最后更新: 2026-06-02 19:56 查看: 5 次纠错评论(0) 课件开VIP

2.7 存在对应关系的曲线偶

§2．7 存在对应关系的曲线偶
本节我们要研究存在一定的对应关系的曲线偶．假定在正则参数曲线 $C_1: r=r_1(t)$ 和正则参数曲线 $C_2: r=r_2(u)$ 之间存在一个对应，这个对应可以用参数 $t$ 和 $u$ 之间的一个对应来表示，设为 $u=u(t)$ ．如果 $u^{\prime}(t) \neq 0$ ，则 $u=u(t)$ 可以认为是曲线 $C_2$ 的正则参数变换，于是曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间的对应成为曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间有相同参数的点之间的对应．

定义 7.1 如果在互不重合的曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间存在一个对应，使得它们在每一对对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为 Bertrand曲线偶，其中每一条曲线称为另外一条曲线的侣线，或共轭曲线。

每一条平面曲线都有侣线，构成 Bertrand 曲线偶．事实上，设 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)$ 是在平面上的一条曲线，以 $s$ 为它的弧长参数．于是， $\boldsymbol{r}^{\prime}(s)$是曲线的单位切向量场，因此

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}^{\prime \prime}(s)=\kappa(s) \boldsymbol{n}(s), \tag{7.1}
\end{equation*}
$$

这里 $n(s)$ 是沿曲线定义的法向量场．命

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_1(s)=\boldsymbol{r}(s)+\lambda \boldsymbol{n}(s) \tag{7.2}
\end{equation*}
$$

其中 $\lambda$ 是任意给定的一个非零实数，则

$$
\boldsymbol{r}_1^{\prime}(s)=\boldsymbol{r}^{\prime}(s)+\lambda \boldsymbol{n}^{\prime}(s),
$$

因此

$$
\boldsymbol{r}_1^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}(s)=\boldsymbol{r}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}(s)+\lambda \boldsymbol{n}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{n}(s)=0
$$

所以 $n(s)$ 也是曲线 $r_1(s)$ 的法向量场．由此可见，曲线 $r(s)$ 和 $r_1(s)$在对应点有相同的法线（也是主法线）．因此，寻求 Bertrand 曲线偶应该在空间挠曲线（即挠率不为零的曲线）中去找．

定理 7.1 设曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 是 Bertrand 曲线偶，则 $C_1$ 和 $C_2$ 的对应点之间的距离是常数，并且 $C_1$ 和 $C_2$ 在对应点的切线成定角．

证明 设曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的参数方程分别是 $r_1(s)$ 和 $r_2(s)$ ，并且曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间的对应是有相同参数的点之间的对应，而且 $s$ 是曲线 $C_1$ 的弧长参数．用 $\left\{\boldsymbol{r}_1(s) ; \boldsymbol{\alpha}_1(s), \boldsymbol{\beta}_1(s), \boldsymbol{\gamma}_1(s)\right\}$ 表示曲线 $C_1$ 的 Frenet标架，用 $\left\{\boldsymbol{r}_2(s) ; \boldsymbol{\alpha}_2(s), \boldsymbol{\beta}_2(s), \boldsymbol{\gamma}_2(s)\right\}$ 表示曲线 $C_2$ 的 Frenet 标架，但是参数 $s$ 未必是曲线 $r_2(s)$ 的弧长参数，假定曲线 $r_2(s)$ 的弧长参数是 $\tilde{s}$ ．因为曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在对应点有相同的主法线，故

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_2(s)=\boldsymbol{r}_1(s)+\lambda(s) \boldsymbol{\beta}_1(s), \tag{7.3}
\end{equation*}
$$

并且 $\boldsymbol{\beta}_1(s)= \pm \boldsymbol{\beta}_2(s)$ ．利用 Frenet 公式，对（7．3）式求导数得到

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{\alpha}_2(s) \frac{\mathrm{d} \tilde{s}}{\mathrm{~d} s} & =\boldsymbol{\alpha}_1(s)+\lambda^{\prime}(s) \boldsymbol{\beta}_1(s)+\lambda(s)\left(-\kappa_1(s) \boldsymbol{\alpha}_1(s)+\tau_1(s) \boldsymbol{\gamma}_1(s)\right) \\
& =\left(1-\lambda(s) \kappa_1(s)\right) \boldsymbol{\alpha}_1(s)+\lambda^{\prime}(s) \boldsymbol{\beta}_1(s)+\lambda(s) \tau_1(s) \gamma_1(s) \tag{7.4}
\end{align*}
$$

因为 $\boldsymbol{\beta}_1(s)= \pm \boldsymbol{\beta}_2(s)$ ，所以

$$
\boldsymbol{\alpha}_2(s) \cdot \boldsymbol{\beta}_2(s) \frac{\mathrm{d} \tilde{s}}{\mathrm{~d} s}= \pm \lambda^{\prime}(s) \boldsymbol{\beta}_1(s) \cdot \boldsymbol{\beta}_1(s)=0
$$

即 $\lambda^{\prime}(s)=0, \lambda(s)=\lambda=$ 常数，故

$$
\left|\boldsymbol{r}_2(s)-\boldsymbol{r}_1(s)\right|=\left|\lambda(s) \boldsymbol{\beta}_1(s)\right|=|\lambda| .
$$

对 $\boldsymbol{\alpha}_1(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}_2(s)$ 求导得到

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s}\left(\boldsymbol{\alpha}_1(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}_2(s)\right)=\kappa_1(s) \boldsymbol{\beta}_1(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}_2(s)+\kappa_2(s) \boldsymbol{\alpha}_1(s) \cdot \boldsymbol{\beta}_2(s) \frac{\mathrm{d} \tilde{s}}{\mathrm{~d} s}=0
$$

故曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 在对应点的切线成定角．证毕．
定理 7.2 设正则参数曲线 $C$ 的曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 都不是零，则存在另一条正则参数曲线 $C_1$ ，使得曲线 $C_1$ 和 $C$ 成为 Bertrand 曲线偶的充分必要条件是，存在常数 $\lambda \neq 0$ 和 $\mu$ ，使得

$$
\lambda \kappa+\mu \tau=1 .
$$

证明 设曲线 $C$ 有侣线 $C_1$ ，它们的参数方程分别是 $\boldsymbol{r}(s)$ 和 $\boldsymbol{r}_1(s)$ ，并且曲线 $C$ 和 $C_1$ 的对应是有相同参数的点之间的对应，而且 $s$ 是曲线 $C$ 的弧长参数．设 $\tilde{s}$ 是曲线 $C_1$ 的弧长参数．用 $\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \boldsymbol{\gamma}(s)\}$表示曲线 $C$ 的 Frenet 标架，则根据定理 7.1 的证明有

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}_1(s) \frac{\mathrm{d} \tilde{s}}{\mathrm{~d} s}=(1-\lambda \kappa(s)) \boldsymbol{\alpha}(s)+\lambda \tau(s) \boldsymbol{\gamma}(s), \tag{7.5}
\end{equation*}
$$

其中 $\lambda \neq 0$ ，因此

$$
\left|\frac{\mathrm{d} \tilde{s}}{\mathrm{~d} s}\right|^2=(1-\lambda \kappa(s))^2+(\lambda \tau(s))^2
$$

在另一方面， $\boldsymbol{\alpha}(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}_1(s)=$ 常数，并且从（7．5）式得到

$$
\boldsymbol{\alpha}(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}_1(s) \frac{\mathrm{d} \tilde{s}}{\mathrm{~d} s}=1-\lambda \kappa(s)
$$

所以

$$
\frac{1-\lambda \kappa(s)}{\sqrt{(1-\lambda \kappa(s))^2+(\lambda \tau(s))^2}}=\text { 常数, }
$$

故

$$
\frac{1-\lambda \kappa(s)}{\tau(s)}=\mu=\text { 常数, }
$$

即

$$
\lambda \kappa(s)+\mu \tau(s)=1 .
$$

反过来，设正则参数曲线 $C$ 的参数方程是 $r(s), s$ 是弧长参数，并且它的曲率 $\kappa$ 和挠率 $\tau$ 满足关系式 $\lambda \kappa(s)+\mu \tau(s)=1$ ，其中 $\lambda \neq 0$和 $\mu$ 是常数．构作曲线 $C_1$ ，使它的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_1(s)=\boldsymbol{r}(s)+\lambda \boldsymbol{\beta}(s), \tag{7.6}
\end{equation*}
$$

则

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_1^{\prime}(s) & =\boldsymbol{\alpha}(s)+\lambda(-\kappa(s) \boldsymbol{\alpha}(s)+\tau(s) \boldsymbol{\gamma}(s)) \\
& =(1-\lambda \kappa(s)) \boldsymbol{\alpha}(s)+\lambda \tau(s) \boldsymbol{\gamma}(s) \\
& =\mu \tau(s) \boldsymbol{\alpha}(s)+\lambda \tau(s) \boldsymbol{\gamma}(s)
\end{aligned}
$$

因此，曲线 $r_1(s)$ 的单位切向量是

$$
\boldsymbol{\alpha}_1(s)=\frac{\mu}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}} \boldsymbol{\alpha}(s)+\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}} \boldsymbol{\gamma}(s),
$$

于是

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\alpha}_1^{\prime}(s) \frac{\mathrm{d} \tilde{s}}{\mathrm{~d} s} & =\kappa_1(s) \boldsymbol{\beta}_1(s) \frac{\mathrm{d} \tilde{s}}{\mathrm{~d} s} \\
& =\left(\frac{\mu}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}} \kappa(s)-\frac{\lambda}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}} \tau(s)\right) \boldsymbol{\beta}(s),
\end{aligned}
$$

所以 $\boldsymbol{\beta}_1(s)= \pm \boldsymbol{\beta}(s), C_1$ 和 $C$ 成为 Bertrand 曲线偶．证毕．
定义 7.2 如果在曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 之间存在一个对应，使得曲线 $C_1$ 在任意一点的切线恰好是曲线 $C_2$ 在对应点的法线，则称曲线 $C_2$是 $C_1$ 的 渐伸线，同时称曲线 $C_1$ 是 $C_2$ 的 渐缩线（参看图 2．7）．

![图片](/uploads/2026-06/1b6f18.jpg)
 
 定理 7.3 设正则参数曲线 $C$ 的参数方程是 $\boldsymbol{r}(s), s$ 是弧长参数，则 $C$ 的渐伸线的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)+(c-s) \boldsymbol{\alpha}(s), \tag{7.7}
\end{equation*}
$$

其中 $c$ 是任意的常数．
证明 设

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_1(s)=\boldsymbol{r}(s)+\lambda(s) \boldsymbol{\alpha}(s) \tag{7.8}
\end{equation*}
$$

是曲线 $C$ 的渐伸线，因此 $\alpha(s)$ 应该是曲线 $r_1(s)$ 的法向量．对（7．8）式求导得到

$$
\boldsymbol{r}_1^{\prime}(s)=\left(1+\lambda^{\prime}(s)\right) \boldsymbol{\alpha}(s)+\lambda(s) \kappa(s) \boldsymbol{\beta}(s),
$$

将上式两边与 $\boldsymbol{\alpha}(s)$ 作点乘得到

$$
1+\lambda^{\prime}(s)=r_1^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{\alpha}(s)=0
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\lambda(s)=c-s . \tag{7.9}
\end{equation*}
$$

把（7．9）式代入（7．8）式便得到所要的结果．证毕．

曲线的渐缩线可以看作该曲线的切线族的正交轨线，而（7．7）式可以解释为：将一条软线沿曲线放置，把一端固定，另一端慢慢离开原曲线，并且把软线抻直，使软线抻直的部分始终保持为原曲线的切线，则这另一端描出的曲线就是原曲线的渐伸线．

定理 7.4 设正则参数曲线 $C$ 的参数方程是 $\boldsymbol{r}(s), s$ 是弧长参数，则 $C$ 的渐缩线的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)+\frac{1}{\kappa(s)} \boldsymbol{\beta}(s)-\frac{1}{\kappa(s)}\left(\tan \int \tau(s) \mathrm{d} s\right) \boldsymbol{\gamma}(s) \tag{7.10}
\end{equation*}
$$

证明 设

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_1(s)=\boldsymbol{r}(s)+\lambda(s) \boldsymbol{\beta}(s)+\mu(s) \boldsymbol{\gamma}(s) \tag{7.11}
\end{equation*}
$$

是曲线 $C$ 的渐缩线，那么 $\lambda(s) \boldsymbol{\beta}(s)+\mu(s) \boldsymbol{\gamma}(s)$ 应该是曲线 $\boldsymbol{r}_1(s)$ 的切向量．对（7．11）式求导得到

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_1^{\prime}(s)= & (1-\lambda(s) \kappa(s)) \boldsymbol{\alpha}(s)+\left(\lambda^{\prime}(s)-\mu(s) \tau(s)\right) \boldsymbol{\beta}(s) \\
& +\left(\mu^{\prime}(s)+\lambda(s) \tau(s)\right) \boldsymbol{\gamma}(s)
\end{aligned}
$$

因此 $\lambda(s) \boldsymbol{\beta}(s)+\mu(s) \boldsymbol{\gamma}(s)$ 与 $\boldsymbol{r}_1^{\prime}(s)$ 平行，即

$$
\begin{equation*}
\lambda(s) \kappa(s)=1, \quad \frac{\lambda^{\prime}(s)-\mu(s) \tau(s)}{\lambda(s)}=\frac{\mu^{\prime}(s)+\lambda(s) \tau(s)}{\mu(s)} . \tag{7.12}
\end{equation*}
$$

从（7．12）式的第二式得到

$$
\lambda^{\prime}(s) \mu(s)-\mu^{\prime}(s) \lambda(s)=\left(\lambda^2(s)+\mu^2(s)\right) \tau(s)
$$

因此

$$
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} s} \arctan \left(\frac{\mu(s)}{\lambda(s)}\right)=-\tau(s),
$$

故

$$
\arctan \left(\frac{\mu(s)}{\lambda(s)}\right)=-\int \tau(s) \mathrm{d} s
$$

所以将上式和（7．12）式的第一式合起来得到

$$
\lambda(s)=\frac{1}{\kappa(s)}, \quad \mu(s)=-\frac{1}{\kappa(s)} \tan \int \tau(s) \mathrm{d} s .
$$

证毕．

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