最后更新: 2026-06-02 07:07 查看: 7 次纠错评论(0) 课件开VIP

2.2 曲线的弧长

§2．2 曲线的弧长

设 $E^3$ 中的一条正则曲线 $C$ 的参数方程是 $r=r(t), a \leq t \leq b$ ．命

$$
\begin{equation*}
s=\int_a^b\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \tag{2.1}
\end{equation*}
$$

则 $s$ 是该曲线的一个不变量，即它与空间 $E^3$ 中的笛卡儿直角坐标系的选取无关，也与该曲线的保持定向的容许参数变换无关．前者是因为在笛卡儿直角坐标变换下（参看第一章的（1．10）式），切向量的长度 $\left|r^{\prime}(t)\right|$ 是不变的，故 $s$ 不变．关于后者，不妨设参数变换是

$$
\begin{equation*}
t=t(u), \quad t^{\prime}(u)>0, \quad \alpha \leq u \leq \beta, \tag{2.2}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/a2f963.jpg)
 
 并且

$$
t(\alpha)=a, \quad t(\beta)=b,
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\left|\frac{\mathrm{d} r(t(u))}{\mathrm{d} u}\right|=\left|\frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{~d} t}(t(u))\right| \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} u} . \tag{2.3}
\end{equation*}
$$

根据积分的变量替换公式有

$$
\begin{aligned}
\int_a^b\left|\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{r}(t)}{\mathrm{d} t}\right| \mathrm{d} t & =\int_\alpha^\beta\left|\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{~d} t}(t(u))\right| \cdot \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} u} \mathrm{~d} u \\
& =\int_\alpha^\beta\left|\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(t(u))}{\mathrm{d} u}\right| \mathrm{d} u,
\end{aligned}
$$

所以 $s$ 与参数变换（2．2）是无关的．
不变量 $s$ 的几何意义是该曲线段的长度．事实上，可以证明对于区间 $[a, b]$ 的任意一个分割 $a=t_0<t_1<\cdots<t_n=b$（见图2．4），下面的极限成立：

$$
\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n\left|\boldsymbol{r}\left(t_i\right)-\boldsymbol{r}\left(t_{i-1}\right)\right|=\int_a^b\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t,
$$
 其中

$$
\lambda=\max \left\{\left|\Delta t_i\right| ; i=1, \cdots, n\right\} .
$$

显然，上式左端的和式是顶点依次为 $\boldsymbol{r}\left(t_0\right), \boldsymbol{r}\left(t_1\right), \cdots, \boldsymbol{r}\left(t_n\right)$ 的折线的长度，因此 $\int_a^b\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ 是将曲线不断地细分所得的折线的长度的极限，也就是该曲线的长度，称为该曲线的弧长．

现在对于任意的 $a \leq t \leq b$ 命

$$
\begin{equation*}
s(t)=\int_a^t\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \tag{2.4}
\end{equation*}
$$

则 $s(t)$ 是曲线 $C$ 从 $a$ 到 $t$ 的弧长．由于 $s(t)$ 是 $t$ 的三次以上的连续可微函数，并且

$$
\frac{\mathrm{d} s(t)}{\mathrm{d} t}=\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right|>0
$$

所以（2．4）式给出了曲线 $C$ 的保持定向的容许参数变换．换句话说，我们总是可以把正则曲线的弧长作为它的参数，这种参数称为曲线的 弧长参数．弧长参数由曲线本身确定到至多差一个常数（这反映了量度曲线长度的起点不同），与表示曲线的笛卡儿直角坐标系的选取无关，与曲线原来的参数的取法也无关．由（2．4）式得到

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} s=\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t, \tag{2.5}
\end{equation*}
$$

从（2．3）式可知 $\mathrm{d} s$ 也是曲线的不变量，称为曲线的 弧长元素．

注意到积分（2．4）往往不能够用显式来表示，也就是说要显式地写出弧长函数的表达式往往是不可能的，因此判定已知参数 $t$ 何时是弧长参数是十分重要的．

定理 2.1 设 $r=r(t)(a \leq t \leq b)$ 是 $E^3$ 中的一条正则曲线，则 $t$是它的弧长参数的充分必要条件是 $\left|r^{\prime}(t)\right| \equiv 1$ ．

证明 因为 $\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right|$ ，当 $t$ 是它的弧长参数 $s$ 时， $\mathrm{d} s=\mathrm{d} t$ ，所以由（2．5）式得知 $\left|r^{\prime}(t)\right| \equiv 1$ ．反之亦然．证毕．

上述定理的几何意义是：曲线以弧长为参数的充分必要条件是它的切向量场是单位切向量场．

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