) \times \boldsymbol{a}^{\prime}(t)\right) \cdot \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t) \equiv 0 .
$$

已经假设 $\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t) \neq \mathbf{0}$ ，于是可以命

$$
\boldsymbol{b}(t)=\boldsymbol{a}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t),
$$

则

$$
\boldsymbol{b}^{\prime}(t)=\boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t),
$$

因而
 
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{b}(t) \times \boldsymbol{b}^{\prime}(t) & =\boldsymbol{b}(t) \times\left(\boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t) \times \boldsymbol{a}(t)\right) \\
& =(\boldsymbol{b}(t) \cdot \boldsymbol{a}(t)) \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t)-\left(\boldsymbol{b}(t) \cdot \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t)\right) \boldsymbol{a}(t) \\
& =\left(\boldsymbol{a}(t), \boldsymbol{a}^{\prime}(t), \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(t)\right) \boldsymbol{a}(t) \equiv \mathbf{0}
\end{aligned}
$$

根据（2），向量函数 $\boldsymbol{b}(t)$ 有确定的方向．命 $\boldsymbol{b}_0=\boldsymbol{b}(t) /|\boldsymbol{b}(t)|$ ，则 $\boldsymbol{b}_0$ 是单位常向量，并且

$$
\boldsymbol{a}(t) \cdot \boldsymbol{b}_0=\frac{\boldsymbol{a}(t) \cdot \boldsymbol{b}(t)}{|\boldsymbol{b}(t)|} \equiv 0 .
$$

定理得证．

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