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3.4 曲面上正交参数曲线网的存在性

§3．4 曲面上正交参数曲线网的存在性
在解析几何学中我们已经知道，引进坐标系的目的是为了把几何问题代数化，从而能够用代数或微积分的手段来研究几何问题．另外，选择适当的坐标系可以大大地简化几何图形的方程，因此在解析几何学中需要用很多篇幅来讨论二次曲线和二次曲面的方程的标准型问题．对于一般的正则参数曲面，参数是它上面的曲纹坐标，因此适当的坐标系首先应该是正交参数系，此时 $F \equiv 0$ ，于是曲面的第一基本形式可化为比较简单的形式

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2 . \tag{4.1}
\end{equation*}
$$

在本节我们要证明：在正则曲面的每一点的某个邻域内一定有正交参数曲线网，这是二维曲面所特有的性质。此外，在曲面上正交参数曲线网不是唯一的，它的确定取决于在曲面上给定两个彼此正交的切向量场．先叙述下面的引理．

引理 设 $f(u, v), g(u, v)$ 是定义在区域 $D \subset E^2$ 上的两个不同时为零的连续可微函数。则对于任意一点 $\left(u_0, v_0\right) \in D$ ，必有它的一个邻域 $U \subset D$ ，以及定义在 $U$ 上的非零连续函数 $\lambda(u, v)$ ，使得 $\lambda(u, v)$ 是一次微分式

$$
\omega=f(u, v) \mathrm{d} u+g(u, v) \mathrm{d} v
$$

的积分因子，即在 $U$ 上存在某个连续可微函数 $k(u, v)$ ，使得

$$
\lambda(u, v)(f(u, v) \mathrm{d} u+g(u, v) \mathrm{d} v)=\mathrm{d} k(u, v) .
$$

引理的证明参看附录 §1 的定理 1．2．值得指出的是，引理的结论只对含有两个变量的一次微分式才成立．这就是本节的结论只适用于曲面情形的理由。

下面我们利用引理证明一个更一般的命题：

定理 4.1 假定在正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 上有两个处处线性无关的连续可微的切向量场 $\boldsymbol{a}(u, v), \boldsymbol{b}(u, v)$ ．则对于每一点 $p \in S$ ，必有点 $p$ 的邻域 $U \subset S$ ，以及在 $U$ 上的新的参数系 $(\tilde{u}, \tilde{v})$ ，使得新参数曲线的切向量 $r_{\tilde{u}}, r_{\tilde{v}}$ 分别与 $a, b$ 平行，即 $r_{\tilde{u}} / / a, r_{\tilde{v}} / / b$ 。

证明 假定在自然基底 $\left\{\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v\right\}$ 下，切向量场 $\boldsymbol{a}(u, v), \boldsymbol{b}(u, v)$ 的表达式是

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{a}(u, v)=a_1(u, v) \boldsymbol{r}_u+a_2(u, v) \boldsymbol{r}_v  \tag{4.2}\\
& \boldsymbol{b}(u, v)=b_1(u, v) \boldsymbol{r}_u+b_2(u, v) \boldsymbol{r}_v
\end{align*}
$$

其中 $a_i(u, v), b_i(u, v)(i=1,2)$ 都是连续可微函数，并且

$$
A=\left|\begin{array}{cc}
a_1(u, v) & a_2(u, v)  \tag{4.3}\\
b_1(u, v) & b_2(u, v)
\end{array}\right| \neq 0 .
$$

我们先对问题做一些分析．如果有容许的参数变换

$$
\begin{equation*}
u=u(\tilde{u}, \tilde{v}), \quad v=v(\tilde{u}, \tilde{v}), \tag{4.4}
\end{equation*}
$$

使得 $\boldsymbol{r}_{\tilde{u}} / / \boldsymbol{a}, \boldsymbol{r}_{\tilde{v}} / / \boldsymbol{b}$ ，则必有函数 $\lambda(u, v), \mu(u, v)$ 使得

$$
\begin{equation*}
r_{\tilde{u}}=\lambda a, \quad r_{\tilde{v}}=\mu b . \tag{4.5}
\end{equation*}
$$

用（4．2）式代入得到

$$
\begin{align*}
& \boldsymbol{r}_{\tilde{u}}=\lambda a_1(u, v) \boldsymbol{r}_u+\lambda a_2(u, v) \boldsymbol{r}_v  \tag{4.6}\\
& \boldsymbol{r}_{\tilde{v}}=\mu b_1(u, v) \boldsymbol{r}_u+\mu b_2(u, v) \boldsymbol{r}_v
\end{align*}
$$

根据（3．7）式得到

$$
J=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}  \tag{4.7}\\
\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\lambda a_1(u, v) & \lambda a_2(u, v) \\
\mu b_1(u, v) & \mu b_2(u, v)
\end{array}\right) .
$$

设 $u=u(\tilde{u}, \tilde{v}), v=v(\tilde{u}, \tilde{v})$ 的反函数是 $\tilde{u}=\tilde{u}(u, v), \tilde{v}=\tilde{v}(u, v)$ ，即下面的恒等式成立：

$$
u(\tilde{u}(u, v), \tilde{v}(u, v)) \equiv u, \quad v(\tilde{u}(u, v), \tilde{v}(u, v)) \equiv v
$$

将它们对 $u, v$ 分别求导得到

$$
\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial u}+\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial u}=1, & \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial v}+\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial v}=0, \\
\frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial u}+\frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial u}=0, & \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \frac{\partial \tilde{u}}{\partial v}+\frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} \frac{\partial \tilde{v}}{\partial v}=1,
\end{array}
$$

用矩阵表示则是

$$
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial u} & \frac{\partial \tilde{v}}{\partial u} \\
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial v} & \frac{\partial \tilde{v}}{\partial v}
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \\
\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),
$$

这就是说，反函数的 Jacobi 矩阵是原函数的 Jacobi 矩阵之逆，即

$$
J^{-1}=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial u} & \frac{\partial \tilde{v}}{\partial u} \\
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial v} & \frac{\partial \tilde{v}}{\partial v}
\end{array}\right) .
$$

因此

$$
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial u} & \frac{\partial \tilde{v}}{\partial u}  \tag{4.8}\\
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial v} & \frac{\partial \tilde{v}}{\partial v}
\end{array}\right)=\frac{1}{\lambda \mu A}\left(\begin{array}{rr}
\mu b_2(u, v) & -\lambda a_2(u, v) \\
-\mu b_1(u, v) & \lambda a_1(u, v)
\end{array}\right),
$$

其中 $A=a_1 b_2-a_2 b_1$ 如（4．3）式所定义．由此可见

$$
\begin{align*}
\mathrm{d} \tilde{u} & =\frac{\partial \tilde{u}}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial \tilde{u}}{\partial v} \mathrm{~d} v=\frac{1}{\lambda A}\left(b_2 \mathrm{~d} u-b_1 \mathrm{~d} v\right) \\
\mathrm{d} \tilde{v} & =\frac{\partial \tilde{v}}{\partial u} \mathrm{~d} u+\frac{\partial \tilde{v}}{\partial v} \mathrm{~d} v=\frac{1}{\mu A}\left(-a_2 \mathrm{~d} u+a_1 \mathrm{~d} v\right) \tag{4.9}
\end{align*}
$$

这表明，如果满足条件（4．5）的参数变换（4．4）是存在的，则必有函数 $\lambda(u, v), \mu(u, v)$ ，使得

$$
\frac{1}{\lambda A}\left(b_2 \mathrm{~d} u-b_1 \mathrm{~d} v\right), \quad \frac{1}{\mu A}\left(-a_2 \mathrm{~d} u+a_1 \mathrm{~d} v\right)
$$

是全微分．所以，我们要考虑的问题就是一次微分式

$$
\begin{equation*}
\alpha=b_2 \mathrm{~d} u-b_1 \mathrm{~d} v \text { 和 } \beta=-a_2 \mathrm{~d} u+a_1 \mathrm{~d} v \tag{4.10}
\end{equation*}
$$

的积分因子的存在性问题．
根据引理，对于任意一点 $p \in S$ ，存在点 $p$ 的邻域 $U$ 和定义在 $U$上的处处非零的连续可微函数 $\xi, \eta$ ，使得它们是一次微分式 $\alpha, \beta$ 的积分因子，即在 $U$ 上存在连续可微函数 $\tilde{u}(u, v), \tilde{v}(u, v)$ 满足条件

$$
\begin{align*}
& \mathrm{d} \tilde{u}=\xi\left(b_2 \mathrm{~d} u-b_1 \mathrm{~d} v\right),  \tag{4.11}\\
& \mathrm{d} \tilde{v}=\eta\left(-a_2 \mathrm{~d} u+a_1 \mathrm{~d} v\right),
\end{align*}
$$

于是

$$
\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial u} & \frac{\partial \tilde{v}}{\partial u}  \tag{4.12}\\
\frac{\partial \tilde{u}}{\partial v} & \frac{\partial \tilde{v}}{\partial v}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\xi b_2(u, v) & -\eta a_2(u, v) \\
-\xi b_1(u, v) & \eta a_1(u, v)
\end{array}\right), ...(4.12)
$$

并且它的行列式等于 $\xi \eta\left(a_1 b_2-a_2 b_1\right) \neq 0$ ．这说明 $\tilde{u}, \tilde{v}$ 是曲面 $S$ 在邻域 $U$ 内的新的参数．根据前面的分析不难知道

$$
\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \\
\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}
\end{array}\right)=\frac{1}{\xi \eta\left(a_1 b_2-b_1 a_2\right)}\left(\begin{array}{ll}
\eta a_1 & \eta a_2 \\
\xi b_1 & \xi b_2
\end{array}\right)
$$

所以

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_{\tilde{u}} & =\boldsymbol{r}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}}+\boldsymbol{r}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}=\frac{1}{\xi\left(a_1 b_2-b_1 a_2\right)}\left(a_1 \boldsymbol{r}_u+a_2 \boldsymbol{r}_v\right) \\
& =\frac{1}{\xi\left(a_1 b_2-b_1 a_2\right)} \boldsymbol{a} \\
\boldsymbol{r}_{\tilde{v}} & =\boldsymbol{r}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}}+\boldsymbol{r}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}=\frac{1}{\eta\left(a_1 b_2-b_1 a_2\right)}\left(b_1 \boldsymbol{r}_u+b_2 \boldsymbol{r}_v\right) \\
& =\frac{1}{\eta\left(a_1 b_2-b_1 a_2\right)} \boldsymbol{b} .
\end{aligned}
$$

证毕．

定理 4.1 的意思是在曲面上存在局部适用的参数系，使得参数曲线分别与预先给定的处处线性无关的切向量场相切（即以已知的切向量场作为参数曲线的方向场）．但是，一般来说，要使已知的切向量场恰好是参数曲线的切向量场（即 $\left.r_{\tilde{u}}=a, r_{\tilde{v}}=b\right)$ 是做不到的。

定理 4.2 在正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 的每一点 $p \in S$ ，必有点 $p$ 的一个邻域 $U \subset S$ ，以及在 $U$ 上的新参数系 $(\tilde{u}, \tilde{v})$ ，使得新参数曲线的切向量 $r_{\tilde{u}}, r_{\tilde{v}}$ 是彼此正交的，即 $(\tilde{u}, \tilde{v})$ 是曲面 $S$ 在 $U$ 上的正交参数系。

证明 对正则参数曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 的自然基底 $\left\{\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v\right\}$ 作 Schmidt 正交化如下：命

$$
\begin{equation*}
e_1=\frac{r_u}{\left|r_u\right|}=\frac{r_u}{\sqrt{E}} \tag{4.13}
\end{equation*}
$$
再令

$$
\begin{equation*}
b=r_v+\lambda e_1, \tag{4.14}
\end{equation*}
$$

要求 $b \cdot e_1=0$ ．因此

$$
\begin{equation*}
\lambda=-\boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{e}_1=-\frac{F}{\sqrt{E}}, \tag{4.15}
\end{equation*}
$$

故

$$
\boldsymbol{b}=r_v-\frac{F}{\sqrt{E}} \boldsymbol{e}_1=r_v-\frac{F}{E} r_u .
$$

这样

$$
|\boldsymbol{b}|^2=G-\frac{F^2}{E}=\frac{E G-F^2}{E},
$$

命

$$
\begin{equation*}
e_2=\frac{b}{|b|}=\frac{1}{\sqrt{E G-F^2}}\left(-\frac{F}{\sqrt{E}} r_u+\sqrt{E} r_v\right), \tag{4.16}
\end{equation*}
$$

则 $\left\{e_1, e_2\right\}$ 是曲面 $S$ 上的单位正交标架场．

根据定理 4.1 在每一点 $p$ 的一个邻域 $U$ 内存在新的参数 $(\tilde{u}, \tilde{v})$ ，使得 $r_{\tilde{u}} / / e_1, r_{\tilde{v}} / / e_2$ ，故 $(\tilde{u}, \tilde{v})$ 是正交参数系．证毕．

当然，定理 4.2 只是一个存在性定理；要在已知曲面上找出正交参数曲线网相当于在曲面上找两个彼此正交的切向量场 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ ，然后求（4．10）式给出的一次微分式 $\alpha, \beta$ 的积分因子．一般来说，前一件事是容易做到的，如定理 4.2 的证明所示，而后一件却不是一件容易的事．尽管如此，定理 4.2 仍然是十分重要的，因为这个定理保证了在正则曲面上正交参数曲线网的存在性，从而使得我们在理论上处理正则曲面的问题变得比较简单了．

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