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2.4曲线的挠率和 Frenet 公式

## 视频讲解

§2．4 曲线的挠率和 Frenet 公式
在上一节已经说过，曲线在一点的切线和主法线所张的平面是曲线的密切平面，它的法向量是曲线的次法向量 $\gamma$ ．如果曲线本身落在一个平面内，则该平面就是曲线的密切平面，于是它的法向量 $\gamma$ 是常向量．如果曲线不是平面曲线，则 $\gamma$ 必定不是常向量（参看本节的定理4．1）．根据定理3．1，单位切向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 关于弧长参数 $s$ 的导数的长度 $\left|\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s)\right|$ 反映了曲线的切线方向转动的快慢；同理，次法向量 $\gamma$ 关于弧长参数 $s$ 的导数的长度 $\left|\gamma^{\prime}(s)\right|$ 反映了曲线的密切平面方向转动的快慢，因而它刻画了曲线偏离平面曲线的程度，反映了曲线扭曲的程度，即曲线的＂挠率＂．

因为 $\gamma(s)$ 是单位向量场，故 $\gamma^{\prime}(s) \perp \gamma(s)$ ．此外，
$$
\gamma=\boldsymbol{\alpha} \times \boldsymbol{\beta}, \quad \boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s) / / \boldsymbol{\beta}(s),
$$

所以

$$
\gamma^{\prime}(s)=\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s) \times \boldsymbol{\beta}(s)+\boldsymbol{\alpha}(s) \times \boldsymbol{\beta}^{\prime}(s)=\boldsymbol{\alpha}(s) \times \boldsymbol{\beta}^{\prime}(s),
$$

这说明 $\gamma^{\prime}(s) \perp \boldsymbol{\alpha}(s)$ ．于是 $\gamma^{\prime}(s)$ 必定是与 $\boldsymbol{\beta}(s)$ 共线的，不妨设

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s)=-\boldsymbol{\tau} \boldsymbol{\beta}(s), \tag{4.1}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\tau(s)=-\gamma^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{\beta}(s), \tag{4.2}
\end{equation*}
$$

并且

$$
\begin{equation*}
|\tau(s)|=\left|\gamma^{\prime}(s)\right| . \tag{4.3}
\end{equation*}
$$

定义4．1 设 $\beta(s)$ 和 $\gamma(s)$ 分别是曲线 $C$ 的主法向量和次法向量，其中 $s$ 是曲线的弧长参数，则 $\tau(s)=-\gamma^{\prime}(s) \cdot \beta(s)$ 称为曲线 $C$ 的挠率。

定理 4.1 设曲线 $C$ 不是直线，则它是平面曲线当且仅当它的挠率为零．

证明 必要性已经在本节开头的讨论中阐明了，在这里只要证明充分性就行了。

设曲线 $C$ 的参数方程是 $r=r(s), s$ 是弧长参数，并且 $\kappa(s) \neq 0, \tau(s) \equiv 0$ ．此时，曲线有确定的 Frenet 标架 $\{r(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \gamma(s)\}$ ，并且

$$
\gamma^{\prime}(s)=-\tau(s) \cdot \beta(s) \equiv 0
$$

因此 $\gamma(s)=\gamma_0=$ 常向量．但是

$$
0=r^{\prime}(s) \cdot \gamma(s)=r^{\prime}(s) \cdot \gamma_0=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(r(s) \cdot \gamma_0\right)
$$

所以

$$
\begin{gather*}
r(s) \cdot \gamma_0=\text { 常数 }=r\left(s_0\right) \cdot \gamma_0, \\
\left(r(s)-r\left(s_0\right)\right) \cdot \gamma_0=0 . \tag{4.4}
\end{gather*}
$$

这说明曲线 $r=r(s)$ 落在经过点 $r\left(s_0\right)$ 、以常向量 $\gamma_0$ 为法向量的平面内．证毕．

根据曲率、挠率和 Frenet 标架的定义，我们已经有下面的公式：

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s) & =\boldsymbol{\alpha}(s) \\
\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s) & =\kappa(s) \boldsymbol{\beta}(s)  \tag{4.5}\\
\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s) & =-\tau(s) \boldsymbol{\beta}(s)
\end{align*}
$$

Frenet 标架 $\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \boldsymbol{\gamma}(s)\}$ 是随着点在曲线 $\boldsymbol{r}(s)$ 上的运动而运动的，而 $r^{\prime}(s), \alpha^{\prime}(s), \gamma^{\prime}(s)$ 分别给出 Frenet 标架的原点 $r(s)$ 和标架向量 $\boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\gamma}(s)$ 的运动公式，要获得整个 Frenet 标架的运动公式，只要求出 $\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s)$ 就行了。由于 $\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \boldsymbol{\gamma}(s)\}$ 是空间 $E^3$ 的一个标架，所以 $\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s)$ 总可以表示成 $\boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \gamma(s)$ 的线性组合，不妨设

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s)=a \boldsymbol{\alpha}(s)+b \boldsymbol{\beta}(s)+c \boldsymbol{\gamma}(s) . \tag{4.6}
\end{equation*}
$$

将上式分别与 $\boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \boldsymbol{\gamma}(s)$ 作点乘，并且利用 $\boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \boldsymbol{\gamma}(s)$ 的单位正交性，我们有

$$
\begin{aligned}
& a=\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}(s)=-\boldsymbol{\beta}(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s)=-\kappa(s) \\
& b=\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{\beta}(s)=0 \\
& c=\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{\gamma}(s)=-\boldsymbol{\beta}(s) \cdot \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s)=\tau(s)
\end{aligned}
$$

所以

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s)=-\kappa(s) \boldsymbol{\alpha}(s)+\tau(s) \boldsymbol{\gamma}(s) . \tag{4.7}
\end{equation*}
$$

把（4．5）和（4．7）式合并起来，便得到 Frenet 标架 $\{\boldsymbol{r}(\boldsymbol{s}) ; \boldsymbol{\alpha}(\boldsymbol{s}), \boldsymbol{\beta}(\boldsymbol{s}), \boldsymbol{\gamma}(\boldsymbol{s})\}$沿曲线 $C$ 运动的公式

$$
\begin{array}{llll}
\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s) & =\quad \boldsymbol{\alpha}(s), & & \\
\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s) & = & \kappa(s) \boldsymbol{\beta}(s), &  \tag{4.8}\\
\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s) & =-\kappa(s) \boldsymbol{\alpha}(s) & & +\tau(s) \gamma(s), \\
\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s) & = & -\tau(s) \boldsymbol{\beta}(s) . &
\end{array}
$$

上述公式称为 Frenet 公式，是曲线论中最重要、最基本的公式，由法国数学家 Serret 和 Frenet 分别在1851年和1852年发表（他们给出的是切线、主法线、次法线的方向余弦的导数公式）．Frenet 公式中的后三个方程可以写成矩阵的形式

$$
\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s)  \tag{4.9}\\
\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s) \\
\boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & \kappa(s) & 0 \\
-\kappa(s) & 0 & \tau(s) \\
0 & -\tau(s) & 0
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{\alpha}(s) \\
\boldsymbol{\beta}(s) \\
\boldsymbol{\gamma}(s)
\end{array}\right) .
$$

在上面的公式中系数矩阵是反对称矩阵，这不是 Frenet 标架的导数所特有的．一般地，沿曲线定义的任意一个单位正交标架场的导数公式的系数矩阵都是反对称的．

熟练地运用 Frenet 公式对于研究曲线的性质是十分要紧的。下面以球面上曲线的特征性质为例来说明这一点．

定理 4.2 设曲线 $r=r(s)$ 的曲率 $\kappa(s)$ 和挠率 $\tau(s)$ 都不为零， $s$ 是弧长参数．如果该曲线落在一个球面上，则它的曲率和挠率必满足关系式

$$
\begin{equation*}
\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^2+\left(\frac{1}{\tau(s)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)\right)^2=\text { 常数. } \tag{4.10}
\end{equation*}
$$

证明 假定曲线 $r=r(s)$ 落在一个球面上，该球面的球心是 $r_0$ ，半径是 $a$ ，则有关系式

$$
\begin{equation*}
\left(r(s)-r_0\right)^2=a^2 \tag{4.11}
\end{equation*}
$$

将上式两边对于 $s$ 求导，得到

$$
\alpha(s) \cdot\left(r(s)-r_0\right)=0
$$

故 $\left(r(s)-r_0\right)$ 是曲线的法向量．不妨设

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(s)-\boldsymbol{r}_0=\lambda(s) \boldsymbol{\beta}(s)+\mu(s) \boldsymbol{\gamma}(s) \tag{4.12}
\end{equation*}
$$

将上式对于 $s$ 求导并且利用 Frenet 公式得到

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\alpha}(s)= & -\lambda(s) \kappa(s) \boldsymbol{\alpha}(s)+\left(\lambda^{\prime}(s)-\mu(s) \tau(s)\right) \boldsymbol{\beta}(s) \\
& +\left(\lambda(s) \tau(s)+\mu^{\prime}(s)\right) \boldsymbol{\gamma}(s)
\end{aligned}
$$

因此比较等式两边的系数得到

$$
\begin{equation*}
\lambda(s) \kappa(s)=-1, \quad \lambda^{\prime}(s)=\mu(s) \tau(s), \quad \mu^{\prime}(s)=-\lambda(s) \tau(s), \tag{4.13}
\end{equation*}
$$

于是

$$
\begin{equation*}
\lambda(s)=-\frac{1}{\kappa(s)}, \quad \mu(s)=\frac{\lambda^{\prime}(s)}{\tau(s)}=-\frac{1}{\tau(s)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right) . \tag{4.14}
\end{equation*}
$$

将（4．14）式代入（4．12）式得到

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(s)-\boldsymbol{r}_0=-\frac{1}{\kappa(s)} \boldsymbol{\beta}(s)-\frac{1}{\tau(s)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right) \gamma(s), \tag{4.15}
\end{equation*}
$$

因此根据关系式（4．11）得到

$$
\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^2+\left(\frac{1}{\tau(s)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)\right)^2=a^2 .
$$

证毕．
注记 将（4．14）式代入（4．13）的第二式便得到

$$
\begin{equation*}
\frac{\tau(s)}{\kappa(s)}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{1}{\tau(s)} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)\right)=0 . \tag{4.16}
\end{equation*}
$$

如果 $\kappa(s)$ 不是常数，则（4．16）式也能够通过（4．10）式求导直接得到．
最后我们要给出曲线的挠率的计算公式．设曲线的参数方程是 $r=r(t)$ ，则由上一节的公式（3．11）$\sim(3.13)$ 得到

$$
\begin{align*}
\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t} & =\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \\
\alpha(t) & =\frac{\boldsymbol{r}^{\prime}(t)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right|} \\
\gamma(t) & =\frac{\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|}  \tag{4.17}\\
\beta(t) & =\frac{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right|}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)-\frac{\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \cdot\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|} \boldsymbol{r}^{\prime}(t)
\end{align*}
$$

将 $\gamma(t)$ 对于 $t$ 求导，并且利用 Frenet 公式得到

$$
-\tau(t) \boldsymbol{\beta}(t) \cdot \frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{~d} t}=\frac{\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}(t)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|}\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right),
$$

再将上式两边用（4．17）式中的 $\boldsymbol{\beta}(t)$ 作点乘便得到

$$
\begin{equation*}
\tau(t)=\frac{\left(\boldsymbol{r}^{\prime}(t), \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t), \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}(t)\right)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t) \times \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t)\right|^2} . \tag{4.18}
\end{equation*}
$$

如果 $t$ 是弧长参数 $s$ ，则（4．18）式成为

$$
\begin{equation*}
\tau(s)=\frac{\left(r^{\prime}(s), r^{\prime \prime}(s), r^{\prime \prime \prime}(s)\right)}{\left|r^{\prime \prime}(s)\right|^2} . \tag{4.19}
\end{equation*}
$$

定理 4.3 曲线 $r=r(t)$ 是一条平面曲线的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
\left(r^{\prime}(t), r^{\prime \prime}(t), r^{\prime \prime \prime}(t)\right) \equiv 0 . \tag{4.20}
\end{equation*}
$$

这是定理 4.1 和（4．18）式的直接推论，并且包括曲线是直线段的情形在内．证明留给读者完成。

## 理解挠率

**曲率**描述它偏离直线的程度（弯曲程度），而**挠率**描述它偏离平面曲线的扭曲程度。

- **含义**：挠率衡量曲线如何“扭出”它当前所在的密切平面。
- **符号**：通常用 τ 表示。
- **几何意义**：
  - τ = 0：曲线是平面曲线（完全躺在一个平面上）。
  - τ > 0 或 < 0：曲线是右手或左手螺旋状扭转。
- **例子**：圆柱螺旋线（如弹簧形状）具有非零的恒定挠率。

挠率在物理学与微分几何中的其他含义

- **挠率张量**：在微分几何的**黎曼几何**或**嘉当联络**中，挠率张量衡量一个联络偏离对称的程度。在一般黎曼几何中（如广义相对论），通常假设无挠（挠率为零）；但在某些理论中（如**爱因斯坦-嘉当理论**），挠率被用来与物质的自旋耦合。

- **DNA/分子生物学**：在生物大分子建模中，挠率也用于描述DNA双螺旋的局部扭曲特性。

### 挠场

20世纪初，法国数学家埃利·嘉当（Élie Cartan）指出，爱因斯坦的广义相对论在描述时空弯曲时，忽略了一个几何元素——**时空的扭曲，也就是挠率**。一个更完整的理论应该同时包含弯曲（由质量、能量产生）和扭曲（由自旋产生）。

这便是**爱因斯坦-嘉当理论**的核心：
*   **时空的几何**：由度规（描述弯曲）和**挠率**（描述扭曲）共同决定。
*   **引力场源**：除了传统的**能量-动量张量**（产生弯曲），**自旋张量**（粒子的内禀角动量）也作为场源，产生**挠场**。
*   **核心区别**：在广义相对论中，物质的自旋对时空几何没有影响。而在爱因斯坦-嘉当理论中，自旋是引力的第二个基本源，就像电荷是电磁场的源一样。

因此，**挠场在主流理论物理中，是一个有坚实数学基础、逻辑自洽的严谨概念**，但它有一个关键难点：它极其微弱。在绝大多数日常情况下，自旋产生的效应完全可以忽略，这也解释了为何挠场至今尚未被直接实验证实。

### 视频介绍

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