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2.1正则参数曲线

在本章，我们要给出在 $E^3$ 中刻画曲线形状的几何不变量，即曲线的弧长、曲率和挠率，这些量可以用坐标来表示，但是它们与空间 $E^3$ 中的笛卡儿直角坐标系的选择是无关的，并且当曲线在空间 $E^3$ 中作刚体运动时这些量也是保持不变的。最后，我们要证明这三个量构成了空间曲线的完全不变量系统，即给出了曲率和挠率作为弧长的函数，则在空间 $E^3$ 中除了位置以外唯一地确定了一条曲线以给定的函数为它的曲率和挠率，这就是所谓的曲线论基本定理．在方法上至为重要的是，在空间曲线的每一点依附了一个正交标架，称为 Frenet 标架．当点在曲线上运动时，Frenet 标架跟着一起运动，而且它的运动状态正好刻画了曲线的形状特征．

## §2．1 正则参数曲线
在本节我们对所要研究的曲线作一些假定．在直观上，$E^3$ 中的一条曲线是指 $E^3$ 中的一个点随时间的变化而运动时所描出的轨迹．换言之，$E^3$ 中的一条曲线 $C$ 是从区间 $[a, b]$ 到 $E^3$ 中的一个连续映射，记为

$$
\begin{equation*}
p:[a, b] \rightarrow E^3, \tag{1.1}
\end{equation*}
$$

称为参数曲线．在 $E^3$ 中取定一个正交标架 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ ，则曲线 $C$ 上的点 $p(t)(a \leq t \leq b)$ 和向量 $\overrightarrow{O p(t)}$ 是等同的。命 $\boldsymbol{r}(t)=\overrightarrow{O p(t)}$ ，则 $\boldsymbol{r}(t)$可以用标架向量 $\boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ 表示为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(t)=x(t) \boldsymbol{i}+y(t) \boldsymbol{j}+z(t) \boldsymbol{k} . \tag{1.2}
\end{equation*}
$$

这样，映射（1．1）等价于三个实函数 $x(t), y(t), z(t)$ ．因此，我们通常在固定的笛卡儿直角坐标系 $\{O ; \boldsymbol{i}, \boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}\}$ 下把曲线 $C$ 直接记成

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), \quad t \in[a, b], \tag{1.3}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/44a12b.jpg)
 
 其中 $t$ 是曲线的参数，（1．3）式称为曲线 $C$ 的参数方程．
由导数的定义可知，

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) . \tag{1.4}
\end{equation*}
$$

如果坐标函数 $x(t), y(t), z(t)$ 是连续可微的，则称曲线 $r(t)$ 是连续可微的．这个概念与笛卡儿直角坐标系的取法无关．

导数 $\boldsymbol{r}^{\prime}(t)$ 有明显的几何意义． $\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)$ 表示从点 $\boldsymbol{r}(t)$ 到点 $\boldsymbol{r}(t+\Delta t)$ 的有向线段，因此

$$
\frac{\boldsymbol{r}(t+\Delta t)-\boldsymbol{r}(t)}{\Delta t}
$$

代表经过点 $\boldsymbol{r}(t)$ 和点 $\boldsymbol{r}(t+\Delta t)$ 的割线 $l$ 的方向向量．当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，割线 $l$ 的极限位置就是曲线在点 $\boldsymbol{r}(t)$ 的切线．如果 $\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \neq \mathbf{0}$ ，则 $\boldsymbol{r}^{\prime}(t)$是该曲线在点 $r(t)$ 的切线的方向向量，称为该参数曲线的切向量（见图 2．1）．此时，曲线在点 $r(t)$ 的切线是完全确定的，这样的点称为曲线的正则点．曲线在正则点的切线方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{X}(u)=\boldsymbol{r}(t)+u \boldsymbol{r}^{\prime}(t), \tag{1.5}
\end{equation*}
$$

其中 $t$ 是固定的，$u$ 是切线上点的参数， $\boldsymbol{X}(u)$ 是从原点 $O$ 指向切线上参数为 $u$ 的点的有向线段。

这样，我们所研究的参数曲线 $r(t)$ 要满足下面两个条件：
（1） $\boldsymbol{r}(t)$ 至少是自变量 $t$ 的三次以上连续可微的向量函数；
（2）处处是正则点，即对于任意的 $t$ 有 $r^{\prime}(t) \neq 0$ ．
这样的参数曲线称为 正则参数曲线．我们还把参数增大的方向称为该参数曲线的 正向，因此 $r^{\prime}(t)$ 正好指向曲线的正向．

当然，曲线的参数方程的表达式与空间 $E^3$ 中笛卡儿直角坐标系的选取有关。另外，在固定的笛卡儿直角坐标系下，曲线的参数方程的参数还容许做一定的变换。为了保证正则参数曲线所满足的两个条件在参数变换下保持不变，则要求参数的变换 $t=t(u)$ 满足下面两个条件：

（1）$t(u)$ 是 $u$ 的三次以上连续可微函数；
（2）$t^{\prime}(u)$ 处处不是零．
实际上，在参数变换 $t=t(u)$ 下，曲线的参数方程成为 $\boldsymbol{r}(t(u))$ ，为简单起见仍然把它记为 $r(u)$ 。当 $t(u)$ 是 $u$ 的三次以上的连续可微函数时， $\boldsymbol{r}(t(u))$ 自然是 $u$ 的三次以上的连续可微函数．另外，根据求导的链式法则，

$$
\boldsymbol{r}^{\prime}(u)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} u} \boldsymbol{r}(t(u))=\boldsymbol{r}^{\prime}(t(u)) \cdot t^{\prime}(u) .
$$

在 $r^{\prime}(t) \neq 0$ 的情况下，$r^{\prime}(u) \neq 0$ 的充分必要条件是 $t^{\prime}(u) \neq 0$ ．如上的参数变换在正则参数曲线之间建立了一种等价关系，等价的正则参数曲线被看作是同一条曲线。由全体等价的正则参数曲线构成的集合称为一条正则曲线．

如果对于容许的参数变换还要求 $t^{\prime}(u)>0$ ，则这种容许的参数变换保持曲线的定向不变．如果一条正则参数曲线只容许做保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向的正则曲线。
 ![图片](/uploads/2026-06/dc1853.jpg)
 
 例1 圆螺旋线 $r(t)=(a \cos t, a \sin t, b t)$ ，其中 $a, b$ 是常数，$a>0$ ．
一个动点一边绕 $z$ 轴作半径为 $a$ 的匀速圆周运动，一边沿 $z$ 轴方向作匀速直线运动，该点所描出的轨迹（见图 2．2）即

$$
\boldsymbol{r}(t)=(a \cos t, a \sin t, 0)+(0,0, b t)
$$

由于

$$
\boldsymbol{r}^{\prime}(t)=(-a \sin t, a \cos t, b), \quad\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right|^2=a^2+b^2>0,
$$

所以这是一条正则参数曲线．
例 2 半三次曲线 $\boldsymbol{r}(t)=\left(t^3, t^2\right)$（见图 2．3）．
这是平面上的一条连续可微的参数曲线，但是 $r^{\prime}(t)=\left(3 t^2, 2 t\right)$ ，因此 $\boldsymbol{r}^{\prime}(0)=(0,0)$ ，故它不是正则的参数曲线．从图形上可以看到，该曲线在 $t=0$ 处有一个尖点．这就是说，有尖点的曲线也可能用连续可微的参数方程来表示，参数方程的连续可微性与曲线在直观上的光滑性是两个不同的概念．曲线在直观上的光滑性应该描述为它的切方向（即它的单位切向量）是连续变动的．对于本例的曲线，当 $t$ 从零的负侧趋于零时，曲线的正向切线是 $y$ 轴，但是与 $y$ 轴正向相反；而当 $t$ 从零的正侧趋于零时，曲线的正向切线仍然是 $y$ 轴，并且其指向相同．因此，该曲线虽然在非正则点有确定的切线，但是切线的正方向在 $t$ 经过 0 时有 $180^{\circ}$ 的转动。

![图片](/uploads/2026-06/4077b0.jpg)

在非正则点其切线不确定的连续可微参数曲线的例子也有，例如

$$
r(t)= \begin{cases}\left(-t^2, t^2\right), & t \leq 0, \\ \left(t^2, t^2\right), & t>0 .\end{cases}
$$

$t=0$ 是这条曲线的非正则点，在该处切线不确定，而正向切线在经过该非正则点时要转动 $90^{\circ}$ ．但是，对于正则参数曲线而言，$r^{\prime}(t)$ 是连续的，并且处处不为零，因此曲线的正向切线是随参数 $t$ 连续变动的，这样的曲线在直观上是光滑的．

用参数方程表示曲线是从 Euler 开始的。曲线还能够用坐标之间的函数关系来表示，例如

$$
\begin{equation*}
y=y(x), \quad z=z(x) . \tag{1.6}
\end{equation*}
$$

不过，这只是参数方程的一种特殊情形，即可以把 $x$ 作为曲线的参数，记成

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(x)=(x, y(x), z(x)) . \tag{1.7}
\end{equation*}
$$
 
如上表示的参数曲线必定是正则的，因为在此时有

$$
\boldsymbol{r}^{\prime}(x)=\left(1, y^{\prime}(x), z^{\prime}(x)\right) \neq \mathbf{0} .
$$

正则参数曲线在每一点的附近都能够表示成如（1．7）式的形式．例如在 $r^{\prime}(t)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) \neq \mathbf{0}$ 时，不妨假定在点 $t_0$ 有 $x^{\prime}\left(t_0\right) \neq 0$ ，则存在 $\varepsilon>0$ 使得函数 $x(t)$ 在区间 $\left(t_0-\varepsilon, t_0+\varepsilon\right)$ 上有反函数，记为 $t=t(x)$ 。于是参数方程 $r(t)=(x(t), y(t), z(t))$ 经过参数变换 $t=t(x)$成为

$$
\boldsymbol{r}(t(x))=(x, y(t(x)), z(t(x))),
$$

这正是如（1．7）式的表达式．
曲线还能够用坐标的隐式方程来表示．例如，一条曲线是两个联立方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
f(x, y, z)=0  \tag{1.8}\\
g(x, y, z)=0
\end{array}\right.
$$

的解 $(x, y, z)$ 的集合，其中 $f(x, y, z)$ 和 $g(x, y, z)$ 是两个已知的连续可微函数．在直观上，这两个方程分别代表两张曲面，而所考虑的曲线是这两张曲面的交线．如果这条曲线的参数方程是 $r(t)=(x(t), y(t), z(t))$ ，将其代入方程组（1．8）得到恒等式

$$
\left\{\begin{array}{l}
f(x(t), y(t), z(t)) \equiv 0 \\
g(x(t), y(t), z(t)) \equiv 0
\end{array}\right.
$$

将上面的方程对 $t$ 求导，得到

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial f}{\partial x} \cdot x^{\prime}(t)+\frac{\partial f}{\partial y} \cdot y^{\prime}(t)+\frac{\partial f}{\partial z} \cdot z^{\prime}(t)=0  \tag{1.9}\\
\frac{\partial g}{\partial x} \cdot x^{\prime}(t)+\frac{\partial g}{\partial y} \cdot y^{\prime}(t)+\frac{\partial g}{\partial z} \cdot z^{\prime}(t)=0
\end{array}\right.
$$

这意味着切向量 $r^{\prime}(t)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)$ 平行于向量

$$
\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) \times\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z}\right) .
$$
若上面的向量积不为零，即矩阵

$$
\left(\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z}  \tag{1.10}\\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y} & \frac{\partial g}{\partial z}
\end{array}\right)
$$

的秩为 2 ，则由隐函数定理，从方程组（1．8）可以解出其中两个坐标作为第三个坐标的函数。例如，当

$$
\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z} \\
\frac{\partial g}{\partial y} & \frac{\partial g}{\partial z}
\end{array}\right| \neq 0
$$

时，可解出

$$
y=y(x), \quad z=z(x),
$$

使得

$$
\left\{\begin{array}{l}
f(x, y(x), \dot{z}(x)) \equiv 0 \\
g(x, y(x), z(x)) \equiv 0
\end{array}\right.
$$
 于是该曲线的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(x)=(x, y(x), z(x)) . \tag{1.11}
\end{equation*}
$$

由此可见，如果 $f(x, y, z)$ 和 $g(x, y, z)$ 是连续可微函数，$p=\left(x_0, y_0, z_0\right)$是方程组（1．8）的一个解，并且矩阵（1．10）在点 $p$ 的秩是 2 ，则方程组 （1．8）在点 $p$ 的一个邻域内的解是经过点 $p$ 的一条正则曲线．

## 核心解释：正则曲线

**正则曲线**是微分几何中的一个核心概念，简单来说，就是**一条没有“尖点”和“停顿”的、光滑的曲线**。

更严格的定义包含两个条件：

1.  **参数表示光滑**：曲线的参数方程 $\boldsymbol{r}(t)$ 的导数 $\boldsymbol{r}'(t)$ 存在且连续（通常要求至少是 $C^1$ 级，即一阶导数连续）。
2.  **速度非零**：对于所有参数 $t$，都有 $\boldsymbol{r}'(t) \neq \boldsymbol{0}$。

**为什么要强调速度非零？**

-   如果某点 $\boldsymbol{r}'(t) = \boldsymbol{0}$，曲线在该点会**停顿**（瞬时速度为0），可能出现**尖点**（如摆线的尖点）或者**突然反向**。
-   正则曲线排除了这种情况，保证曲线上每一点都有**明确的切线方向**，可以定义弧长、曲率、挠率等几何量。

**直观类比：**

-   **正则曲线**：一辆行驶中的汽车，速度始终不为零，轨迹光滑没有急折返。
-   **非正则曲线**：汽车在某个时刻停下来（速度为零），甚至可能倒车，轨迹上出现尖角或奇异点。

**例子：**

-   **正则**：直线、圆、椭圆、螺旋线（只要参数化合理，例如 $(\cos t, \sin t)$ 导数永远不为零向量）。
-   **非正则**：参数曲线 $(t^3, t^2)$ 在 $t=0$ 处导数为 $(0,0)$，形成尖点（半立方抛物线）。

**一句话总结：正则曲线就是**处处切向量非零的光滑曲线**，它是经典微分几何研究的基本对象。

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