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3.1 正则参数曲面

第三章 曲面的第一基本形式

本章主要介绍 $E^3$ 中正则参数曲面的基本概念，以及外围空间 $E^3$的欧氏内积在正则参数曲面上诱导的度量形式，即曲面的第一基本形式。在曲面上与度量性质有关的量都能够借助于曲面的第一基本形式进行计算。第一基本形式是曲面参数的二次微分形式，而曲面的参数容许作一定的变换。我们要证明在曲面上能够选取适当的参数使得第一基本形式只含有参数微分的平方项，从而使关于曲面的计算变得简单了，该参数系称为曲面的正交参数系．最后我们在本章要研究能与平面建立等距对应的曲面，即可展曲面，这类曲面有许多特别的性质．
§3．1 正则参数曲面
所谓的参数曲面 $S$ 是指从 $E^2$ 的一个区域 $D$ 到空间 $E^3$ 的一个连续映射 $S: D \rightarrow E^3$ 。若在 $E^2$ 和 $E^3$ 中分别建立了笛卡儿直角坐标系，用 $(u, v)$ 记 $E^2$ 中点的坐标，用 $(x, y, z)$ 记 $E^3$ 中点的坐标，则参数曲面 $S$ 的方程可以表示为

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(u, v),  \tag{1.1}\\
y=y(u, v), \\
z=z(u, v),
\end{array} \quad(u, v) \in D,\right.
$$

或者写成向量方程的形式

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) . \tag{1.2}
\end{equation*}
$$

对于本书要研究的曲面，首先假定函数 $x(u, v), y(u, v), z(u ; v)$ 有连续的 3 次以上的各阶偏导数。

自变量 $u, v$ 称为曲面 $S$ 的参数．在曲面 $S$ 上取定一点 $p_0, \overrightarrow{O p_0}= \boldsymbol{r}\left(u_0, v_0\right)$ ．如果让参数 $u$ 固定，$u=u_0$ ，而让参数 $v$ 变化，则动点描

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 出一条落在曲面 $S$ 上的曲线 $r\left(u_0, v\right)$ ，这条曲线称为在曲面 $S$ 上经过点 $p_0$ 的 $v$－曲线。同理，我们有曲面 $S$ 上经过点 $p_0$ 的 $u$－曲线 $\boldsymbol{r}\left(u, v_0\right)$ ，或记成 $v=v_0$ ．这样，在参数曲面上经过每一点有一条 $u$－曲线和一条 $v$－曲线，它们构成曲面上的参数曲线网．在区域 $D$ 上看，$u$－曲线和 $v$－曲线分别是 $E^2$ 中的坐标曲线．因此在直观上，参数曲面 $S$ 是把 $E^2$中的区域 $D$ 经过伸缩、扭曲等变形后放置到 $E^3$ 中的结果，此时 $E^2$中的坐标曲线网就变成了曲面 $S$ 上的参数曲线网．这就是说，从曲面 $S$ 上看，$(u, v)$ 可以作为曲面 $S$ 上的点的坐标，称为曲面上的 曲纹坐标（见图3．1）。

但是，要使 $(u, v)$ 真的能够具有曲面 $S$ 上的点的坐标的功能，必须要求在曲面 $S$ 和区域 $D$ 的点之间是一一对应的，然而方程（1．1）本身并不能保证这一点。为此，需要在方程（1．1）上加一些正则性条件。曲面 $S$ 的参数曲线在点 $p_0$ 的两个切向量是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_u\left(u_0, v_0\right)=\left.\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u}\right|_{\left(u_0, v_0\right)}, \quad \boldsymbol{r}_v\left(u_0, v_0\right)=\left.\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v}\right|_{\left(u_0, v_0\right)}, \tag{1.3}
\end{equation*}
$$

如果 $\boldsymbol{r}_u\left(u_0, v_0\right), \boldsymbol{r}_v\left(u_0, v_0\right)$ 是线性无关的，即 $\boldsymbol{r}_u \times\left.\boldsymbol{r}_v\right|_{\left(u_0, v_0\right)} \neq 0$ ，则称曲面 $S$ 在点 $p_0$ 是 正则的．今后我们所研究的曲面都是 3 次以上连续可微的、处处是正则点的参数曲面，称为 正则参数曲面．

设 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v),(u, v) \in D$ 是正则参数曲面．对于任意一点 $\left(u_0, v_0\right) \in D$ ，因为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_u \times\left.\boldsymbol{r}_v\right|_{\left(u_0, v_0\right)}=\left.\left(\frac{\partial(y, z)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(z, x)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right)\right|_{\left(u_0, v_0\right)} \neq 0 \tag{1.4}
\end{equation*}
$$

不妨设

$$
\left.\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right|_{\left(u_0, v_0\right)} \neq 0
$$

故由反函数定理得知，存在点 $\left(u_0, v_0\right)$ 在 $D$ 内的邻域 $U$ ，使得函数 $x=x(u, v), y=y(u, v)$ 在 $U$ 上有反函数

$$
u=u(x, y), \quad v=v(x, y)
$$

即它们满足恒等式

$$
x(u(x, y), v(x, y)) \equiv x, \quad y(u(x, y), v(x, y)) \equiv y
$$

这时，

$$
\begin{equation*}
z=z(u, v)=z(u(x, y), v(x, y)) \tag{1.5}
\end{equation*}
$$

将上式右端仍旧记为函数 $z(x, y)$ ，则曲面 $S$ 的参数方程成为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=(x, y, z(x, y)), \tag{1.6}
\end{equation*}
$$

于是区域 $U$ 与曲面 $\left.S\right|_U$ 之间的点的一一对应是由 $(u(x, y), v(x, y)) \leftrightarrow (x, y, z(x, y))$ 给出的．

上面的讨论还说明，正则参数曲面在任意一点的某个邻域内总是可以表示成类似于（1．5）式的形式，也就是说，正则参数曲面在局部上必定可以看作一个二元连续可微函数的图像。用（1．5）式给出曲面的方式称为 Monge 形式．用 Monge 形式给出的曲面都是正则的，因为函数 $z=z(x, y)$ 的图像的参数方程恰好是（1．6）式，因此

$$
\boldsymbol{r}_x=\left(1,0, z_x\right), \quad \boldsymbol{r}_y=\left(0,1, z_y\right),
$$

于是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_x \times \boldsymbol{r}_y=\left(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y}, 1\right) \neq 0 \tag{1.7}
\end{equation*}
$$

当然，正则参数曲面的参数容许作一定的变换．设

$$
\left\{\begin{array}{l}
u=u(\tilde{u}, \tilde{v}),  \tag{1.8}\\
v=v(\tilde{u}, \tilde{v}),
\end{array}\right.
$$

它们满足如下的条件：
（1）$u(\tilde{u}, \tilde{v}), v(\tilde{u}, \tilde{v})$ 都是 $\tilde{u}, \tilde{v}$ 的 3 次以上连续可微函数；
（2）$\frac{\partial(u, v)}{\partial(\tilde{u}, \tilde{v})} \neq 0$ ．
将上面的函数代入正则参数曲面的方程（1．2）得到

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{r} & =\boldsymbol{r}(u(\tilde{u}, \tilde{v}), v(\tilde{u}, \tilde{v})) \\
& =(x(u(\tilde{u}, \tilde{v}), v(\tilde{u}, \tilde{v})), y(u(\tilde{u}, \tilde{v}), v(\tilde{u}, \tilde{v})), z(u(\tilde{u}, \tilde{v}), v(\tilde{u}, \tilde{v}))) \tag{1.9}
\end{align*}
$$

于是它作为 $\tilde{u}, \tilde{v}$ 的函数仍然是 3 次以上连续可微的，并且

$$
\begin{align*}
\boldsymbol{r}_{\tilde{u}} & =\boldsymbol{r}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}}+\boldsymbol{r}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \\
\boldsymbol{r}_{\tilde{v}} & =\boldsymbol{r}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}}+\boldsymbol{r}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \\
\boldsymbol{r}_{\tilde{u}} \times \boldsymbol{r}_{\tilde{v}} & =\frac{\partial(u, v)}{\partial(\tilde{u}, \tilde{v})} \cdot\left(\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v\right) \neq 0 \tag{1.10}
\end{align*}
$$

由此可见，在经过如上的变量替换之后，得到的仍然是正则参数曲面．这就是说，正则参数曲面的性质在满足条件（1），（2）的参数变换（1．8）下是保持不变的．我们把满足条件（1）和（2）的参数变换（1．8）称为容许的参数变换．

我们还规定，向量 $r_u \times r_v$ 所指的一侧为曲面的正侧。因此，参数 $u, v$ 的次序决定了正则参数曲面的 定向．当参数 $u, v$ 的次序颠倒时，向量 $r_u \times r_v$ 就改变它的指向，正则参数曲面的定向也随之颠倒．

（1．10）式还表明，容许的参数变换（1．8）保持参数曲面的定向不变的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial(u, v)}{\partial(\tilde{u}, \tilde{v})}>0 . \tag{1.11}
\end{equation*}
$$

正则参数曲面的概念在应用中是十分方便、十分广泛的，但是有的曲面却不能够用一张正则参数曲面来表示，而是要把曲面分成若干块，然后每一块用正则参数曲面来表示．例如，球面的方程是 $x^2+y^2+ z^2=a^2$ ，上半球面的参数方程是

$$
z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \quad x^2+y^2<a^2 ;
$$

下半球面的参数方程则是

$$
z=-\sqrt{a^2-x^2-y^2}, \quad x^2+y^2<a^2 .
$$

即使如此，赤道上的点都还没有包含在内，要研究球面在赤道上的点的附近的性质，需要考虑球面上包含该点在内的一个区域的参数表示。由此可见，正则参数曲面只是表示曲面的一种手段，正则曲面的概念本身尚需另外定义．

定义 1.1 设 $S$ 是 $E^3$ 的一个子集．如果对于任意一点 $p \in S$ ，必存在点 $p$ 在 $E^3$ 中的一个邻域 $V \subset E^3$ ，以及 $E^2$ 中的一个区域 $U$ ，使得在 $U$ 和 $V \cap S$ 之间能够建立一一的、双向都是连续的对应，并且该对应 $r: U \rightarrow V \cap S \subset E^3$ 本身是一个正则参数曲面

$$
\boldsymbol{r}(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)), \quad(u, v) \in U
$$

则称 $S$ 是 $E^3$ 中的一张 正则曲面，简称为 曲面．
如果曲面 $S$ 有两个正则参数表示

$$
\boldsymbol{r}_i: U_i \rightarrow V_i \cap S \subset E^3, \quad i=1,2
$$

使得 $V_1 \cap V_2 \cap S \neq \emptyset$ ，那么在任意一点 $p \in V_1 \cap V_2 \cap S$ 的附近便有两组曲纹坐标 $\left(u_1, v_1\right)$ 和 $\left(u_2, v_2\right)$ ，而且它们之间必定有容许的参数变换．

事实上，设

$$
\begin{array}{ll}
\boldsymbol{r}_1\left(u_1, v_1\right)=\left(x_1\left(u_1, v_1\right), y_1\left(u_1, v_1\right), z_1\left(u_1, v_1\right)\right), & \forall\left(u_1, v_1\right) \in U_1 \\
\boldsymbol{r}_2\left(u_2, v_2\right)=\left(x_2\left(u_2, v_2\right), y_2\left(u_2, v_2\right), z_2\left(u_2, v_2\right)\right), & \forall\left(u_2, v_2\right) \in U_2
\end{array}
$$

那么在点 $p$ 的附近有

$$
\begin{align*}
& x=x_1\left(u_1, v_1\right)=x_2\left(u_2, v_2\right), \\
& y=y_1\left(u_1, v_1\right)=y_2\left(u_2, v_2\right),  \tag{1.12}\\
& z=z_1\left(u_1, v_1\right)=z_2\left(u_2, v_2\right) .
\end{align*}
$$

对于函数 $x=x_1\left(u_1, v_1\right), y=y_1\left(u_1, v_1\right)$ ，在正则性条件

$$
\frac{\partial\left(x_1, y_1\right)}{\partial\left(u_1, v_1\right)} \neq 0
$$

下，由反函数定理得知，在点 $p$ 所对应的参数 $\left(u_1^0, v_1^0\right)$ 的一个邻域内存在 3 次以上连续可微的反函数

$$
\begin{equation*}
u_1=f(x, y), \quad v_1=g(x, y), \tag{1.13}
\end{equation*}
$$

它们满足恒等式
$$
f\left(x_1\left(u_1, v_1\right), y_1\left(u_1, v_1\right)\right) \equiv u_1, \quad g\left(x_1\left(u_1, v_1\right), y_1\left(u_1, v_1\right)\right) \equiv v_1
$$

于是曲纹坐标 $\left(u_1, v_1\right)$ 和 $\left(u_2, v_2\right)$ 之间的变换是

$$
\begin{equation*}
u_1=f\left(x_2\left(u_2, v_2\right), y_2\left(u_2, v_2\right)\right), \quad v_1=g\left(x_2\left(u_2, v_2\right), y_2\left(u_2, v_2\right)\right) . \tag{1.14}
\end{equation*}
$$

很明显，$u_1, v_1$ 是 $u_2, v_2$ 的 3 次以上连续可微函数，并且

$$
\frac{\partial\left(u_1, v_1\right)}{\partial\left(u_2, v_2\right)}=\frac{\partial(f, g)}{\partial(x, y)} \cdot \frac{\partial\left(x_2, y_2\right)}{\partial\left(u_2, v_2\right)}=\frac{\partial\left(x_2, y_2\right)}{\partial\left(u_2, v_2\right)}\left(\frac{\partial\left(x_1, y_1\right)}{\partial\left(u_1, v_1\right)}\right)^{-1} \neq 0
$$

因此（1．14）是容许的参数变换．由此可见，在正则曲面上，容许的参数变换是自然而然地出现的，定义在正则曲面上的量应该是与它的正
则参数表示无关的量．如果在正则曲面的每一个正则参数表示下都定义了一个量，而它们在如同（1．14）式给出的变换下是保持相等的，则它们便在整个正则曲面上定义了一个完全确定的量．我们要研究的定义在曲面上的量应该具有这种不变性．

如果在正则曲面的每一点的邻域内都能够选定一个正则参数表示，使得在邻域重叠的部分其任意两组参数如同（1．14）式的变换都保持定向不变，则称这样的正则曲面是 可定向的。

在直观上看，正则曲面是把一片片正则参数曲面粘起来的结果．在我们的课程中着重研究的就是正则参数曲面以及它在容许参数变换下的不变量．

例 1 圆柱面 $x^2+y^2=a^2$ ．
圆柱面的一个正则参数表示是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)=(a \cos u, a \sin u, b v), \tag{1.15}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/3ab56b.jpg)

其中 $a>0$ 和 $b$ 是常数（见图 3．2）．若规定 $-\pi<u<\pi,-\infty<v<\infty$ ，则它所表示的是圆柱面上除去直线

$$
x=-1, \quad y=0, \quad z=b v
$$

后剩余的部分．若规定 $0<u<2 \pi,-\infty<v<\infty$ ，则它所表示的是圆柱面上除去直线

$$
x=1, \quad y=0, \quad z=b v
$$

后剩余的部分。这两部分包含了圆柱面上所有的点。如果把后面这部分圆柱面的参数表示的参数记为 $(\tilde{u}, \tilde{v})$ ，则在这两部分重叠的区域上有参数变换

$$
\tilde{u}=\left\{\begin{array}{lr}
u, & 0<u<\pi, \\
u+2 \pi, & -\pi<u<0,
\end{array} \quad \tilde{v}=v .\right.
$$

很明显，在重叠区域上有 $\frac{\partial(\tilde{u}, \tilde{v})}{\partial(u, v)}=1>0$ ，所以圆柱面是可定向曲面．

例 2 球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$（参看图 3．3）．
球面的常用的参数表示是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\theta, \varphi)=(a \cos \varphi \cos \theta, a \cos \varphi \sin \theta, a \sin \varphi), \tag{1.16}
\end{equation*}
$$

其中 $a>0$ 是常数．若规定 $-\pi<\theta<\pi,-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，则方程（1．16）所表示的是球面上除去从北极到南极、经过点 $(-a, 0,0)$ 的半个大圆周之后剩余的区域。

![图片](/uploads/2026-06/8a4dae.jpg)
 
 思考题：球面最少需要表示成几个正则参数曲面，才能把球面上所有的点都包括进来？
 
 例 3 旋转面。
圆柱面和球面都是旋转面的特例．一般地，假定 $C$ 是坐标平面 $O x z$ 上的一条曲线，它的参数方程是

$$
\begin{equation*}
x=f(v), \quad y=0, \quad z=g(v), \quad a \leq v \leq b, \tag{1.17}
\end{equation*}
$$

![图片](/uploads/2026-06/e3b109.jpg)
 
并且设 $f(v)>0$ ，则它绕 $z$ 轴旋转一周所得的曲面就是旋转面，其参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)=(f(v) \cos u, f(v) \sin u, g(v)), \tag{1.18}
\end{equation*}
$$

其中 $0 \leq u \leq 2 \pi, a \leq v \leq b$（参看图 3．4）．按照习惯，我们把旋转面上的 $u$－曲线称为 纬线（平行圆），把 $v$－曲线称为 经线．

例4 正螺旋面．
设直线 $l$ 的初始位置与 $x$ 轴重合，然后让直线 $l$ 一边绕 $z$ 轴作匀速转动，一边沿 $z$ 轴方向作匀速直线运动，则直线 $l$ 在这两种运动的联合作用下所产生的曲面就是正螺旋面（参看图 3．5）．很明显，它的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)=(u \cos v, u \sin v, a v), \tag{1.19}
\end{equation*}
$$

其中 $a$ 是非零常数，$-\infty<u<\infty,-\infty<v<\infty$ ．它的 $u$－曲线是与 $z$ 轴垂直、且与其相交的直线，它的 $v$－曲线是圆螺旋线．

![图片](/uploads/2026-06/e0fcf9.jpg)
 
 例 5 直纹面．
所谓的直纹面是指一条直线在空间中运动所产生的曲面，或者说直纹面是单参数直线族所形成的曲面．由此可见，正螺旋面是直纹面，圆柱面也是直纹面．由于确定一条直线的方式通常是指定它所经过的一个点以及它的方向向量，因此确定直纹面要有两个要素：一条曲线 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}(u)$ ，这是动直线上的一个固定点在时刻 $u$ 的位置向量；非零向量函数 $l(u)$ ，它是动直线在时刻 $u$ 的方向向量．所以该直线在时刻 $u$经过点 $\boldsymbol{a}(u)$ 、以 $l(u)$ 为方向向量，故它的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)=\boldsymbol{a}(u)+v \boldsymbol{l}(u) . \tag{1.20}
\end{equation*}
$$

上式作为 $u, v$ 的二元函数，恰好是直纹面的参数方程．曲线 $r=a(u)$称为直纹面的准线，而 $v$－曲线（直线，即单参数直线族中的成员）称为直纹面的 直母线．因为

$$
\boldsymbol{r}_u(u, v)=\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v l^{\prime}(u), \quad \boldsymbol{r}_v(u, v)=l(u)
$$

所以参数曲面（1．20）是正则曲面的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
r_u \times r_v=\left(a^{\prime}(u)+v l^{\prime}(u)\right) \times l(u) \neq 0, \tag{1.21}
\end{equation*}
$$

即 $a^{\prime}(u) \times l(u)$ 和 $l^{\prime}(u) \times l(u)$ 不能同时为零．当然，直纹面的准线 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}(u)$ 允许作如下的变换

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\tilde{\boldsymbol{a}}(u)=\boldsymbol{a}(u)+\lambda(u) \boldsymbol{l}(u), \tag{1.22}
\end{equation*}
$$

其中 $\lambda(u)$ 是一个连续可微的函数．直母线的方向向量 $l(u)$ 允许改变它的长度，例如将它取成单位向量函数．特别地，通过准线的上述变换，可以要求 $l(u)$ 与新的准线是垂直的．实际上，只要在（1．22）式中取

$$
\begin{equation*}
\lambda(u)=-\frac{1}{|l(u)|} \int\left(a^{\prime}(u) \cdot \frac{l(u)}{|l(u)|}\right) \mathrm{d} u \tag{1.23}
\end{equation*}
$$

就行了．此时，
$$
\begin{aligned}
\tilde{\boldsymbol{a}}^{\prime}(u) & =\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+\lambda^{\prime}(u) l(u)+\lambda(u) l^{\prime}(u), \\
\tilde{\boldsymbol{a}}^{\prime}(u) \cdot l(u) & =\boldsymbol{a}^{\prime}(u) \cdot l(u)+\lambda^{\prime}(u)|l(u)|^2+\lambda(u) l^{\prime}(u) \cdot l(u) \\
& =\boldsymbol{a}^{\prime}(u) \cdot l(u)+\lambda^{\prime}(u)|l(u)|^2+\lambda(u)|l(u)|(|l(u)|)^{\prime} \\
& =|l(u)|\left(\boldsymbol{a}^{\prime}(u) \cdot \frac{l(u)}{|l(u)|}+(\lambda(u)|l(u)|)^{\prime}\right)=0 .
\end{aligned}
$$

如果方向向量 $l(u)$ 已经是单位向量函数，则（1．23）式有更加简单的形式

$$
\begin{equation*}
\lambda(u)=-\int \boldsymbol{a}^{\prime}(u) \cdot \boldsymbol{l}(u) \mathrm{d} u \tag{1.24}
\end{equation*}
$$

如果方向向量 $l(u)$ 有固定的指向，即所有的直母线互相平行，此时 $l(u)$ 满足条件

$$
\begin{equation*}
l(u) \times l^{\prime}(u)=0, \tag{1.25}
\end{equation*}
$$

则对应的直纹面称为 柱面．当所有的直母线都通过一个定点，即存在连续可微函数 $\lambda(u)$ ，使得

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{a}(u)+\lambda(u) l(u)=\boldsymbol{r}_0 \text { (常向量), } \tag{1.26}
\end{equation*}
$$

则对应的直纹面称为 锥面．此时，锥面的准线可以退化成定点 $r_0$ 本身．如果 $a^{\prime}(u)=l(u)$ ，则直母线是准线的切线，或者说，对应的直纹面是由曲线 $r=a(u)$ 的切线形成的曲面，称为曲线 $r=a(u)$ 的 切线面．这三种特殊的直纹面有一些共同的特征，我们将在 §3．6 进行详细的研究．

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