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2.5 曲线论基本定理

根据前面各节的讨论，我们已经知道正则参数曲线的弧长参数、曲率和挠率都是与曲线的保持定向的容许参数变换无关的．实际上，弧长参数的不变性在 § 2.2 中已经做过讨论，而曲率和挠率是通过曲线的参数方程关于弧长参数的各阶导数作适当的代数运算（点乘和叉乘等）得到的，它们同样不依赖曲线上参数的选择．很明显，这三个量与欧氏空间 $E^3$ 中的笛卡儿直角坐标系的选取也是无关的．实际上，这三个量的计算公式是用曲线的向量形式的参数方程给出的，该事实本身就蕴涵着它们不依赖空间的笛卡儿直角坐标系的选取。此外，在 §1．1 已经解释过，欧氏空间 $E^3$ 上的刚体运动在某种意义上相当于空间的笛卡儿直角坐标系的变换，因此当曲线在空间中经受一个刚体运动时，曲线的弧长、曲率和挠率是不变的．换句话说，如果在空间 $E^3$中有两条曲线，它们的曲率和挠率表示成弧长参数的函数分别是相同的，则这两条曲线的形状是相同的．这个论断可以叙述成下面的基本定理．

定理 5.1 设 $r=r_1(s)$ 和 $r=r_2(s)$ 是 $E^3$ 中两条以弧长 $s$ 为参数的正则参数曲线，如果它们的曲率处处不为零，并且它们的曲率和挠率分别相等，即 $\kappa_1(s)=\kappa_2(s), \tau_1(s)=\tau_2(s)$ ，则有 $E^3$ 中的一个刚体运动 $\sigma$ ，它把曲线 $r=r_1(s)$ 变为曲线 $r=r_2(s)$ ．

证明 由于这两条曲线的曲率处处不为零，因此沿这两条曲线有完全确定的 Frenet 标架．假定它们在 $s=0$ 处的 Frenet 标架分别是 $\left\{\boldsymbol{r}_1(0) ; \boldsymbol{\alpha}_1(0), \boldsymbol{\beta}_1(0), \boldsymbol{\gamma}_1(0)\right\}$ 和 $\left\{\boldsymbol{r}_2(0) ; \boldsymbol{\alpha}_2(0), \boldsymbol{\beta}_2(0), \boldsymbol{\gamma}_2(0)\right\}$ 。因为它们都是右手单位正交标架，故由第一章的定理1．1，在 $E^3$ 中有一个刚体运动 $\sigma$ 把后一个标架变成前一个标架．不妨把第二条曲线经过刚体运动 $\sigma$ 得到的像仍然记为 $r=r_2(s)$ ，那么曲线 $r=r_1(s)$ 和 $r=r_2(s)$在对应点仍旧有相同的曲率和挠率，并且在 $s=0$ 处有相同的 Frenet标架．我们要证明

$$
\boldsymbol{r}_1(s)=\boldsymbol{r}_2(s), \quad \forall s
$$

为此，首先定义函数

$$
\begin{align*}
f(s)= & \left(\boldsymbol{\alpha}_1(s)-\boldsymbol{\alpha}_2(s)\right)^2+\left(\boldsymbol{\beta}_1(s)-\boldsymbol{\beta}_2(s)\right)^2 \\
& +\left(\boldsymbol{\gamma}_1(s)-\boldsymbol{\gamma}_2(s)\right)^2 \tag{5.1}
\end{align*}
$$

且由假设得知 $f(0)=0$ ．对函数 $f(s)$ 直接求导，并且注意到 $\kappa_1(s)= \kappa_2(s), \tau_1(s)=\tau_2(s)$ ，则得

$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d} f(s)}{\mathrm{d} s}= & \left(\boldsymbol{\alpha}_1(s)-\boldsymbol{\alpha}_2(s)\right) \cdot\left(\kappa_1(s) \boldsymbol{\beta}_1(s)-\kappa_2(s) \boldsymbol{\beta}_2(s)\right) \\
& +\left(\boldsymbol{\beta}_1(s)-\boldsymbol{\beta}_2(s)\right) \cdot\left(-\kappa_1(s) \boldsymbol{\alpha}_1(s)+\kappa_2(s) \boldsymbol{\alpha}_2(s)\right) \\
& +\left(\boldsymbol{\beta}_1(s)-\boldsymbol{\beta}_2(s)\right) \cdot\left(\tau_1(s) \boldsymbol{\gamma}_1(s)-\tau_2(s) \boldsymbol{\gamma}_2(s)\right) \\
& +\left(\boldsymbol{\gamma}_1(s)-\boldsymbol{\gamma}_2(s)\right) \cdot\left(-\tau_1(s) \boldsymbol{\beta}_1(s)+\tau_2(s) \boldsymbol{\beta}_2(s)\right) \\
= & \kappa_1(s)\left(\boldsymbol{\alpha}_1(s)-\boldsymbol{\alpha}_2(s)\right) \cdot\left(\boldsymbol{\beta}_1(s)-\boldsymbol{\beta}_2(s)\right) \\
& -\kappa_1(s)\left(\boldsymbol{\beta}_1(s)-\boldsymbol{\beta}_2(s)\right) \cdot\left(\boldsymbol{\alpha}_1(s)-\boldsymbol{\alpha}_2(s)\right) \\
& +\tau_1(s)\left(\boldsymbol{\beta}_1(s)-\boldsymbol{\beta}_2(s)\right) \cdot\left(\boldsymbol{\gamma}_1(s)-\boldsymbol{\gamma}_2(s)\right) \\
& -\tau_1(s)\left(\boldsymbol{\gamma}_1(s)-\boldsymbol{\gamma}_2(s)\right) \cdot\left(\boldsymbol{\beta}_1(s)-\boldsymbol{\beta}_2(s)\right) \equiv 0
\end{aligned}
$$

故 $f(s)=f(0)=0$ ，即

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}_1(s)=\boldsymbol{\alpha}_2(s), \quad \boldsymbol{\beta}_1(s)=\boldsymbol{\beta}_2(s), \quad \boldsymbol{\gamma}_1(s)=\boldsymbol{\gamma}_2(s) . \tag{5.2}
\end{equation*}
$$

再定义函数

$$
\begin{equation*}
g(s)=\left(r_1(s)-r_2(s)\right)^2, \quad g(0)=0 \tag{5.3}
\end{equation*}
$$

则

$$
\frac{1}{2} \frac{\mathrm{~d} g(s)}{\mathrm{d} s}=\left(\boldsymbol{r}_1(s)-\boldsymbol{r}_2(s)\right) \cdot\left(\boldsymbol{\alpha}_1(s)-\boldsymbol{\alpha}_2(s)\right) \equiv 0
$$

所以 $g(s)=g(0)=0$ ，即 $r_1(s)=r_2(s), \forall s$ ．证毕．
定理 5.2 设 $r=r_1(t)$ 和 $r=r_2(u)$ 是 $E^3$ 中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为零．如果存在三次以上的连续可微函数 $u= \lambda(t), \lambda^{\prime}(t) \neq 0$ ，使得这两条曲线的弧长函数、曲率函数和挠率函数之间有关系式

$$
\begin{equation*}
s_1(t)=s_2(\lambda(t)), \quad \kappa_1(t)=\kappa_2(\lambda(t)), \quad \tau_1(t)=\tau_2(\lambda(t)), \tag{5.4}
\end{equation*}
$$

则有 $E^3$ 中的一个刚体运动 $\sigma$ ，它把曲线 $r=r_1(t)$ 变为曲线 $r=r_2(u)$ ，即曲线 $r=r_2(\lambda(t))$ 是曲线 $r=r_1(t)$ 在刚体运动 $\sigma$ 下的像。

这是定理 5.1 的直接推论，证明留给读者自己完成。
在 §2．3 中已经知道，在曲率 $\kappa(s)$ 处处不为零的正则曲线上有内在地确定的 Frenet 标架场，所以 $E^3$ 中的曲线便变成在 $E^3$ 的正交标架空间中的一条曲线．而§2．4的 Frenet 公式正好是这个标架场的运动方程，其系数恰好是曲线的曲率和挠率，它们完全确定了曲线在空间中的形状。我们的问题是：给定了曲率和挠率作为弧长参数 $s$ 的函数 $\kappa(s), \tau(s)$ 之后，在空间 $E^3$ 中是否存在正则参数曲线以给定的函数 $\kappa(s), \tau(s)$ 为它的曲率和挠率？根据上面的分析，我们在 $E^3$ 上由全体正交标架构成的 6 维空间中考虑，于是 Frenet 公式成为现成的已知常微分方程组，它的解是依赖参数 $s$ 的一族正交标架，其标架原点在 $E^3$ 中描出的轨迹应该是我们所要的曲线，而这族正交标架本身应该是曲线的 Frenet 标架场．

定理 5.3 设 $\kappa(s), \tau(s)$ 是在区间 $[a, b]$ 上两个任意给定的连续可微函数，并且 $\kappa(s)>0$ ，则在空间 $E^3$ 中存在正则参数曲线 $r= \boldsymbol{r}(s), a \leq s \leq b$ ，以 $s$ 为弧长参数，以给定的函数 $\kappa(s), \tau(s)$ 为它的曲率和挠率，且这样的曲线在空间 $E^3$ 中是完全确定的，其差异至多为曲线的位置不同。

证明 定理5．1已经证明这样的曲线在空间 $E^3$ 中确定到至多差一个位置的不同，因此我们只要证明这样的曲线的存在性．

为了能够用和式表示方程组，引进新的函数记号

$$
\left(\begin{array}{ccc}
a_{11}(s) & a_{12}(s) & a_{13}(s)  \tag{5.5}\\
a_{21}(s) & a_{22}(s) & a_{23}(s) \\
a_{31}(s) & a_{32}(s) & a_{33}(s)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
0 & \kappa(s) & 0 \\
-\kappa(s) & 0 & \tau(s) \\
0 & -\tau(s) & 0
\end{array}\right),
$$

并且用 $r, e_1, e_2, e_3$ 记写成向量形式的未知函数，每一个向量代表3个未知函数，共 12 个未知函数．考虑一阶常微分方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{~d} s}=\boldsymbol{e}_1  \tag{5.6}\\
\frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_i}{\mathrm{~d} s}=\sum_{j=1}^3 a_{i j}(s) \boldsymbol{e}_j, \quad 1 \leq i \leq 3
\end{array}\right.
$$

这是由 4 个向量形式的线性齐次微分方程组成的方程组（实际上有 12个方程）．由于方程组的系数是连续可微函数，根据常微分方程理论，对于任意给定的一组初始值 $r^0, e_1^0, e_2^0, e_3^0$ ，方程组（5．6）有唯一的一组解 $\boldsymbol{r}(s), \boldsymbol{e}_1(s), \boldsymbol{e}_2(s), \boldsymbol{e}_3(s), a \leq s \leq b$ ，满足初始条件

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}\left(s_0\right)=\boldsymbol{r}^0, \quad \boldsymbol{e}_i\left(s_0\right)=\boldsymbol{e}_i^0, \quad 1 \leq i \leq 3, \tag{5.7}
\end{equation*}
$$

其中 $s_0$ 是区间 $[\dot{a}, b]$ 中任意固定的一点．一般来说，这样的解并不会满足我们的要求。如果 $r=r(s)$ 是我们所要的曲线，而 $\left\{r(s) ; e_1(s), e_2(s)\right.$ ， $\left.e_3(s)\right\}$ 是曲线的 Frenet 标架，则我们必须要求初始值 $\left\{r^0 ; e_1^0, e_2^0, e_3^0\right\}$是右手单位正交标架，即它们要满足条件

$$
\left\{\begin{array}{l}
e_i^0 \cdot e_j^0=\delta_{i j}, \quad 1 \leq i, j \leq 3  \tag{5.8}\\
\left(e_1^0, e_2^0, e_3^0\right)=1
\end{array}\right.
$$

我们要证明，当初始值满足条件（5．8）时，方程组（5．6）满足初始条件（5．7）的解给出的 $r=r(s)$ 是一条正则曲线，以 $s$ 为弧长参数，并以给定的函数 $\kappa(s), \tau(s)$ 为它的曲率和挠率．为此，首先证明这组解 $\left\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{e}_1(s), \boldsymbol{e}_2(s), \boldsymbol{e}_3(s)\right\}$ 是右手单位正交标架族。命

$$
\begin{equation*}
g_{i j}(s)=e_i(s) \cdot e_j(s)-\delta_{i j}, \quad 1 \leq i, j \leq 3 . \tag{5.9}
\end{equation*}
$$

初始值所满足的条件（5．8）说明

$$
\begin{equation*}
g_{i j}\left(s_0\right)=0, \quad 1 \leq i, j \leq 3 . \tag{5.10}
\end{equation*}
$$

将（5．9）式求导，并且利用 $e_i(s)$ 满足方程组（5．6）得到

$$
\frac{\mathrm{d} g_{i j}(s)}{\mathrm{d} s}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_i(s)}{\mathrm{d} s} \cdot \boldsymbol{e}_j+\boldsymbol{e}_i \cdot \frac{\mathrm{~d} \boldsymbol{e}_j(s)}{\mathrm{d} s}
$$

$$
=\sum_{k=1}^3\left(a_{i k} \boldsymbol{e}_k(s) \cdot \boldsymbol{e}_j(s)+a_{j k} \boldsymbol{e}_i(s) \cdot \boldsymbol{e}_k(s)\right),
$$

因为

$$
a_{i j}+a_{j i}=0
$$

故 $g_{i j}(s)$ 满足常微分方程组

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} g_{i j}(s)}{\mathrm{d} s}=\sum_{k=1}^3\left(a_{i k} g_{k j}(s)+a_{j k} g_{i k}(s)\right) . \tag{5.11}
\end{equation*}
$$

这是线性齐次方程组，并且它在初始条件（5．10）下的解是唯一的，所以 $g_{i j}(s)$ 只能是平凡解，即

$$
\begin{equation*}
g_{i j}(s) \equiv 0, \quad 1 \leq i, j \leq 3, \tag{5.12}
\end{equation*}
$$

也就是

$$
\begin{equation*}
e_i(s) \cdot e_j(s)=\delta_{i j}, \quad 1 \leq i, j \leq 3, \tag{5.13}
\end{equation*}
$$

故 $\left\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{e}_1(s), \boldsymbol{e}_2(s), \boldsymbol{e}_3(s)\right\}$ 是单位正交标架。这样，向量 $\boldsymbol{e}_1(s), \boldsymbol{e}_2(s)$ ， $e_3(s)$ 的混合积 $\left(e_1(s), e_2(s), e_3(s)\right)$ 的值是 1 或者 -1 ．由于条件（5．8）， $\left(e_1\left(s_0\right), e_2\left(s_0\right), e_3\left(s_0\right)\right)=1$ ，故由解的连续性得到
$$
\begin{equation*}
\left(e_1(s), e_2(s), e_3(s)\right)=1 \tag{5.14}
\end{equation*}
$$

所以 $\left\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{e}_1(s), \boldsymbol{e}_2(s), \boldsymbol{e}_3(s)\right\}$ 是右手单位正交标架族．
由方程（5．6）的第一式得知

$$
\left|\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(s)}{\mathrm{d} s}\right|=\left|\boldsymbol{e}_1(s)\right|=1,
$$

故 $r(s)$ 是正则参数曲线，$s$ 是弧长参数，$\alpha(s)=e_1(s)$ ．再由方程 （5．6）的第二式得知

$$
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}(s)}{\mathrm{d} s}=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{e}_1(s)}{\mathrm{d} s}=\kappa(s) \boldsymbol{e}_2(s),
$$

因此

$$
\kappa(s)=\left|\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}(s)}{\mathrm{d} s}\right|, \quad \boldsymbol{\beta}(s)=e_2(s),
$$

即 $\kappa(s)$ 是曲线 $r=r(s)$ 的曲率，$e_2(s)$ 是它的主法向量，于是

$$
\gamma(s)=\alpha(s) \times \beta(s)=e_1(s) \times e_2(s)=e_3(s) .
$$

由（5．6）式的最后一式得到

$$
\tau(s)=-\frac{\mathrm{d} e_3(s)}{\mathrm{d} s} \cdot e_2(s)=-\frac{\mathrm{d} \gamma(s)}{\mathrm{d} s} \cdot \boldsymbol{\beta}(s),
$$

故 $\tau(s)$ 是曲线 $r=r(s)$ 的挠率．证毕．
上面的定理说明，函数 $\kappa(s)>0$ 与 $\tau(s)$ 在空间 $E^3$ 中不计位置的差异唯一地确定了一条曲线，因此它们可以看作是该曲线的方程，称为曲线的 内在方程，或 自然方程．从曲线的自然方程得到参数方程的过程，就是求解方程组（5．6）的过程．一般说来，该过程是比较难的．如果知道方程组（5．6）的一个特解，则定理 5.1 告诉我们，其余的解都是上述特解在 $E^3$ 的刚体运动下的像．
例题 求曲率和挠率分别是常数 $\kappa_0>0, \tau_0$ 的曲线的参数方程．
解 已知圆螺旋线 $r=(a \cos t, a \sin t, b t)(a>0, b$ 是常数）的曲率和挠率分别是常数

$$
\kappa=\frac{a}{a^2+b^2}, \quad \tau=\frac{b}{a^2+b^2} .
$$

取 $a, b$ 使得

$$
\frac{a}{a^2+b^2}=\kappa_0, \quad \frac{b}{a^2+b^2}=\tau_0
$$

也就是

$$
a=\frac{\kappa_0}{\kappa_0^2+\tau_0^2}, \quad b=\frac{\tau_0}{\kappa_0^2+\tau_0^2}
$$

根据定理 5．1，曲率和挠率分别是常数 $\kappa_0>0, \tau_0$ 的曲线必定是圆螺旋线．如果不计位置的差异，则它的参数方程是

$$
\boldsymbol{r}=\left(\frac{\kappa_0}{\kappa_0^2+\tau_0^2} \cos t, \frac{\kappa_0}{\kappa_0^2+\tau_0^2} \sin t, \frac{\tau_0 t}{\kappa_0^2+\tau_0^2}\right),
$$
 或者是

$$
\left(\frac{\kappa_0}{\kappa_0^2+\tau_0^2} \cos \left(\sqrt{\kappa_0^2+\tau_0^2} s\right), \frac{\kappa_0}{\kappa_0^2+\tau_0^2} \sin \left(\sqrt{\kappa_0^2+\tau_0^2} s\right), \frac{\tau_0 s}{\sqrt{\kappa_0^2+\tau_0^2}}\right),
$$

其中 $s$ 是弧长参数．

## 理解：曲线基本理论
理解微分几何中的曲线理论，关键是**不要陷入公式堆砌**，而是抓住一条核心线索：**用“随曲线运动的坐标系”（Frenet标架）来描述曲线的弯曲和扭转**。

可以把整个理论理解为回答三个问题：

1.  **曲线在每一点朝向哪？** → 切向量 $ \mathbf{T} $
2.  **曲线朝哪个方向弯？** → 主法向量 $ \mathbf{N} $（弯曲方向）
3.  **弯得多厉害？离开平面了吗？** → 曲率 $ \kappa $（弯曲程度）、挠率 $ \tau $（扭转程度）

下面用直观方式分层理解。

---

### 一、把曲线想象成一辆赛车的轨迹

- **$ \mathbf{T} $（切向量）**：车头指向的方向（前进方向）。
- **$ \mathbf{N} $（主法向量）**：方向盘转动的方向（弯道内侧方向）。
- **$ \mathbf{B} $（副法向量）**：车身侧滑方向（$ \mathbf{T} \times \mathbf{N} $），表示是否离开平面。

> 如果只打方向盘，车在平面内转弯（$ \tau = 0 $）；  
> 如果同时有爬坡或侧倾（比如螺旋线），车就离开平面了（$ \tau \neq 0 $）。

---

### 二、用“驾驶感受”理解曲率和挠率

- **曲率 $ \kappa $ 大** → 方向盘打得很猛 → 弯很急  
  （直线：$ \kappa = 0 $，圆：$ \kappa $ 常数）

- **挠率 $ \tau $ 大** → 车身在翻滚或爬坡的同时转弯 → 空间曲线  
  （平面曲线：$ \tau = 0 $，螺旋线：$ \tau $ 常数）

---

### 三、Frenet-Serret 公式在说什么？

公式：

$$
\begin{aligned}
\mathbf{T}' &= \kappa \mathbf{N} \\
\mathbf{N}' &= -\kappa \mathbf{T} + \tau \mathbf{B} \\
\mathbf{B}' &= -\tau \mathbf{N}
\end{aligned}
$$

理解方式：**这是“随车坐标系”的变化律**。

- 第一式：切向量朝主法向弯，速率由曲率决定（合理）。
- 第二式：主法向量一部分转回切向（回到前方），一部分转向副法向（离开平面）。
- 第三式：副法向量只朝主法向的反方向扭。

> 可以看作一个**旋转的运动方程**：标架在沿曲线前进时，绕 $ \mathbf{B} $ 以 $ \kappa $ 转，绕 $ \mathbf{T} $ 以 $ \tau $ 转。

---

### 四、为什么要有弧长参数 $ s $？

- 用时间 $ t $ 参数：速度大小变化会干扰“纯形状”的测量。
- 用弧长 $ s $ 参数：相当于**匀速行驶**（$ |\mathbf{r}'(s)| = 1 $），曲率和挠率只与路径形状有关，与快慢无关。

> 类比：一个弯道的“急缓”不取决于你开多快，而取决于路径本身。

---

### 五、基本定理的直观意义

> 给定曲率函数 $ \kappa(s) > 0 $ 和挠率函数 $ \tau(s) $，就唯一确定了曲线的形状（除了在空间中整体移动、旋转）。

可以理解为：  
**你事先规定好每前进一米，方向盘打多少度（$\kappa$），车身倾斜多少度（$\tau$），那么整条路就唯一确定了。**

这非常像在开一辆“可编程”的车。

---

### 六、一个具体例子：螺旋线

$$
\mathbf{r}(t) = (R\cos t,\ R\sin t,\ ht)
$$

- 曲率 $ \kappa = \frac{R}{R^2 + h^2} $ （常数）
- 挠率 $ \tau = \frac{h}{R^2 + h^2} $ （常数）

理解：
- 若 $ h = 0 $：平面圆（$ \tau = 0 $）
- 若 $ h \neq 0 $：一边转弯一边上升 → 有扭转

---

### 七、避坑指南（常见困惑）

| 困惑 | 澄清 |
|------|------|
| 为什么要有主法向量和副法向量？ | 没有副法向量，无法描述离开平面的扭转 |
| 曲率和挠率会不会无穷大？ | 在拐点（$ \kappa = 0 $）时Frenet标架会出问题，理论要求正则曲线且曲率>0 |
| 为什么要用弧长？ | 为了分离“形状”和“速度” |
| 挠率可以负吗？ | 可以，表示扭转方向相反（左旋/右旋） |

## 例子
 我可以**用一条具体的平面曲线（比如椭圆）和一条空间曲线（比如螺旋线），从头推导一遍曲率、挠率和Frenet标架**，让你看到这些符号是怎么一步步算出来的。这样比单独理解公式更直观。

好的，我们来**动手算两条曲线**：一条平面椭圆，一条空间螺旋线。

我会一步一步推导，让你看到：
- 参数 $t $ 与弧长 $s $ 的区别
- 曲率、挠率怎么从公式算出来
- Frenet 标架怎么构造

---

## 一、平面椭圆（曲率变化，挠率 = 0）

曲线：
$$
\mathbf{r}(t) = (a\cos t,\; b\sin t,\; 0), \quad t \in [0,2\pi)
$$

### 1. 速度与弧长微分
$$
\mathbf{r}'(t) = (-a\sin t,\; b\cos t,\; 0)
$$
$$
\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}
$$
弧长微分：
$$
ds = \|\mathbf{r}'(t)\| dt
$$
可见 $t $ 不是弧长参数（除非 $a=b $ 圆的情况）。

---

### 2. 曲率（用一般参数公式）

公式：
$$
\kappa = \frac{\|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^3}
$$

先求：
$$
\mathbf{r}''(t) = (-a\cos t,\; -b\sin t,\; 0)
$$

叉积：
$$
\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t) =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-a\sin t & b\cos t & 0 \\
-a\cos t & -b\sin t & 0
\end{vmatrix}
$$
只保留 $k $ 分量（因为 $z=0 $）：
$$
= \big[ (-a\sin t)(-b\sin t) - (b\cos t)(-a\cos t) \big] \mathbf{k}
$$
$$
= \big( ab\sin^2 t + ab\cos^2 t \big) \mathbf{k}
$$
$$
= ab \,\mathbf{k}
$$
所以：
$$
\|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\| = |ab|
$$
$$
\|\mathbf{r}'\|^3 = \left( a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t \right)^{3/2}
$$

因此：
$$
\kappa(t) = \frac{|ab|}{\left( a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t \right)^{3/2}}
$$

#### 直观理解：
- 当 $t=0 $（长轴端点）：  
  $a^2\sin^2 0 + b^2\cos^2 0 = b^2 $ → $\kappa = |ab| / b^3 = a/b^2 $  
  若 $a > b $，这里曲率较小（更平坦）
- 当 $t=\pi/2 $（短轴端点）：  
  分母变为 $a^2 $ → $\kappa = b/a^2 $  
  若 $a > b $，这里曲率较大（更弯曲）

✅ 挠率 $\tau = 0 $（因为是平面曲线）

---

### 3. Frenet 标架（在 $t $ 一般参数下）

先归一化切向量：
$$
\mathbf{T} = \frac{\mathbf{r}'}{\|\mathbf{r}'\|}
= \frac{(-a\sin t,\; b\cos t,\; 0)}{\sqrt{a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t}}
$$

主法向量（指向弯曲方向）：
可以不用直接对 $\mathbf{T} $ 求导（因为 t 不是弧长），而是用公式：
$$
\mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}'' - (\mathbf{r}''\cdot\mathbf{T})\mathbf{T}}{\|\mathbf{r}'' - (\mathbf{r}''\cdot\mathbf{T})\mathbf{T}\|}
$$
或者利用叉积：
$$
\mathbf{B} = \frac{\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''}{\|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\|}
$$
这里：
$$
\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' = (0,0,ab)
$$
所以：
$$
\mathbf{B} = (0,0,\pm 1) \quad (\text{符号取决于 } ab \text{ 符号})
$$
取 $a,b>0 $，则 $\mathbf{B} = (0,0,1) $。

然后：
$$
\mathbf{N} = \mathbf{B} \times \mathbf{T}
$$
这样最简单。

例：$t=0 $ 时
$$
\mathbf{r}'(0) = (0,b,0) \Rightarrow \mathbf{T} = (0,1,0)
$$
$$
\mathbf{B} = (0,0,1)
$$
$$
\mathbf{N} = (0,0,1) \times (0,1,0) = (-1,0,0)
$$
合理：在 $(a,0) $ 点，弯向内侧即 \(-x$ 方向。

---

## 二、空间螺旋线（常曲率、常挠率）

曲线：
$$
\mathbf{r}(t) = (R\cos t,\; R\sin t,\; ht),\quad h \neq 0
$$

### 1. 速度、加速度
$$
\mathbf{r}'(t) = (-R\sin t,\; R\cos t,\; h)
$$
$$
\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{R^2 + h^2} \quad (\text{常数！})
$$
$$
\mathbf{r}''(t) = (-R\cos t,\; -R\sin t,\; 0)
$$
$$
\mathbf{r}'''(t) = (R\sin t,\; -R\cos t,\; 0)
$$

---

### 2. 曲率
$$
\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-R\sin t & R\cos t & h \\
-R\cos t & -R\sin t & 0
\end{vmatrix}
$$
先算 $i $ 分量：
$$
(R\cos t)(0) - (h)(-R\sin t) = hR\sin t
$$
$j $ 分量（注意负号）：
$$
- [ (-R\sin t)(0) - (h)(-R\cos t) ] = - [ 0 + hR\cos t ] = -hR\cos t
$$
$k $ 分量：
$$
(-R\sin t)(-R\sin t) - (R\cos t)(-R\cos t)
= R^2\sin^2 t + R^2\cos^2 t = R^2
$$
所以：
$$
\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' = (hR\sin t,\; -hR\cos t,\; R^2)
$$
$$
\|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\| = \sqrt{h^2R^2(\sin^2 t + \cos^2 t) + R^4}
= \sqrt{h^2R^2 + R^4}
= R\sqrt{R^2 + h^2}
$$
而：
$$
\|\mathbf{r}'\|^3 = (R^2 + h^2)^{3/2}
$$
因此：
$$
\kappa = \frac{R\sqrt{R^2+h^2}}{(R^2+h^2)^{3/2}}
= \frac{R}{R^2 + h^2}
$$
常数曲率。

---

### 3. 挠率

公式：
$$
\tau = \frac{(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}'''}{\|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\|^2}
$$

先点积：
$$
(\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'') \cdot \mathbf{r}''' =
(hR\sin t,\ -hR\cos t,\ R^2) \cdot (R\sin t,\ -R\cos t,\ 0)
$$
$$
= hR^2\sin^2 t + hR^2\cos^2 t + 0
= hR^2
$$

分母：
$$
\|\mathbf{r}' \times \mathbf{r}''\|^2 = R^2(R^2+h^2)
$$

所以：
$$
\tau = \frac{hR^2}{R^2(R^2+h^2)} = \frac{h}{R^2+h^2}
$$
常数挠率。

---

### 4. Frenet 标架（一个特殊点 $t=0 $）

$t=0 $ 时：
$$
\mathbf{r}'(0) = (0,R,h),\quad \|\mathbf{r}'\| = \sqrt{R^2+h^2}
$$
$$
\mathbf{T} = \frac{(0,R,h)}{\sqrt{R^2+h^2}}
$$

$$
\mathbf{r}''(0) = (-R,0,0)
$$
$$
\mathbf{r}' \times \mathbf{r}'' = (hR,0,R^2) /?  \text{不，等一下我们上面已算过通式}
$$
上面通式 $(hR\sin t,\ -hR\cos t,\ R^2) $，代 $t=0 $：
$$
\mathbf{r}'(0) \times \mathbf{r}''(0) = (0, -hR, R^2)
$$
$$
\|\cdot\| = R\sqrt{R^2+h^2}
$$
所以：
$$
\mathbf{B} = \frac{(0, -hR, R^2)}{R\sqrt{R^2+h^2}}
= \left(0,\ \frac{-h}{\sqrt{R^2+h^2}},\ \frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}}\right)
$$

$$
\mathbf{N} = \mathbf{B} \times \mathbf{T}
$$
算一下：
$$
\mathbf{T} = \left(0,\ \frac{R}{\sqrt{R^2+h^2}},\ \frac{h}{\sqrt{R^2+h^2}}\right)
$$
叉积：
$$
\mathbf{B} \times \mathbf{T} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
0 & -h/\sqrt{} & R/\sqrt{} \\
0 & R/\sqrt{} & h/\sqrt{}
\end{vmatrix}
$$
其中 \(\sqrt{} = \sqrt{R^2+h^2}$。

$i $ 分量：
$$
(-h/\sqrt{})(h/\sqrt{}) - (R/\sqrt{})(R/\sqrt{})
= \frac{-h^2 - R^2}{R^2+h^2} = -1
$$
$j $ 分量：
$$
- [ 0\cdot h/\sqrt{} - R/\sqrt{} \cdot 0 ] = 0
$$
$k $ 分量：
$$
0\cdot R/\sqrt{} - (-h/\sqrt{})(0) = 0
$$
所以：
$$
\mathbf{N} = (-1,0,0)
$$
合理：在 $t=0 $ 点（$(R,0,0) $），主法向指向圆心方向。

---

## 三、对比总结

| 曲线 | 曲率 $\kappa $ | 挠率 $\tau $ | Frenet 标架变化 |
|------|----------------|----------------|------------------|
| 椭圆 | 变化 | 0 | $\mathbf{B} $ 固定（垂直平面） |
| 螺旋线 | 常数 | 常数 | 三个向量都旋转 |

这样算下来，你应该能清晰看到：
- **叉积**用于求弯曲平面（密切平面）
- **挠率公式**本质是“副法向量的扭转速度”
- 弧长参数只影响求导时的简洁性，不改变 $\kappa,\tau $ 的值

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