最后更新: 2026-06-02 19:43 查看: 10 次纠错评论(0) 课件开VIP

2.6 曲线参数方程在一点的标准展开

§2．6 曲线参数方程在一点的标准展开
我们知道，解析函数 $y=f(x)$ 在任意一点 $x_0$ 的邻域内可以展开成收敛的幂级数．如果函数 $y=f(x)$ 是光滑的，即它有任意阶的导数，则函数 $f(x)$ 可以表示成任意 $n$ 次的一个多项式与一个余项之和，该多项式的系数由 $f(x)$ 的直到 $n$ 阶的各阶导数在 $x_0$ 处的值决定，并且余项在 $x \rightarrow x_0$ 时是比 $\left(x-x_0\right)^n$ 更高阶的无穷小量．这样的展开式称为函数 $y=f(x)$ 的 Taylor 展开式，它是原来函数的近似．当然，多项式函数比原来的函数简单，它的性状更容易了解和描写．正则曲线的参数方程是由三个可微函数组成的，将 Taylor 展开式用到这三个函数上，便能够得到一条多项式曲线来近似原来的曲线．特别是，在曲线的曲率和挠率都不为零的时候，在一点的附近可以求得一条三次曲线，它与原来的曲线在该点有相同的曲率、挠率和 Frenet 标架，于是原曲线在该点附近的性状可以用这条近似曲线来模拟．

设 $r=r(s)$ 是一条以弧长 $s$ 为参数的正则曲线，它在 $s=0$ 处的 Taylor 展开式为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(s)=\boldsymbol{r}(0)+\frac{s}{1!} \boldsymbol{r}^{\prime}(0)+\frac{s^2}{2!} \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(0)+\frac{s^3}{3!} \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}(0)+\boldsymbol{o}\left(s^3\right), \tag{6.1}
\end{equation*}
$$

其中 $o\left(s^3\right)$ 是余项，满足条件

$$
\begin{equation*}
\lim _{s \rightarrow 0} \frac{\left|\boldsymbol{o}\left(s^3\right)\right|}{s^3}=0 \tag{6.2}
\end{equation*}
$$

根据 Frenet 公式，我们有

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{r}^{\prime}(0)=\boldsymbol{\alpha}(0) \\
& \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(0)=\kappa(0) \boldsymbol{\beta}(0)  \tag{6.3}\\
& \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}(0)=-\kappa^2(0) \boldsymbol{\alpha}(0)+\kappa^{\prime}(0) \boldsymbol{\beta}(0)+\kappa(0) \tau(0) \boldsymbol{\gamma}(0)
\end{align*}
$$

于是（6．1）式成为

$$
\boldsymbol{r}(s)=\boldsymbol{r}(0)+\left(s-\frac{\kappa_0^2}{6} s^3\right) \boldsymbol{\alpha}(0)+\left(\frac{\kappa_0}{2} s^2+\frac{\kappa_0^{\prime}}{6} s^3\right) \boldsymbol{\beta}(0)
$$

$$
+\frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3 \gamma(0)+\boldsymbol{o}\left(s^3\right)
$$

其中 $\kappa_0=\kappa(0), \kappa_0^{\prime}=\kappa^{\prime}(0), \tau_0=\tau(0)$ ．如果把曲线在 $s=0$ 处的 Frenet 标架 $\{\boldsymbol{r}(0) ; \boldsymbol{\alpha}(0), \boldsymbol{\beta}(0), \boldsymbol{\gamma}(0)\}$ 取作空间 $E^3$ 的笛卡儿直角坐标系的标架，则曲线在 $s=0$ 处附近的参数方程成为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=s-\frac{\kappa_0^2}{6} s^3+o\left(s^3\right)  \tag{6.4}\\
y=\frac{\kappa_0}{2} s^2+\frac{\kappa_0^{\prime}}{6} s^3+o\left(s^3\right) \\
z=\frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3+o\left(s^3\right)
\end{array}\right.
$$

上式称为曲线 $r=r(s)$ 在 $s=0$ 处的标准展开式．
当 $\kappa_0 \tau_0 \neq 0$ 时，曲线的标准展开式中的坐标函数 $x(s), y(s), z(s)$作为 $s$ 的无穷小量的主要部分分别是 $s, \frac{\kappa_0}{2} s^2$ 和 $\frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3$ ，于是我们可以考虑一条新的曲线
 $$
\begin{equation*}
\tilde{r}(s)=\left(s, \frac{\kappa_0}{2} s^2, \frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3\right) . \tag{6.5}
\end{equation*}
$$

这是一条三次曲线，而且参数 $s$ 一般不是曲线 $\tilde{r}(s)$ 的弧长参数，但是

在 $s=0$ 处有

$$
\begin{aligned}
& \tilde{\boldsymbol{r}}(0)=(0,0,0) \\
& \tilde{\boldsymbol{r}}^{\prime}(0)=(1,0,0), \\
& \tilde{\boldsymbol{r}}^{\prime \prime}(0)=\left(0, \kappa_0, 0\right), \\
& \tilde{\boldsymbol{r}}^{\prime \prime \prime}(0)=\left(0,0, \kappa_0 \tau_0\right) .
\end{aligned}
$$

由此不难看出，曲线 $\boldsymbol{r}=\tilde{\boldsymbol{r}}(s)$ 在 $s=0$ 处的曲率是 $\kappa_0$ ，挠率是 $\tau_0$ ，并且 Frenet 标架是 $\{\boldsymbol{r}(0) ; \boldsymbol{\alpha}(0), \boldsymbol{\beta}(0), \boldsymbol{\gamma}(0)\}$ ，即它与原来的曲线 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)$在 $s=0$ 处有相同的曲率、挠率和 Frenet 标架．
曲线 $\boldsymbol{r}=\tilde{\boldsymbol{r}}(s)$ 称为原曲线 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)$ 在 $s=0$ 处的近似曲线，它的性状反映了原曲线的性状．例如：它在密切平面上的投影是

$$
\begin{equation*}
x=s, \quad y=\frac{\kappa_0}{2} s^2, \quad z=0 ; \tag{6.6}
\end{equation*}
$$

它在切平面上的投影是

$$
\begin{equation*}
x=s, \quad y=0, \quad z=\frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3 ; \tag{6.7}
\end{equation*}
$$

它在法平面上的投影是

$$
\begin{equation*}
x=0, \quad y=\frac{\kappa_0}{2} s^2, \quad z=\frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3 . \tag{6.8}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/c0ca57.jpg)
 
 它们的图像如图 2.6 所示．从图上可以见到，曲线在 $s=0$ 处是穿过曲线在该点的密切平面的．密切平面的正定向是由次法向量 $\gamma(0)$ 确定的．当 $\tau_0>0$ 时，曲线是从下而上地穿过密切平面的；而当 $\tau_0<0$时，曲线是从上而下地穿过密切平面的．这就是挠率的正、负号的几何意义。

两条相交的曲线在交点附近的接近程度是用所谓的切触阶来刻画的．设曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 相交于点 $p_0$ ，在 $C_1$ 和 $C_2$ 上各取一点 $p_1$ 和 $p_2$ ，使得曲线 $C_1$ 在点 $p_0$ 和 $p_1$ 之间的弧长是 $\Delta s, C_2$ 在点 $p_0$ 和 $p_2$ 之间的弧长也是 $\Delta s$ ，若有正整数 $n$ 使得

$$
\begin{equation*}
\lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\left|p_1 p_2\right|}{(\Delta s)^n}=0, \quad \lim _{\Delta s \rightarrow 0} \frac{\left|p_1 p_2\right|}{(\Delta s)^{n+1}} \neq 0 \tag{6.9}
\end{equation*}
$$

则称曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在交点 $p_0$ 处有 $n$ 阶切触．
定理 6.1 设曲线 $r_1(s)$ 和 $r_2(s)$ 都以 $s$ 为它们的弧长参数，且 $r_1(0)=r_2(0)$ ，则它们在 $s=0$ 处有 $n$ 阶切触的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_1^{(i)}(0)=\boldsymbol{r}_2^{(i)}(0), \quad \forall 1 \leq i \leq n ; \quad \boldsymbol{r}_1^{(n+1)}(0) \neq \boldsymbol{r}_2^{(n+1)}(0) . \tag{6.10}
\end{equation*}
$$

证明 实际上，在条件（6．10）下，由 Taylor 展开式得到

$$
\boldsymbol{r}_1(s)-\boldsymbol{r}_2(s)=\frac{s^{n+1}}{(n+1)!}\left(\boldsymbol{r}_1^{(n+1)}(0)-\boldsymbol{r}_2^{(n+1)}(0)\right)+\boldsymbol{o}\left(s^{n+1}\right)
$$

因此

$$
\begin{array}{rl}
\lim _{s \rightarrow 0} \frac{\left|r_1(s)-r_2(s)\right|}{s^n}=0 & \\
\lim _{s \rightarrow 0} \frac{\left|r_1(s)-r_2(s)\right|}{s^{n+1}}=\frac{1}{(n+1)!}\left|r_1^{(n+1)}(0)-r_2^{(n+1)}(0)\right| \neq 0 & 0
\end{array}
$$

反之亦然．证毕．
由此可见，一条正则曲线与由它的 Taylor 展开式的前 $n+1$ 项之和给出的曲线在该点处至少有 $n$ 阶切触．正则曲线与它的切线至少有 1 阶切触，与它在一点处的近似曲线在该点至少有 2 阶切触．
作为定理 6.1 的推论，两条相交的正则曲线在交点处有 2 阶以上的切触的充分必要条件是，这两条曲线相切、有相同的密切平面和相同的曲率．实际上，由定理6．1，两条相交的正则曲线在交点 $s=0$ 处有 2 阶以上的切触的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
r_1(0)=r_2(0), \quad r_1^{(1)}(0)=r_2^{(1)}(0), \quad r_1^{(2)}(0)=r_2^{(2)}(0) \tag{6.11}
\end{equation*}
$$

前两式说明这两条曲线相切，第三式意味着

$$
\kappa_1(0) \boldsymbol{\beta}_1(0)=\kappa_2(0) \boldsymbol{\beta}_2(0)
$$

即

$$
\kappa_1(0)=\kappa_2(0), \quad \boldsymbol{\beta}_1(0)=\boldsymbol{\beta}_2(0)
$$

对于曲线 $r=\boldsymbol{r}(s)$ 上 $\kappa\left(s_0\right)>0$ 的点 $s=s_0$ ，还可以在该点的密切平面上构造一条特殊的平面曲线，即在 $r\left(s_0\right)$ 处的密切平面上作以 $\boldsymbol{r}\left(s_0\right)+\boldsymbol{\beta}\left(s_0\right) / \kappa\left(s_0\right)$ 为中心、以 $1 / \kappa\left(s_0\right)$ 为半径的圆周，这个圆周与原曲线在 $s=s_0$ 处相切，有相同的密切平面，并且曲率是 $\kappa\left(s_0\right)$ ，因此它与原曲线在点 $s=s_0$ 处有 2 阶以上的切触．通常称这个圆周为曲线
$\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)$ 在点 $s=s_0$ 处的 曲率圆，其圆心 $\boldsymbol{r}\left(s_0\right)+\boldsymbol{\beta}\left(s_0\right) / \kappa\left(s_0\right)$ 称为曲线在 $s=s_0$ 处的曲率中心，其半径 $1 / \kappa\left(s_0\right)$ 称为曲线在 $s=s_0$ 处的曲率半径．曲率圆形象地反映了曲线在一点处的弯曲程度．

设曲线 $C$ 的参数方程是 $r=r(s), s$ 是弧长参数，它的曲率和挠率都不为零。设球面 $\Sigma$ 与曲线 $C$ 在对应于参数 $s=0$ 的点 $p_0$ 处相交，用 $\left\{p_0 ; \boldsymbol{\alpha}_0, \boldsymbol{\beta}_0, \boldsymbol{\gamma}_0\right\}$ 记曲线 $C$ 在点 $p_0$ 的 Frenet 标架，则球面 $\Sigma$ 的球心 $A$ 可以设为

$$
\begin{equation*}
\overrightarrow{p_0 A}=a \boldsymbol{\alpha}_0+b \boldsymbol{\beta}_0+c \boldsymbol{\gamma}_0, \quad a^2+b^2+c^2=r^2 \tag{6.12}
\end{equation*}
$$

其中 $r$ 是球面 $\Sigma$ 的半径．把曲线 $C$ 上的点 $r(s)$ 记为 $p$ ，则由（6．4）式得到

$$
\begin{aligned}
|p A|^2-r^2= & \left(s-\frac{\kappa_0^2}{6} s^3+o\left(s^3\right)-a\right)^2+\left(\frac{\kappa_0}{2} s^2+\frac{\kappa_0^{\prime}}{6} s^3+o\left(s^3\right)-b\right)^2 \\
& +\left(\frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3+o\left(s^3\right)-c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right) \\
= & -2 a\left(s-\frac{\kappa_0^2}{6} s^3+o\left(s^3\right)\right)+\left(s-\frac{\kappa_0^2}{6} s^3+o\left(s^3\right)\right)^2 \\
& -2 b\left(\frac{\kappa_0}{2} s^2+\frac{\kappa_0^{\prime}}{6} s^3+o\left(s^3\right)\right)+\left(\frac{\kappa_0}{2} s^2+\frac{\kappa_0^{\prime}}{6} s^3+o\left(s^3\right)\right)^2 \\
& -2 c\left(\frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3+o\left(s^3\right)\right)+\left(\frac{\kappa_0 \tau_0}{6} s^3+o\left(s^3\right)\right)^2
\end{aligned}
$$

因此曲线 $C$ 和球面 $\Sigma$ 有 1 阶以上的切触的条件是 $a=0$ ．在此条件
下，上式成为

$$
|p A|^2-r^2=s^2-b\left(\kappa_0 s^2+\frac{\kappa_0^{\prime}}{3} s^3\right)-c \frac{\kappa_0 \tau_0}{3} s^3+o\left(s^3\right),
$$

因此曲线 $C$ 和球面 $\Sigma$ 有 2 阶以上的切触的条件是

$$
\begin{equation*}
a=0, \quad b=\frac{1}{\kappa_0} . \tag{6.13}
\end{equation*}
$$

在此条件下，上式成为

$$
|p A|^2-r^2=-\frac{\kappa_0^{\prime}}{3 \kappa_0} s^3-c \frac{\kappa_0 \tau_0}{3} s^3+o\left(s^3\right)
$$

由此可见，曲线 $C$ 和球面 $\Sigma$ 有 3 阶以上切触的条件是

$$
\begin{equation*}
a=0, \quad b=\frac{1}{\kappa_0}, \quad c=-\frac{\kappa_0^{\prime}}{\kappa_0^2 \tau_0}=\left.\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^{\prime}\right|_{s=0}, \tag{6.14}
\end{equation*}
$$

并且一般说来，曲线 $C$ 和球面 $\Sigma$ 的最高切触阶只能是 3 ．上面的结果可以叙述成如下的定理：

定理 $6.2 C: r=r(s)$ 是曲率和挠率都不为零的正则参数曲线，$s$ 是弧长参数，则在 $s$ 处与曲线 $C$ 有 3 阶以上切触的球面 $\Sigma$ 的球心是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)} \boldsymbol{\beta}(s)+\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^{\prime} \gamma(s), \tag{6.15}
\end{equation*}
$$

半径是

$$
\begin{equation*}
\sqrt{\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^2+\left(\frac{1}{\tau(s)}\left(\frac{1}{\kappa(s)}\right)^{\prime}\right)^2} \text {. } \tag{6.16}
\end{equation*}
$$

该球面称为曲线 $C$ 在 $s$ 处的 密切球面，其球心所在的直线

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)} \boldsymbol{\beta}(s)+\lambda \boldsymbol{\gamma}(s) \tag{6.17}
\end{equation*}
$$

是通过曲线 $C$ 的曲率中心、垂直于密切平面的直线，称为曲线 $C$ 在 $s$ 处的 曲率轴．

最后我们要指出，构造曲线的 Frenet 标架的过程正是曲线的参数方程逐次求导的过程．实际上，Frenet 标架 $\{\boldsymbol{\alpha}(t), \boldsymbol{\beta}(t), \boldsymbol{\gamma}(t)\}$ 是 $\left\{\boldsymbol{r}^{\prime}(t), \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(t), \boldsymbol{r}^{\prime \prime \prime}(t)\right\}$ 经过 Schmidt 正交化得到的． $\boldsymbol{r}^{\prime}(t)$ 决定了曲线的切线，而曲线的曲率是曲线切线的方向关于弧长的变化率。 $r^{\prime}(t), r^{\prime \prime}(t)$决定了曲线的密切平面．如果曲线的密切平面的方向不变，则它必定是平面曲线．如果该曲线不是平面曲线，则它的密切平面的方向关于弧长的变化率是曲线的挠率，它反映了曲线的扭曲程度．很明显，曲线方程的更高次导数仍然能够表示成 Frenet 标架向量的线性组合，其系数是曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 及其各阶导数。

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