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3.3 曲面第一基本形式

§3．3 第一基本形式
设有正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ ．根据 $§ 3.2$ 的讨论知道，曲面 $S$ 在每一点 $p \in S$ 处的切空间 $T_p S$ 是由切向量 $r_u(u, v), r_v(u, v)$ 张成的二维向量空间，它是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间．因此，当曲面 $S$ 上的切向量作
为 $\mathbb{R}^3$ 中的向量时可以求它们的长度和夹角．换言之，曲面 $S$ 在任意一点的任意两个切向量的内积就是它们作为 $\mathbb{R}^3$ 中的向量的内积．在前面已经说过，曲面 $S$ 在任意一点 $\boldsymbol{r}(u, v)$ 的任意一个切向量是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v)=\boldsymbol{r}_u(u, v) \mathrm{d} u+\boldsymbol{r}_v(u, v) \mathrm{d} v, \tag{3.1}
\end{equation*}
$$

其中（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）是切向量 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v)$ 在自然基底 $\left\{\boldsymbol{r}_u(u, v), \boldsymbol{r}_v(u, v)\right\}$ 下的分量．一般说来，$\left\{r_u(u, v), r_v(u, v)\right\}$ 不是单位正交基底．但是，如果知道这个基底的度量系数，则表示成（3．1）式的切向量与其自身的内积就能够表示成它的分量 $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ 的二次型．命

$$
\begin{align*}
& E(u, v)=\boldsymbol{r}_u(u, v) \cdot \boldsymbol{r}_u(u, v) \\
& F(u, v)=\boldsymbol{r}_u(u, v) \cdot \boldsymbol{r}_v(u, v)=\boldsymbol{r}_v(u, v) \cdot \boldsymbol{r}_u(u, v)  \tag{3.2}\\
& G(u, v)=\boldsymbol{r}_v(u, v) \cdot \boldsymbol{r}_v(u, v)
\end{align*}
$$

它们就是基底 $\left\{r_u(u, v), r_v(u, v)\right\}$ 的度量系数，称为曲面 $S$ 的 第一类基本量，通常把它们写成一个对称矩阵的形式

$$
\left(\begin{array}{cc}
E & F  \tag{3.3}\\
F & G
\end{array}\right) .
$$

很明显，$E(u, v)>0, G(u, v)>0$ ，并且

$$
\begin{aligned}
& E(u, v) G(u, v)-F^2(u, v) \\
& \quad=\left|\boldsymbol{r}_u(u, v)\right|^2 \cdot\left|\boldsymbol{r}_v(u, v)\right|^2\left(1-\cos ^2 \angle\left(\boldsymbol{r}_u(u, v), \boldsymbol{r}_v(u, v)\right)\right)>0
\end{aligned}
$$

因此（3．3）式是一个正定矩阵。命

$$
\begin{align*}
\mathrm{I} & =\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v) \\
& =\left(\boldsymbol{r}_u(u, v) \mathrm{d} u+\boldsymbol{r}_v(u, v) \mathrm{d} v\right) \cdot\left(\boldsymbol{r}_u(u, v) \mathrm{d} u+\boldsymbol{r}_v(u, v) \mathrm{d} v\right) \\
& =E(u, v)(\mathrm{d} u)^2+2 F(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v+G(u, v)(\mathrm{d} v)^2  \tag{3.4}\\
& =(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)\left(\begin{array}{ll}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)\binom{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v},
\end{align*}
$$

则二次微分式 I 与正则参数曲面 $S$ 的参数的选取是无关的，称其为曲面 $S$ 的 第一基本形式。

事实上，根据一次微分的形式不变性，微分式（3．1）与正则参数曲面 $S$ 的参数的选取无关，因此 I 作为 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u, v)$ 与其自身的内积当然与正则参数曲面 $S$ 的参数的选取无关．这个事实也能够从另一个方面进行解释。

假定正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 有一个容许的参数变换

$$
\begin{equation*}
u=u(\tilde{u}, \tilde{v}), \quad v=v(\tilde{u}, \tilde{v}) \tag{3.5}
\end{equation*}
$$

为方便起见，把曲面 $S$ 的新的参数方程仍旧记成

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\tilde{u}, \tilde{v})=\boldsymbol{r}(u(\tilde{u}, \tilde{v}), v(\tilde{u}, \tilde{v})), \tag{3.6}
\end{equation*}
$$

那么根据求导的链式法则和一次微分的形式不变性，我们有

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \boldsymbol{r} & =\boldsymbol{r}_u(u, v) \mathrm{d} u+\boldsymbol{r}_v(u, v) \mathrm{d} v \\
& =\boldsymbol{r}_u(u, v)\left(\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \mathrm{~d} \tilde{u}+\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \mathrm{~d} \tilde{v}\right)+\boldsymbol{r}_v(u, v)\left(\frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \mathrm{~d} \tilde{u}+\frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \mathrm{~d} \tilde{v}\right) \\
& =\boldsymbol{r}_{\tilde{u}}(\tilde{u}, \tilde{v}) \mathrm{d} \tilde{u}+\boldsymbol{r}_{\tilde{v}}(\tilde{u}, \tilde{v}) \mathrm{d} \tilde{v}
\end{aligned}
$$

因此

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{r}_{\tilde{u}}(\tilde{u}, \tilde{v})=\boldsymbol{r}_u(u, v) \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}}+\boldsymbol{r}_v(u, v) \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \\
& \boldsymbol{r}_{\tilde{v}}(\tilde{u}, \tilde{v})=\boldsymbol{r}_u(u, v) \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}}+\boldsymbol{r}_v(u, v) \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \tag{3.7}
\end{align*}
$$

并且

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} u & =\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \mathrm{~d} \tilde{u}+\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \mathrm{~d} \tilde{v}  \tag{3.8}\\
\mathrm{~d} v & =\frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \mathrm{~d} \tilde{u}+\frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \mathrm{~d} \tilde{v} .
\end{align*}
$$

将（3．7）和（3．8）式用矩阵表示，则是

$$
\begin{equation*}
\binom{r_{\tilde{u}}}{r_{\tilde{v}}}=J \cdot\binom{r_u}{r_v}, \quad(\mathrm{~d} u, \mathrm{~d} v)=(\mathrm{d} \tilde{u}, \mathrm{~d} \tilde{v}) \cdot J, \tag{3.9}
\end{equation*}
$$
其中

$$
J=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}  \tag{3.10}\\
\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}
\end{array}\right) .
$$

根据曲面 $S$ 的第一类基本量的定义，

$$
\left(\begin{array}{cc}
E & F  \tag{3.11}\\
F & G
\end{array}\right)=\binom{\boldsymbol{r}_u}{\boldsymbol{r}_v} \cdot\left(\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v\right),
$$

因此

$$
\left(\begin{array}{cc}
\tilde{E} & \tilde{F}  \tag{3.12}\\
\tilde{F} & \tilde{G}
\end{array}\right)=\binom{\boldsymbol{r}_{\tilde{u}}}{\boldsymbol{r}_{\tilde{v}}} \cdot\left(\boldsymbol{r}_{\tilde{u}}, \boldsymbol{r}_{\tilde{v}}\right)=J \cdot\left(\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right) \cdot J^{\mathrm{T}},
$$

所以曲面 $S$ 的第一类基本量的矩阵
$$
\begin{aligned}
&\left(\begin{array}{cc}
\tilde{E} & \tilde{F} \\
\tilde{F} & \tilde{G}
\end{array}\right) \quad \text { 和 } \quad\left(\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)\\
&\text { 差一个合同变换．将（3．12）式展开则得 }\\
&\begin{aligned}
\tilde{E} & =E\left(\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}}\right)^2+2 F \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}+G\left(\frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}\right)^2 \\
\tilde{F} & =E \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}}+F\left(\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}+\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}\right)+G \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \\
\tilde{G} & =E\left(\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}}\right)^2+2 F \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}+G\left(\frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}\right)^2
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

将（3．9）式和（3．12）式代入下面的表达式得到

$$
\begin{aligned}
\tilde{E} \mathrm{~d} \tilde{u}^2 & +2 \tilde{F} \mathrm{~d} \tilde{u} \mathrm{~d} \tilde{v}+\tilde{G} \mathrm{~d} \tilde{v}^2 \\
& =(\mathrm{d} \tilde{u}, \mathrm{~d} \tilde{v})\left(\begin{array}{cc}
\tilde{E} & \tilde{F} \\
\tilde{F} & \tilde{G}
\end{array}\right)\binom{\mathrm{d} \tilde{u}}{\mathrm{~d} \tilde{v}} \\
& =(\mathrm{d} \tilde{u}, \mathrm{~d} \tilde{v}) J \cdot\left(\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right) \cdot J^{\mathrm{T}}\binom{\mathrm{~d} \tilde{u}}{\mathrm{~d} \tilde{v}} \\
& =(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)\left(\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right)\binom{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v} \\
& =E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2
\end{aligned}
$$

即二次微分式 I 与正则参数曲面 $S$ 的参数的选取是无关的．
第一基本形式 I 的几何意义是切向量 $\mathrm{d} r$ 的长度平方．若在点 $(u, v)$处有另一个切向量

$$
\begin{equation*}
\delta \boldsymbol{r}(u, v)=\boldsymbol{r}_u(u, v) \delta u+\boldsymbol{r}_v(u, v) \delta v \tag{3.14}
\end{equation*}
$$

它的分量是 $\delta u, \delta v$ ，则切向量 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}$ 和 $\delta \boldsymbol{r}$ 的内积是
$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \delta \boldsymbol{r} & =\frac{1}{2}\left((\mathrm{~d} \boldsymbol{r}+\delta \boldsymbol{r})^2-(\mathrm{d} r)^2-(\delta \boldsymbol{r})^2\right) \\
& =E \mathrm{~d} u \delta u+F(\mathrm{~d} u \delta v+\mathrm{d} v \delta u)+G \mathrm{~d} v \delta v \tag{3.15}
\end{align*}
$$

以后为方便起见，有时把（3．15）式的右端表达式记成 $\mathrm{I}(\mathrm{d} r, \delta r)$ ．因此

$$
\begin{equation*}
|\mathrm{d} \boldsymbol{r}|=\sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2}, \tag{3.16}
\end{equation*}
$$

并且

$$
\begin{align*}
\cos \angle & (\mathrm{d} \boldsymbol{r}, \delta \boldsymbol{r})=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \delta \boldsymbol{r}}{|\mathrm{~d} \boldsymbol{r} \| \delta \boldsymbol{r}|} \\
& =\frac{E \mathrm{~d} u \delta u+F(\mathrm{~d} u \delta v+\mathrm{d} v \delta u)+G \mathrm{~d} v \delta v}{\sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2} \sqrt{E(\delta u)^2+2 F \delta u \delta v+G(\delta v)^2}} . \tag{3.17}
\end{align*}
$$

由此可见，切向量 $\mathrm{d} r$ 和 $\delta r$ 彼此正交的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
E \mathrm{~d} u \delta u+F(\mathrm{~d} u \delta v+\mathrm{d} v \delta u)+G \mathrm{~d} v \delta v=0 . \tag{3.18}
\end{equation*}
$$

定理 3.1 在正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 上参数曲线网是正交曲线网的充分必要条件是 $F(u, v) \equiv 0$ ．

证明 由（3．17）式得知

$$
\begin{equation*}
\cos \angle\left(\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v\right)=\frac{\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{r}_v}{\left|\boldsymbol{r}_u\right|\left|\boldsymbol{r}_v\right|}=\frac{F}{\sqrt{E G}} \tag{3.19}
\end{equation*}
$$

因此 $r_u \perp r_v$ 当且仅当 $F(u, v) \equiv 0$ ．证毕．
利用曲面的第一基本形式，能够计算正则参数曲面上的曲线的弧长和区域的面积．假定正则参数曲面 $S: r=r(u, v)$ 上的一条连续可微曲线的方程是

$$
u=u(t), \quad v=v(t), \quad a \leq t \leq b
$$

则曲线的切向量是

$$
\begin{equation*}
\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}=\boldsymbol{r}_u \frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t}+\boldsymbol{r}_v \frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t}, \tag{3.20}
\end{equation*}
$$

因此由（3．16）式得知

$$
\left|\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}(u(t), v(t))}{\mathrm{d} t}\right|=\sqrt{E\left(\frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t}\right)^2+2 F \frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t}+G\left(\frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right)^2} .
$$

根据第二章的（2．1）式得到曲线的长度是

$$
\begin{align*}
L & =\int_a^b\left|\boldsymbol{r}^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \\
& =\int_a^b \sqrt{E\left(\frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t}\right)^2+2 F \frac{\mathrm{~d} u(t)}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t}+G\left(\frac{\mathrm{~d} v(t)}{\mathrm{d} t}\right)^2} \mathrm{~d} t \tag{3.21}
\end{align*}
$$

现在假定正则参数曲面 $S: r=r(u, v)$ 定义在区域 $D \subset E^2$ 上．考虑曲面上由参数曲线

$$
u=u_0, \quad u=u_0+\Delta u, \quad v=v_0, \quad v=v_0+\Delta v
$$

![图片](/uploads/2026-06/138810.jpg)
 
 所围成的一小块，其中 $\Delta u>0, \Delta v>0$ ，它的面积近似地等于在点 $\boldsymbol{r}(u, v)$ 处的切平面上由向量 $(\Delta u) \boldsymbol{r}_u$ 和 $(\Delta v) \boldsymbol{r}_v$ 所张成的平行四边形的面积（参看图 3．7），而后者的面积是

$$
\begin{aligned}
& \left|\left(\boldsymbol{r}_u \Delta u\right) \times\left(\boldsymbol{r}_v \Delta v\right)\right|=\left|\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v\right| \Delta u \Delta v \\
& \quad=\left|\boldsymbol{r}_u\right|\left|\boldsymbol{r}_v\right| \sin \angle\left(\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v\right) \Delta u \Delta v \\
& \quad=\sqrt{E G-F^2} \Delta u \Delta v .
\end{aligned}
$$

命

$$
\begin{equation*}
\mathrm{d} \sigma=\sqrt{E G-F^2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v, \tag{3.22}
\end{equation*}
$$

称 $\mathrm{d} \sigma$ 为曲面 $S$ 的 面积元素．那么曲面 $S$ 的面积是

$$
\begin{equation*}
A=\iint_D \sqrt{E G-F^2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v \tag{3.23}
\end{equation*}
$$

根据重积分的变量替换法则以及第一类基本量的变换规律（3．12），不难知道，上式的右端与曲面 $S$ 上容许的参数变换是无关的．

事实上，若有容许的参数变换（3．5），则曲面的参数方程成为

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(\tilde{u}, \tilde{v}) \equiv \boldsymbol{r}(u(\tilde{u}, \tilde{v}), v(\tilde{u}, \tilde{v})), \quad \forall(\tilde{u}, \tilde{v}) \in D .
$$
根据重积分的变量替换法则，（3．23）式右端的二重积分在变量替换 （3．5）下成为

$$
\iint_D \sqrt{E G-F^2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\iint_{\tilde{D}} \sqrt{E G-F^2}\left|\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}-\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}\right| \mathrm{d} \tilde{u} \mathrm{~d} \tilde{v} .
$$

但是由（3．12）式得知

$$
\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
\tilde{E} & \tilde{F} \\
\tilde{F} & \tilde{G}
\end{array}\right)=\operatorname{det} J \cdot \operatorname{det}\left(\begin{array}{cc}
E & F \\
F & G
\end{array}\right) \cdot \operatorname{det} J^{\mathrm{T}},
$$

即

$$
\tilde{E} \tilde{G}-\tilde{F}^2=\left(E G-F^2\right)\left(\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}-\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}\right)^2,
$$

因此

$$
\sqrt{\tilde{E} \tilde{G}-\tilde{F}^2}=\sqrt{E G-F^2}\left|\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}-\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}\right| .
$$

所以

$$
\iint_D \sqrt{E G-F^2} \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v=\iint_{\tilde{D}} \sqrt{\tilde{E} \tilde{G}-\tilde{F}^2} \mathrm{~d} \tilde{u} \mathrm{~d} \tilde{v}
$$

这就是说（3．23）式的右端与正则曲面 $S$ 的正则参数表示无关．

例题 1 求旋转面的第一基本形式．
解 由 §3．1的例 3 得知，旋转面的参数方程是

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)=(f(v) \cos u, f(v) \sin u, g(v)),
$$

其中 $f(v)>0$ ．因此

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{r}_u=(-f(v) \sin u, f(v) \cos u, 0) \\
& \boldsymbol{r}_v=\left(f^{\prime}(v) \cos u, f^{\prime}(v) \sin u, g^{\prime}(v)\right)
\end{aligned}
$$

所以

$$
E=r_u \cdot r_u=f^2(v), F=r_u \cdot r_v=0, G=r_v \cdot r_v=f^{\prime 2}(v)+g^{\prime 2}(v) .
$$

它的第一基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=f^2(v)(\mathrm{d} u)^2+\left(f^{\prime 2}(v)+g^{\prime 2}(v)\right)(\mathrm{d} v)^2 \tag{3.24}
\end{equation*}
$$

因此在旋转面上 $u$－曲线和 $v$－曲线构成正交参数曲线网．
例题 2 求曲面上参数曲线的二等分角轨线所满足的微分方程．
解 设正则参数曲面 $S$ 的参数方程是 $r=r(u, v)$ ，它的第一基本形式是

$$
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2
$$

在基底 $\left\{\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v\right\}$ 下，$u$－曲线的方向向量是 $(1,0), v$－曲线的方向向量是 $(0,1)$ ．假定参数曲线的二等分角轨线的方向向量是（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）则根据（3．17）式，它与 $u$－曲线的夹角余弦是

$$
\frac{E \mathrm{~d} u+F \mathrm{~d} v}{\sqrt{E} \sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2}},
$$

它与 $v$－曲线的方向向量的夹角余弦是

$$
\frac{F \mathrm{~d} u+G \mathrm{~d} v}{\sqrt{G} \sqrt{E(\mathrm{~d} u)^2+2 F \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+G(\mathrm{~d} v)^2}} .
$$

因此参数曲线的二等分角轨线的方向向量（ $\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v$ ）应该满足下列方程

$$
\frac{E \mathrm{~d} u+F \mathrm{~d} v}{\sqrt{E}}= \pm \frac{F \mathrm{~d} u+G \mathrm{~d} v}{\sqrt{G}},
$$

由于 $E G-F^2>0$ ，化简之后得到

$$
\begin{gather*}
(\sqrt{E G} \mp F) \frac{\mathrm{d} u}{\sqrt{G}}= \pm(\sqrt{E G} \mp F) \frac{\mathrm{d} v}{\sqrt{E}} \\
\sqrt{E} \mathrm{~d} u \pm \sqrt{G} \mathrm{~d} v=0 \tag{3.25}
\end{gather*}
$$

上面的方程有一个直观的几何解释．$u$－曲线的单位切向量是 $\frac{r_u}{\sqrt{E}}$ ，而 $v$－曲线的单位切向量是 $\frac{r_v}{\sqrt{G}}$ ，所以它们的夹角的平分线的方向向量是 $\frac{r_u}{\sqrt{E}} \mp \frac{r_v}{\sqrt{G}}$ ，即 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)=\left(\frac{1}{\sqrt{E}}, \mp \frac{1}{\sqrt{G}}\right)$ ，因此方程（3．25）成立．

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