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3.5 保长对应和保角对应(1)

§3．5 保长对应和保角对应
本节主要用来研究两个正则曲面之间保持第一基本形式不变的对应，即所谓的保长对应．首先，我们讨论如何表示两个正则曲面之间的一个对应。

假定有两个正则参数曲面，它们的参数方程分别是

$$
\begin{array}{ll}
S_1: \boldsymbol{r}=r_1\left(u_1, v_1\right), & \left(u_1, v_1\right) \in D_1, \\
S_2: \boldsymbol{r}=r_2\left(u_2, v_2\right), & \left(u_2, v_2\right) \in D_2,
\end{array}
$$

其中 $D_1, D_2$ 是 $E^2$ 中的两个区域．因为 $\left(u_i, v_i\right)$ 是正则曲面 $S_i$ 的点的曲纹坐标，所以从曲面 $S_1$ 到 $S_2$ 的一个映射表现为从区域 $D_1$ 到 $D_2$的一个映射。换言之，如果有映射 $\sigma: D_1 \rightarrow D_2$ ，表示为

$$
\begin{equation*}
u_2=f\left(u_1, v_1\right), \quad v_2=g\left(u_1, v_1\right) \tag{5.1}
\end{equation*}
$$

则我们有从曲面 $S_1$ 到 $S_2$ 的映射（仍记为 $\sigma$ ），它把曲面 $S_1$ 上的点 $r_1\left(u_1, v_1\right)$ 映为曲面 $S_2$ 上的点 $r_2\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)$ ．反过来，正则参数曲面之间的映射都可以这样来表示．这就是说，正则参数曲面之间的一个对应表现为它们的参数区域之间的一个对应．如果函数表达式 （5．1）是连续可微的，则称映射 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是连续可微的．根据曲面

的容许参数变换的条件，正则曲面之间的映射的连续可微性与曲面的容许参数的选择是无关的．

下面假定映射 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是 3 次以上连续可微的．首先要指出，映射 $\sigma$ 在每一点 $p \in S_1$ 诱导出从切空间 $T_p S_1$ 到切空间 $T_{\sigma(p)} S_2$ 的一个线性映射 $\sigma_{* p}: T_p S_1 \rightarrow T_{\sigma(p)} S_2$ ，称此映射为由映射 $\sigma$ 在点 $p$ 的切空间 $T_p S$ 上诱导的 切映射．实际上，若有曲面 $S_1$ 上一条连续可微曲线

$$
\begin{equation*}
C_1: u_1=u_1(t), \quad v_1=v_1(t) \quad\left(t_0-\varepsilon<t<t_0+\varepsilon\right), \tag{5.2}
\end{equation*}
$$

则它在映射 $\sigma$ 下映为曲面 $S_2$ 上的一条连续可微曲线

$$
\begin{align*}
C_2: u_2=u_2(t)= & f\left(u_1(t), v_1(t)\right), \quad v_2=v_2(t)=g\left(u_1(t), v_1(t)\right) \\
& \left(t_0-\varepsilon<t<t_0+\varepsilon\right) \tag{5.3}
\end{align*}
$$

那么曲线 $C_2$ 的切向量是

$$
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} & \boldsymbol{r}_2\left(u_2(t), v_2(t)\right) \\
& =\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2} \frac{\mathrm{~d} u_2(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2} \frac{\mathrm{~d} v_2(t)}{\mathrm{d} t} \\
& =\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2}\left(\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \frac{\mathrm{~d} u_1(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} \frac{\mathrm{~d} v_1(t)}{\mathrm{d} t}\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{equation*}
+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2}\left(\frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \frac{\mathrm{~d} u_1(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} \frac{\mathrm{~d} v_1(t)}{\mathrm{d} t}\right) . \tag{5.4}
\end{equation*}
$$

假定 $p=r_1\left(u_1\left(t_0\right), v_1\left(t_0\right)\right)$ ，命

$$
\begin{equation*}
\sigma_{* p}\left(\left.\frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} t} \boldsymbol{r}_1\left(u_1(t), v_1(t)\right)\right|_{t=t_0}\right)=\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} \boldsymbol{r}_2\left(u_2(t), v_2(t)\right)\right|_{t=t_0}, \tag{5.5}
\end{equation*}
$$

则由（5．4）式得到

$$
\begin{aligned}
\sigma_{* p} & \left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial u_1} \frac{\mathrm{~d} u_1(t)}{\mathrm{d} t}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial v_1} \frac{\mathrm{~d} v_1(t)}{\mathrm{d} t}\right) \\
& =\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2} \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}\right) \frac{\mathrm{d} u_1(t)}{\mathrm{d} t}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{equation*}
+\left(\frac{\partial r_2}{\partial u_2} \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}+\frac{\partial r_2}{\partial v_2} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}\right) \frac{\mathrm{d} v_1(t)}{\mathrm{d} t} \tag{5.6}
\end{equation*}
$$

由此可见，由（5．5）式定义的映射 $\sigma_{* p}$ 是线性映射，并且

$$
\begin{aligned}
\sigma_{* p}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial u_1}\right) & =\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2} \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \\
\sigma_{* p}\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial v_1}\right) & =\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2} \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}
\end{aligned}
$$

用矩阵表示则是

$$
\sigma_{* p}\binom{\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial u_1}}{\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial v_1}}=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} & \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}  \tag{5.7}\\
\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} & \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}
\end{array}\right)\binom{\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2}}{\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2}} .
$$

对于 $T_p S_1$ 中的任意一个切向量

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{X}=a \frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial u_1}+b \frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial v_1}, \tag{5.8}
\end{equation*}
$$

则有

$$
\begin{align*}
\sigma_{* p}(\boldsymbol{X})= & a\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2} \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}\right) \\
& +b\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2} \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}\right) \\
= & \left(a \frac{\partial u_2}{\partial u_1}+b \frac{\partial u_2}{\partial v_1}\right) \frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2}+\left(a \frac{\partial v_2}{\partial u_1}+b \frac{\partial v_2}{\partial v_1}\right) \frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2} \tag{5.9}
\end{align*}
$$

由此可见，切映射 $\sigma_{* p}: T_p S_1 \rightarrow T_{\sigma(p)} S_2$ 是同构的，当且仅当矩阵

$$
\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial u_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_1} \\
\frac{\partial u_2}{\partial v_1} & \frac{\partial v_2}{\partial v_1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} & \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \\
\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} & \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}
\end{array}\right)
$$

非退化，即 Jacobi 行列式 $\left.\frac{\partial\left(u_2, v_2\right)}{\partial\left(u_1, v_1\right)}\right|_p \neq 0$ ．
定理 5.1 设 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从正则参数曲面 $S_1$ 到正则参数曲面 $S_2$ 的 3 次以上的连续可微映射。如果在点 $p \in S_1$ ，切映射 $\sigma_{* p}: T_p S_1 \rightarrow T_{\sigma(p)} S_2$ 是切空间 $T_p S_1$ 和 $T_{\sigma(p)} S_2$ 之间的同构，则有点 $p$ 在 $S_1$ 中的邻域 $U_1$ 和点 $\sigma(p)$ 在 $S_2$ 中的邻域 $U_2$ ，以及相应的参数系 $\left(u_1, v_1\right)$ 和 $\left(u_2, v_2\right)$ ，使得 $\sigma\left(U_1\right) \subset U_2$ ，并且映射 $\left.\sigma\right|_{U_1}$ 是由

$$
\begin{equation*}
u_2=u_1, \quad v_2=v_1 \tag{5.10}
\end{equation*}
$$

给出的．换言之，在适当地选取曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 上的参数系之后，映射 $\left.\sigma\right|_{U_1}$ 是从参数区域 $U_1$ 到 $U_2$ 的、有相同参数值的点之间的对应．

使映射 $\sigma$ 能够由（5．10）式给出的参数系 $\left(u_1, v_1\right)$ 和 $\left(u_2, v_2\right)$ 称为在曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 上关于映射 $\sigma$ 的适用参数系．

证明 假定映射 $\sigma$ 由

$$
u_2=f\left(u_1, v_1\right), \quad v_2=g\left(u_1, v_1\right)
$$

给出，因为在点 $p$ 有 $\left.\frac{\partial\left(u_2, v_2\right)}{\partial\left(u_1, v_1\right)}\right|_p \neq 0$ ，因此上面的式子可以看作曲面 $S_1$ 在点 $p$ 的某个邻域 $U_1$ 上的容许参数变换，使得 $\left(u_2, v_2\right)$ 成为曲面 $S_1$ 在点 $p$ 的某个邻域 $U_1$ 内的参数系．在这样的参数系下，映射 $\sigma$ 恰好是参数区域上的恒同映射．证毕．

映射 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 还能够把 $S_2$ 上的二次微分式拉回到 $S_1$ 上，成为 $S_1$ 上的二次微分式．假定 $S_2$ 上的一个二次微分式 $\varphi$ 的表达式是

$$
\begin{equation*}
\varphi=A\left(u_2, v_2\right)\left(\mathrm{d} u_2\right)^2+2 B\left(u_2, v_2\right) \mathrm{d} u_2 \mathrm{~d} v_2+C\left(u_2, v_2\right)\left(\mathrm{d} v_2\right)^2, \tag{5.11}
\end{equation*}
$$

则在（5．1）式给出的映射 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 下，将表达式（5．1）代入（5．11）式得到 $S_1$ 上的一个二次微分式 $\sigma^* \varphi$ 如下：

$$
\sigma^* \varphi=A\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)\left(\frac{\partial f}{\partial u_1} \mathrm{~d} u_1+\frac{\partial f}{\partial v_1} \mathrm{~d} v_1\right)^2
$$

$$
\begin{aligned}
& +2 B\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)\left(\frac{\partial f}{\partial u_1} \mathrm{~d} u_1+\frac{\partial f}{\partial v_1} \mathrm{~d} v_1\right) \\
& \quad\left(\frac{\partial g}{\partial u_1} \mathrm{~d} u_1+\frac{\partial g}{\partial v_1} \mathrm{~d} v_1\right) \\
& +C\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)\left(\frac{\partial g}{\partial u_1} \mathrm{~d} u_1+\frac{\partial g}{\partial v_1} \mathrm{~d} v_1\right)^2 \\
& =\tilde{A}\left(u_1, v_1\right)\left(\mathrm{d} u_1\right)^2+2 \tilde{B}\left(u_1, v_1\right) \mathrm{d} u_1 \mathrm{~d} v_1+\tilde{C}\left(u_1, v_1\right)\left(\mathrm{d} v_1\right)^2
\end{aligned}
$$

其中

$$
\begin{aligned}
\tilde{A}\left(u_1, v_1\right)= & A\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)\left(\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}\right)^2 \\
& +2 B\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right) \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \\
& +C\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)\left(\frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}\right)^2, \\
\tilde{B}\left(u_1, v_1\right)= & A\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right) \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} \\
& +B\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)\left(\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}\right. \\
& \left.+\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1}\right) \\
& +C\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right) \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}, \\
\tilde{C}\left(u_1, v_1\right)= & A\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)\left(\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}\right)^2 \\
& +2 B\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right) \frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} \\
& +C\left(f\left(u_1, v_1\right), g\left(u_1, v_1\right)\right)\left(\frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}\right)^2 .
\end{aligned}
$$

（5．13）式和（5．12）式用矩阵表示则是

$$
\left(\begin{array}{ll}
\tilde{A}\left(u_1, v_1\right) & \tilde{B}\left(u_1, v_1\right)  \tag{5.14}\\
\tilde{B}\left(u_1, v_1\right) & \tilde{C}\left(u_1, v_1\right)
\end{array}\right)=J\left(\begin{array}{ll}
A\left(u_2, v_2\right) & B\left(u_2, v_2\right) \\
B\left(u_2, v_2\right) & C\left(u_2, v_2\right)
\end{array}\right) J^{\mathrm{T}},
$$

并且

$$
\begin{aligned}
\sigma^* \varphi & =\left(\mathrm{d} u_1, \mathrm{~d} v_1\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
\tilde{A} & \tilde{B} \\
\tilde{B} & \tilde{C}
\end{array}\right) \cdot\binom{\mathrm{d} u_1}{\mathrm{~d} v_1} \\
& =\left(\mathrm{d} u_1, \mathrm{~d} v_1\right) \cdot J\left(\begin{array}{cc}
A & B \\
B & C
\end{array}\right) J^{\mathrm{T}} \cdot\binom{\mathrm{~d} u_1}{\mathrm{~d} v_1},
\end{aligned}
$$

其中

$$
J=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial u_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_1}  \tag{5.15}\\
\frac{\partial u_2}{\partial v_1} & \frac{\partial v_2}{\partial v_1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} & \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial u_1} \\
\frac{\partial f\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1} & \frac{\partial g\left(u_1, v_1\right)}{\partial v_1}
\end{array}\right) .
$$

我们把 $\sigma^* \varphi$ 称为 $S_2$ 上的二次微分式 $\varphi$ 经过映射 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 拉回到 $S_1$ 上的二次微分式．

定义 5.1 设 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从正则参数曲面 $S_1$ 到正则参数曲面 $S_2$ 的 3 次以上的连续可微映射。如果在每一点 $p \in S_1$ ，切映射 $\sigma_{* p}: T_p S_1 \rightarrow T_{\sigma(p)} S_2$ 都保持切向量的长度不变，即对于任意的 $\boldsymbol{X} \in T_p S_1$ 都有 $\left|\sigma_{* p}(\boldsymbol{X})\right|=|\boldsymbol{X}|$ ，则称 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从曲面 $S_1$ 到曲面 $S_2$ 的保长对应。

向量之间的内积和向量长度之间的关系是

$$
\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\frac{1}{2}\left(|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|^2-|\boldsymbol{a}|^2-|\boldsymbol{b}|^2\right),
$$

既然保长对应 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 保持切向量的长度不变，因此它必定保持切向量的内积不变，即对于任意的 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in T_p S_1$ ，都有

$$
\begin{equation*}
\sigma_{* p}(\boldsymbol{X}) \cdot \sigma_{* p}(\boldsymbol{Y})=\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{Y} \tag{5.16}
\end{equation*}
$$

在 §3．2 已经说过，曲面 $S_1$ 在点 $r=r_1\left(u_1, v_1\right)$ 处的任意一个切向量可以用它的微分

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{r}_1\left(u_1, v_1\right)=\mathrm{d} u_1 \frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial u_1}+\mathrm{d} v_1 \frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial v_1}
$$

来表示，这里（ $\mathrm{d} u_1, \mathrm{~d} v_1$ ）代表曲面 $S_1$ 在点 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_1\left(u_1, v_1\right)$ 处的任意一个切向量的分量．假定映射 $\sigma$ 由（5．1）式给出，则根据（5．7）式有

$$
\begin{align*}
\sigma_{* p}\left(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}_1\left(u_1, v_1\right)\right) & =\sigma_{* p}\left(\left(\mathrm{~d} u_1, \mathrm{~d} v_1\right)\binom{\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial u_1}}{\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial v_1}}\right) \\
& =\left(\mathrm{d} u_1, \mathrm{~d} v_1\right) \sigma_{* p}\binom{\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial u_1}}{\frac{\partial \boldsymbol{r}_1}{\partial v_1}} \\
& =\left(\mathrm{d} u_1, \mathrm{~d} v_1\right) J\binom{\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2}}{\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2}} \tag{5.17}
\end{align*}
$$

其中 $J$ 由（5．15）式给出．因此由（5．12），（5．14）式可知，$\sigma$ 是保长对应的条件是

$$
\left|\mathrm{d} \boldsymbol{r}_1\left(u_1, v_1\right)\right|^2=\left|\sigma_{* p}\left(\mathrm{~d} \boldsymbol{r}_1\left(u_1, v_1\right)\right)\right|^2
$$

$$
\begin{align*}
& =\left(\mathrm{d} u_1, \mathrm{~d} v_1\right) J\binom{\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2}}{\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2}} \cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial u_2}, \frac{\partial \boldsymbol{r}_2}{\partial v_2}\right) J^{\mathrm{T}}\binom{\mathrm{~d} u_1}{\mathrm{~d} v_1} \\
& =\left(\mathrm{d} u_1, \mathrm{~d} v_1\right) J\left(\begin{array}{ll}
E_2\left(u_2, v_2\right) & F_2\left(u_2, v_2\right) \\
F_2\left(u_2, v_2\right) & G_2\left(u_2, v_2\right)
\end{array}\right) J^{\mathrm{T}}\binom{\mathrm{~d} u_1}{\mathrm{~d} v_1} \\
& =\sigma^*\left(\left|\mathrm{~d} \boldsymbol{r}_2\left(u_2, v_2\right)\right|^2\right) \tag{5.18}
\end{align*}
$$

即

$$
\mathrm{I}_1=\sigma^* \mathrm{I}_2
$$

这里 $E_2, F_2, G_2$ 是曲面 $S_2$ 的第一类基本量．由此得到下面的定理．

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