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2.8 平面曲线

§2．8 平面曲线
平面曲线可以看作挠率为零的空间曲线（定理4．1），因此前面的讨论适用于平面曲线的情形．但是平面曲线有它自身的特点，因此本节只限于平面本身（而不考虑外围的空间）研究其中的曲线的弯曲性质．

在平面 $E^2$ 的右手笛卡儿直角坐标系下，曲线 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)$ 可以表示为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(s)=(x(s), y(s)), \tag{8.1}
\end{equation*}
$$

其中 $s$ 是弧长参数，因此它的单位切向量是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}(s)=\left(x^{\prime}(s), y^{\prime}(s)\right), \quad\left(x^{\prime}(s)\right)^2+\left(y^{\prime}(s)\right)^2=1 . \tag{8.2}
\end{equation*}
$$

因为 $E^2$ 是有向平面，故可以把 $\boldsymbol{\alpha}(s)$ 沿正向旋转 $90^{\circ}$ 得到唯一的一个与 $\boldsymbol{\alpha}(s)$ 垂直的单位向量 $\boldsymbol{\beta}(s)$ ，很明显

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\beta}(s)=\left(-y^{\prime}(s), x^{\prime}(s)\right) . \tag{8.3}
\end{equation*}
$$

这样，沿平面曲线 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)$ 有一个定义好的右手单位正交标架场 $\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s)\}$ ，它在平面曲线的理论中所担当的角色相当于空间曲线的 Frenet 标架，称为平面曲线的 Frenet 标架．值得指出的是，平面曲线的 Frenet 标架场 $\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s)\}$ 的确定只用到曲线参数方程的一阶导数， $\boldsymbol{\beta}(s)$ 是曲线的法向量，它与曲线的主法向量可能差一个正负号。

由于 $\boldsymbol{\alpha}(s)$ 是单位向量场，故有 $\boldsymbol{\alpha}(s) \perp \boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s)$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s)$ 是 $\boldsymbol{\beta}(s)$ 的倍数，设为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s)=\kappa_r(s) \boldsymbol{\beta}(s), \tag{8.4}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/ddb8aa.jpg)
 
 因此

$$
\begin{align*}
\kappa_r(s) & =\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s) \cdot \boldsymbol{\beta}(s)=-x^{\prime \prime}(s) y^{\prime}(s)+y^{\prime \prime}(s) x^{\prime}(s) \\
& =\left|\begin{array}{cc}
x^{\prime}(s) & y^{\prime}(s) \\
x^{\prime \prime}(s) & y^{\prime \prime}(s)
\end{array}\right| \tag{8.5}
\end{align*}
$$

我们把 $\kappa_r(s)$ 称为平面曲线 $r=r(s)$ 的相对曲率．如果该曲线的曲率是 $\kappa(s)$ ，则有

$$
\kappa_r(s)= \pm \kappa(s)
$$

其中＂+ ＂号表示曲线朝 $\boldsymbol{\beta}(s)$ 所指的方向弯曲， $\boldsymbol{\beta}(s)$ 恰好是曲线的主法向量，而＂－＂号表示曲线朝 $\boldsymbol{\beta}(s)$ 所指的相反方向弯曲，曲线的主法向量是 $-\boldsymbol{\beta}(s)$（见图 2．8）．

平面曲线的 Frenet 标架的运动公式成为

$$
\begin{array}{rlr}
\boldsymbol{r}^{\prime}(s) & =\quad \boldsymbol{\alpha}(s), & \\
\boldsymbol{\alpha}^{\prime}(s) & = & \kappa_r(s) \boldsymbol{\beta}(s),  \tag{8.6}\\
\boldsymbol{\beta}^{\prime}(s) & =-\kappa_r(s) \boldsymbol{\alpha}(s) . &
\end{array}
$$

平面曲线的曲率中心是 $\boldsymbol{r}(s)+\boldsymbol{\beta}(s) / \kappa_r(s)$ ，这也是平面曲线的渐缩线的参数方程．

用 $\theta(s)$ 表示单位切向量 $\alpha(s)$ 与 $x$ 轴的正向所构成的角，称为向量 $\boldsymbol{\alpha}(s)$ 的方向角．方向角是一个多值函数，但是在 $s$ 的一个小范围内总是可以取出函数 $\theta(s)$ 的一个连续分支．此时

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}(s)=(\cos \theta(s), \sin \theta(s)), \quad \boldsymbol{\beta}(s)=(-\sin \theta(s), \cos \theta(s)), \tag{8.7}
\end{equation*}
$$

即

$$
\begin{equation*}
x^{\prime}(s)=\cos \theta(s), \quad y^{\prime}(s)=\sin \theta(s) \tag{8.8}
\end{equation*}
$$

再求导得到

$$
x^{\prime \prime}(s)=-\sin \theta(s) \cdot \theta^{\prime}(s), \quad y^{\prime \prime}(s)=\cos \theta(s) \cdot \theta^{\prime}(s)
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\kappa_r(s)=\frac{\mathrm{d} \theta(s)}{\mathrm{d} s} \tag{8.9}
\end{equation*}
$$

上面的式子清楚地说明了相对曲率 $\kappa_r(s)$ 的几何意义．对于平面曲线来说，曲线论基本定理成为下面的显式表达式

$$
\begin{align*}
& \theta(s)=\theta\left(s_0\right)+\int_{s_0}^s \kappa_r(s) \mathrm{d} s \\
& x(s)=x\left(s_0\right)+\int_{s_0}^s \cos \theta(s) \mathrm{d} s  \tag{8.10}\\
& y(s)=y\left(s_0\right)+\int_{s_0}^s \sin \theta(s) \mathrm{d} s
\end{align*}
$$

若平面曲线 $r=r(t)$ 的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t)), \tag{8.11}
\end{equation*}
$$

其中 $t$ 未必是弧长参数．曲线的弧长元素是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} s=\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t=\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^2+\left(y^{\prime}\right)^2} \mathrm{~d} t, \tag{8.12}
\end{equation*}
$$
因此它的单位切向量是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\alpha}(t)=\frac{\boldsymbol{r}^{\prime}(t)}{\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right|}=\left(\frac{x^{\prime}}{\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^2+\left(y^{\prime}\right)^2}}, \frac{y^{\prime}}{\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^2+\left(y^{\prime}\right)^2}}\right), \tag{8.13}
\end{equation*}
$$

法向量是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{\beta}(t)=\left(-\frac{y^{\prime}}{\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^2+\left(y^{\prime}\right)^2}}, \frac{x^{\prime}}{\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^2+\left(y^{\prime}\right)^2}}\right) . \tag{8.14}
\end{equation*}
$$

因此曲线 $C$ 的相对曲率是

$$
\begin{align*}
\kappa_r(t) & =\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{\alpha}(t)}{\mathrm{d} s} \cdot \boldsymbol{\beta}(t)=\frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} s} \cdot \boldsymbol{\alpha}^{\prime}(t) \cdot \boldsymbol{\beta}(t) \\
& =\frac{x^{\prime}(t) y^{\prime \prime}(t)-x^{\prime \prime}(t) y^{\prime}(t)}{\sqrt{\left(\left(x^{\prime}\right)^2+\left(y^{\prime}\right)^2\right)^3}} \tag{8.15}
\end{align*}
$$

对于整条平面曲线 $r=r(s)(a \leq s \leq b)$ 而言，也能取出其方向角的连续分支 $\theta(s)$ ．事实上，在每一点处单位切向量 $\alpha(s)$ 的方向角确定到差 $2 \pi$ 的整数倍．这样，我们可以将区间划分得充分的小，设为
$$
a=s_0<s_1<\cdots<s_n=b
$$

使得在每一段小区间 $\left[s_i, s_{i+1}\right]$ 上，方向角的连续分支 $\theta(s)$ 的变差不超过 $\pi$ 。然后，从区间 $\left[s_0, s_1\right]$ 的一个连续分支出发，依次唯一地确定了各个区间 $\left[s_i, s_{i+1}\right]$ 上的连续分支 $\theta(s)$ ，最终得到定义在整条曲线上的方向角连续分支 $\theta(s)$ 。由此可见，方向角的任意两个连续分支 $\theta(s)$ 和 $\tilde{\theta}(s)$ 之间差 $2 \pi$ 的一个整数倍，即有整数 $k$ ，使得

$$
\tilde{\theta}(s)-\theta(s)=2 k \pi .
$$

由于左边是 $s$ 的连续函数，因此 $k$ 只能是常数，故一条平面曲线的方向角的总变差与连续分支的取法无关，即

$$
\tilde{\theta}(b)-\tilde{\theta}(a)=\theta(b)-\theta(a) .
$$

根据（8．9）式得知

$$
\begin{equation*}
\theta(b)-\theta(a)=\int_a^b \kappa_r(s) \mathrm{d} s \tag{8.16}
\end{equation*}
$$

如果 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s), a \leq s \leq b$ 是 $E^2$ 上的一条光滑曲线，并且

$$
\boldsymbol{r}(b)=\boldsymbol{r}(a), \quad \boldsymbol{r}^{\prime}(b)=\boldsymbol{r}^{\prime}(a), \quad \boldsymbol{r}^{\prime \prime}(b)=\boldsymbol{r}^{\prime \prime}(a), \quad \cdots
$$

则称它为光滑闭曲线．如果 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s), a \leq s \leq b$ 是若干段光滑曲线首尾相接而成的，并且 $\boldsymbol{r}(b)=\boldsymbol{r}(a)$ ，则称它是分段光滑的闭曲线．

如果 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s), a \leq s \leq b$ 是 $E^2$ 上的一条闭曲线，并且对于任意的 $a \leq s_1<s_2<b$ ，都有

$$
\boldsymbol{r}\left(s_1\right) \neq \boldsymbol{r}\left(s_2\right),
$$

则称该曲线是简单的．简单闭曲线就是没有自交点的闭曲线．
对于连续可微的闭曲线

$$
C: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s), \quad a \leq s \leq b,
$$

它的单位切向量 $\boldsymbol{\alpha}(s)$ 绕曲线转一圈回到起点时与原来的单位切向量重合，因此方向角的总变差 $\theta(b)-\theta(a)$ 一定是 $2 \pi$ 的整数倍，它与方向角连续分支 $\boldsymbol{\alpha}(s)$ 的选取无关。命

$$
\begin{equation*}
i(C)=\frac{1}{2 \pi}(\theta(b)-\theta(a)), \tag{8.17}
\end{equation*}
$$

称为连续可微闭曲线 $C$ 的旋转指标．
定理 8.1 若 $C$ 是平面 $E^2$ 上一条连续可微的简单闭曲线，则它的旋转指标 $i(C)= \pm 1$ ．

这是曲线的大范围微分几何性质，其直观意义是明显的，但是它的证明不是很简单．若 $C$ 是分段光滑的简单闭曲线，则曲线的方向角的总变差是

$$
\begin{equation*}
\theta(b)-\theta(a)=\int_a^b \kappa_r(s) \mathrm{d} s+\sum_i \theta_i \tag{8.18}
\end{equation*}
$$

这里 $\theta_i$ 是曲线在各个角点处的外角，$-\pi<\theta_i<\pi$ ，即

$$
\begin{equation*}
\theta_i=\angle\left(\boldsymbol{\alpha}\left(s_i-0\right), \boldsymbol{\alpha}\left(s_i+0\right)\right), \tag{8.19}
\end{equation*}
$$

其中 $s_i$ 是曲线的角点所对应的参数，曲线在每一段区间 $\left(s_i, s_{i+1}\right)$ 上是连续可微的．在上述意义下，旋转指标定理对于分段连续可微的简单闭曲线仍然是成立的．

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