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3.2 切平面和法线

§3．2 切平面和法线

假定正则参数曲面 $S$ 的参数方程是 $r=r(u, v)$ ．在 §3．1 已经说过，$(u, v)$ 是曲面 $S$ 上的点的曲纹坐标，因此曲面 $S$ 上的任意一条连续可微曲线可以用参数方程

$$
\begin{equation*}
u=u(t), \quad v=v(t) \tag{2.1}
\end{equation*}
$$

表示，其中 $u(t), v(t)$ 都是 $t$ 的连续可微函数．它作为空间 $E^3$ 中的曲线的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u(t), v(t)) \tag{2.2}
\end{equation*}
$$

定义 2.1 曲面 $S$ 上经过点 $p$ 的任意一条连续可微曲线在该点的切向量称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的切向量．

根据定义，曲面 $S$ 上经过点 $p$ 的 $u$－曲线和 $v$－曲线的切向量 $r_u$ 和 $r_v$ 都是曲面 $S$ 在点 $p$ 的切向量．假定 $p$ 是曲线（2．1）上对应于 $t=0$的点，则曲线（2．1）在点 $p$ 的切向量是

$$
\left.\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}=\left.\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial u} \frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial v} \frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right)\right|_{t=0}
$$

$$
\begin{equation*}
=\left.\boldsymbol{r}_u \frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}+\left.\boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0} . \tag{2.3}
\end{equation*}
$$

这意味着曲面 $S$ 在点 $p$ 的切向量 $\left.\frac{\mathrm{d} r(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}$ 是切向量 $r_u$ 和 $r_v$ 的线性组合，其组合系数恰好是 $\left.\frac{\mathrm{d} u(t)}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0},\left.\frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}$ ．反过来，切向量 $r_u$ 和 $r_v$ 的任意一个线性组合 $a r_u+b r_v$ ，其中 $a, b$ 是任意的实数，必定是曲面 $S$ 的一个切向量．事实上，只要考虑曲面 $S$ 上的连续可微曲线

$$
\begin{equation*}
u(t)=u_0+a t, \quad v(t)=v_0+b t \tag{2.4}
\end{equation*}
$$

其中点 $p$ 对应的参数是 $\left(u_0, v_0\right)$ ，则曲线（2．4）在点 $p$ 的切向量是

$$
\begin{equation*}
\left.\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\right|_{t=0}=a \boldsymbol{r}_u+b \boldsymbol{r}_v \tag{2.5}
\end{equation*}
$$

对于正则参数曲面，$r_u \times r_v \neq 0$ ，故切向量 $r_u$ 和 $r_v$ 是线性无关的，因此曲面 $S$ 在点 $p$ 的全体切向量构成一个二维向量空间，这个向量空间称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间，记为 $T_p S .\left\{r_u, r_v\right\}$ 是曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间 $T_p S$ 的基底。在空间 $E^3$ 中经过点 $p$ 、由切向量 $r_u, r_v$张成的二维平面称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的 切平面（参看图 3．6），它的参数

![图片](/uploads/2026-06/f8b6c5.jpg)
 
 方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{X}(\lambda, \mu)=\boldsymbol{r}(u, v)+\lambda \boldsymbol{r}_u(u, v)+\mu \boldsymbol{r}_v(u, v), \tag{2.6}
\end{equation*}
$$

其中 $\lambda, \mu$ 是切平面上动点的参数．很明显，该切平面的法向量是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{n}(u, v)=\frac{\boldsymbol{r}_u(u, v) \times \boldsymbol{r}_v(u, v)}{\left|\boldsymbol{r}_u(u, v) \times \boldsymbol{r}_v(u, v)\right|} \tag{2.7}
\end{equation*}
$$

在空间 $E^3$ 中经过点 $p$ 、以法向量 $n(u, v)$ 为方向向量的直线称为曲面 $S$ 在点 $p$ 的法线，它的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{X}(t)=\boldsymbol{r}(u, v)+t \boldsymbol{n}(u, v) \tag{2.8}
\end{equation*}
$$

$t$ 是法线上动点的参数．
由（1．10）式不难知道，正则参数曲面 $S$ 在点 $p$ 的切空间、切平面、法线等概念在曲面的容许参数变换下是不变的，因而与正则曲面的参数表示方式无关．当容许参数变换保持定向时，单位法向量 $n(u, v)$ 的指向也是不变的；当容许参数变换翻转定向时，单位法向量 $n(u, v)$ 则改变指向．

在正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 上的每一点，借助于它的参数方程定义了一个标架 $\left\{\boldsymbol{r}(u, v) ; \boldsymbol{r}_u(u, v), \boldsymbol{r}_v(u, v), \boldsymbol{n}(u, v)\right\}$ ，称为该曲面上的 自然标架．这样，正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 不仅是依赖参数 $(u, v)$ 的点的集合，而且也是在 $E^3$ 中依赖参数 $u, v$ 的标架的集合，即正则参数曲面不仅是在 $E^3$ 中依赖两个参数的点集，而被进一步看成依赖两个参数的标架族．与研究正则参数曲线的情形相仿，对正则参数曲面的研究也可以归结为对自然标架场的研究，不过情况要复杂多了．在第五章将给出自然标架场的运动公式．

设 $f(x, y, z)$ 是定义在 $E^3$ 的一个区域 $\tilde{D}$ 上的连续可微函数．当

$$
\begin{equation*}
\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) \neq 0 \tag{2.9}
\end{equation*}
$$

时，函数 $f$ 的等值面

$$
\begin{equation*}
f(x, y, z)=c \tag{2.10}
\end{equation*}
$$

是 $E^3$ 中的一个正则曲面．事实上，若设 $p$ 是等值面上的一点，对应的参数是 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，并且假定

$$
\left.\frac{\partial f}{\partial z}\right|_p \neq 0,
$$

则根据隐函数定理，在 $O x y$ 平面上点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的一个邻域 $D$ 内存在连续可微函数 $z=g(x, y)$ ，使得对于任意的点 $(x, y) \in D$ 下式

$$
f(x, y, g(x, y))=c
$$

成立，所以等值面（2．10）的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}(x, y)=(x, y, g(x, y)) . \tag{2.11}
\end{equation*}
$$

很明显，$\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$ 是等值面（2．10）的法向量．实际上，若设 $x=x(t), y=y(t), z=z(t)$ 是等值面（2．10）上任意一条连续可微曲线 $C$ 的参数方程，则对于任意的 $t$ 恒等地有

$$
f(x(t), y(t), z(t))=c .
$$

将上式对变量 $t$ 求导得到

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{~d} x(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{~d} y(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\mathrm{~d} z(t)}{\mathrm{d} t}=0 \tag{2.12}
\end{equation*}
$$

这说明向量 $\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$ 与曲线 $C$ 的切向量 $\left(\frac{\mathrm{d} x(t)}{\mathrm{d} t}, \frac{\mathrm{~d} y(t)}{\mathrm{d} t}, \frac{\mathrm{~d} z(t)}{\mathrm{d} t}\right)$是正交的，因而它与等值面（2．10）上任意一条连续可微曲线都是垂直的，因此它必定是等值面（2．10）的一个法向量．

现在有必要对正则参数曲面 $S$ 的参数方程 $r=r(u, v)$ 的微分 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v)$ 作一些说明．首先， $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 的微分 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v)$ 是关于参数 $u, v$ 的微分 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$（也就是参数 $u, v$ 的增量 $\Delta u, \Delta v)$ 的线性表达式

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v)=\boldsymbol{r}_u(u, v) \mathrm{d} u+\boldsymbol{r}_v(u, v) \mathrm{d} v
$$

$$
\begin{equation*}
=\boldsymbol{r}_u(u, v) \Delta u+\boldsymbol{r}_v(u, v) \Delta v \tag{2.13}
\end{equation*}
$$

当 $(\Delta u, \Delta v) \rightarrow(0,0)$ 时它是函数 $\boldsymbol{r}(u, v)$ 的增量 $\boldsymbol{r}(u+\Delta u, v+\Delta v)- \boldsymbol{r}(u, v)$ 作为无穷小量的线性的主要部分，即 $\boldsymbol{r}(u+\Delta u, v+\Delta v)-\boldsymbol{r}(u, v)- \mathrm{d} r(u, v)$ 是 $\rho=\sqrt{(\Delta u)^2+(\Delta v)^2}$ 的更高阶的无穷小量，也就是

$$
\lim _{\rho \rightarrow 0} \frac{|\boldsymbol{r}(u+\Delta u, v+\Delta v)-\boldsymbol{r}(u, v)-\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v)|}{\rho}=0 .
$$

另一方面，微分表达式（2．13）告诉我们， $\mathrm{d} r(u, v)$ 是 4 个自变量 $u, v, \mathrm{~d} u, \mathrm{~d} v$ 的函数，它关于这组新的自变量 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 是线性的，这就是说，它是切向量 $r_u(u, v), r_v(u, v)$ 的线性组合，组合系数是自变量 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ，它们可以取任意的实数值．由此可见，在自变量 $u, v$ 固定的时候，也就是在曲面 $S$ 上的点固定的情况下，表达式（2．13）代表了曲面 $S$ 在点 $r(u, v)$ 处的任意一个切向量，而 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 正是该切向量在自然基底 $\left\{\boldsymbol{r}_u(u, v), \boldsymbol{r}_v(u, v)\right\}$ 下的分量，因此它们是切空间 $T_p S$ 上的线性函数．为说明这一点，先考查一下一般情形．
我们知道，在一个 $n$ 维线性空间 $V$ 中取定了一个基底 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ ，则 $V$ 中任意一个元素关于该基底的分量是线性空间 $V$ 上的线性函数．例如，设

$$
w=w^1 e_1+\cdots+w^n e_n,
$$

用 $f^i$ 表示取向量 $w$ 在基底 $\left\{e_1, \cdots, e_n\right\}$ 下的第 $i$ 个分量的函数，即

$$
f^i(w)=w^i,
$$

则 $f^i$ 是线性空间 $V$ 上的线性函数．事实上，若有另一个元素 $z \in V$ ，

$$
z=z^1 e_1+\cdots+z^n e_n,
$$

则

$$
w+z=\left(w^1+z^1\right) e_1+\cdots+\left(w^n+z^n\right) e_n,
$$

因此

$$
f^i(w+z)=w^i+z^i=f^i(w)+f^i(z) .
$$

对于任意的实数 $\lambda$ ，

$$
\lambda \cdot w=\left(\lambda w^1\right) e_1+\cdots+\left(\lambda w^n\right) e_n,
$$

因此

$$
f^i(\lambda \cdot w)=\lambda w^i=\lambda \cdot f^i(w) .
$$

这说明 $f^i$ 是线性空间 $V$ 上的线性函数．
由此可见， $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 是作为二维线性空间的切空间 $T_p S$ 上的线性函数，它们在切向量 $\boldsymbol{X}$ 上的值分别是该切向量 $\boldsymbol{X}$ 在自然基底 $\left\{r_u(u, v)\right.$, $\left.\boldsymbol{r}_v(u, v)\right\}$ 下的分量．这就是说，若设 $\boldsymbol{X}=X^1 \boldsymbol{r}_u+X^2 \boldsymbol{r}_v$ ，则

$$
\mathrm{d} u(\boldsymbol{X})=X^1, \quad \mathrm{~d} v(\boldsymbol{X})=X^2 .
$$

在上述意义下，曲面 $S$ 在点 $r(u, v)$ 处的切平面的方程成为

$$
\boldsymbol{X}=\boldsymbol{r}(u, v)+\boldsymbol{r}_u(u, v) \mathrm{d} u+\boldsymbol{r}_v(u, v) \mathrm{d} v,
$$

而 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 成为切平面上动点的参数．因此，在已知正则参数曲面 $S$ 的参数方程的前提下，对于固定的 $(u, v)$ 来说，$(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 的每一个给定的值对应于由（2．13）式给出的一个确定的切向量，$(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 是该切向量的分量或坐标。此外，我们还经常用比值 $\mathrm{d} u: \mathrm{d} v$ 表示曲面 $S$ 上的一个切方向。需要指出的是，一般说来，自然基底 $\left\{\boldsymbol{r}_u(u, v), \boldsymbol{r}_v(u, v)\right\}$不是单位正交的，因而（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）不是切向量在笛卡儿直角坐标系下的分量，两个切向量的内积不能写成它们的对应的分量的乘积之和．在下一节，我们将具体地研究切向量的内积的表达式．

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