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3.5 保长对应和保角对应(2)

定理 5.2 假定正则参数曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 的第一基本形式分别是 $\mathrm{I}_1$和 $\mathrm{I}_2$ ，则 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从曲面 $S_1$ 到曲面 $S_2$ 的保长对应的充分必要条件是

$$
\begin{equation*}
\sigma^* \mathrm{I}_2=\mathrm{I}_1 . \tag{5.19}
\end{equation*}
$$

换言之，下面的公式成立：

$$
\left(\begin{array}{ll}
E_1\left(u_1, v_1\right) & F_1\left(u_1, v_1\right) \\
F_1\left(u_1, v_1\right) & G_1\left(u_1, v_1\right)
\end{array}\right)=J\left(\begin{array}{ll}
E_2\left(u_2, v_2\right) & F_2\left(u_2, v_2\right) \\
F_2\left(u_2, v_2\right) & G_2\left(u_2, v_2\right)
\end{array}\right) J^{\mathrm{T}},
$$

其中

$$
J=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial u_2}{\partial u_1} & \frac{\partial v_2}{\partial u_1} \\
\frac{\partial u_2}{\partial v_1} & \frac{\partial v_2}{\partial v_1}
\end{array}\right) .
$$

如果将上面的式子展开，我们便得到下面的等式：

$$
\begin{align*}
E_2\left(u_2, v_2\right) & \left(\frac{\partial u_2}{\partial u_1}\right)^2+2 F_2\left(u_2, v_2\right) \frac{\partial u_2}{\partial u_1} \frac{\partial v_2}{\partial u_1} \\
& +G_2\left(u_2, v_2\right)\left(\frac{\partial v_2}{\partial u_1}\right)^2=E_1\left(u_1, v_1\right) \\
E_2\left(u_2, v_2\right) & \frac{\partial u_2}{\partial u_1} \frac{\partial u_2}{\partial v_1}+F_2\left(u_2, v_2\right)\left(\frac{\partial u_2}{\partial u_1} \frac{\partial v_2}{\partial v_1}+\frac{\partial u_2}{\partial v_1} \frac{\partial v_2}{\partial u_1}\right)  \tag{5.20}\\
& +G_2\left(u_2, v_2\right) \frac{\partial v_2}{\partial u_1} \frac{\partial v_2}{\partial v_1}=F_1\left(u_1, v_1\right) \\
E_2\left(u_2, v_2\right) & \left(\frac{\partial u_2}{\partial v_1}\right)^2+2 F_2\left(u_2, v_2\right) \frac{\partial u_2}{\partial v_1} \frac{\partial v_2}{\partial v_1} \\
& +G_2\left(u_2, v_2\right)\left(\frac{\partial v_2}{\partial v_1}\right)^2=G_1\left(u_1, v_1\right)
\end{align*}
$$

这是（5．19）式的等价形式。在已知正则曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 的第一基本形式的情况下，（5．20）式实际上是寻求曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 之间是否存在保长对应 $u_2=u_2\left(u_1, v_1\right), v_2=v_2\left(u_1, v_1\right)$ 的微分方程．这是非线性的一阶微

分方程组，要判断该方程组是否有解，并且把解求出来自然是十分困难的。以后我们要进一步研究保长对应的不变量（参看第五章所叙述的 Gauss 的绝妙定理），这对我们判断两个正则曲面是否能够建立保长对应起着重要的作用．

定理5．3 在正则曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 之间存在保长对应的充分必要条件是，能够在曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 上取适当的参数系，都记成 $(u, v)$ ，并且在这样的参数系下这两个曲面有相同的第一类基本量，即

$$
\begin{equation*}
E_1(u, v)=E_2(u, v), F_1(u, v)=F_2(u, v), G_1(u, v)=G_2(u, v) . \tag{5.21}
\end{equation*}
$$

证明 如果 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从曲面 $S_1$ 到曲面 $S_2$ 的保长对应，则在每一点 $p \in S_1$ 处切映射 $\sigma_{* p}: T_p S_1 \rightarrow T_{\sigma(p)} S_2$ 显然是非退化的．因此由定理 5．1，在曲面 $S_1$ 和曲面 $S_2$ 上能够取适当的参数系，使得映射 $\sigma$ 是曲面 $S_1$ 和曲面 $S_2$ 上有相同参数的点之间的对应，把这适用的参数系记为 $(u, v)$ 。根据定理 5．2，$E_1=E_2, F_1=F_2, G_1=G_2$ 。必要性得证．定理的充分性是明显的．证毕．

例题 1 证明：在螺旋面 $r=(u \cos v, u \sin v, u+v)$ 和旋转双曲面 $r=\left(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta, \sqrt{\rho^2-1}\right)(\rho \geq 1,0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ 之间可以建立保长对应．

解 直接计算螺旋面的第一基本形式得到

$$
\mathrm{I}=2(\mathrm{~d} u)^2+2 \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+\left(u^2+1\right)(\mathrm{d} v)^2
$$

旋转双曲面的第一基本形式是

$$
\tilde{\mathrm{I}}=\frac{2 \rho^2-1}{\rho^2-1} \mathrm{~d} \rho^2+\rho^2 \mathrm{~d} \theta^2
$$

先在螺旋面上作容许的参数变换，使得参数系是正交的．实际上，将 I 的后面两项配平方得到

$$
\mathrm{I}=\left(2-\frac{1}{u^2+1}\right)(\mathrm{d} u)^2+\left(u^2+1\right)\left(\frac{\mathrm{d} u}{u^2+1}+\mathrm{d} v\right)^2 .
$$

命

$$
\tilde{u}=u, \quad \tilde{v}=\arctan u+v
$$

则

$$
\mathrm{I}=\frac{2 \tilde{u}^2+1}{\tilde{u}+1} \mathrm{~d} \tilde{u}^2+\left(\tilde{u}^2+1\right) \mathrm{d} \tilde{v}^2
$$

将它与 $\tilde{\mathrm{I}}$ 相对照，命

$$
\rho=\sqrt{\tilde{u}^2+1}, \quad \theta=\tilde{v}
$$

则经过直接计算得到 $I=\tilde{I}$ ．因此在这两个曲面之间能够建立保长对应，该对应是

$$
\rho=\sqrt{u^2+1}, \quad \theta=\arctan u+v
$$

本题的解法带有观察和拼凑的成分，但是它比直接求解方程组 （5．20）要简单多了．在知道 Gauss 曲率是保长对应的不变量之后，通过计算两个曲面的 Gauss 曲率可以使拼凑的目标更加清晰．

定义 5.2 设 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从正则参数曲面 $S_1$ 到正则参数曲面 $S_2$ 的一一对应，并且它和它的逆映射都是 3 次以上的连续可微映射。如果在每一点 $p \in S_1$ ，切映射 $\sigma_{* p}: T_p S_1 \rightarrow T_{\sigma(p)} S_2$ 都保持切向量的夹角不变，即对于任意的 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in T_p S_1$ 都有

$$
\begin{equation*}
\angle\left(\sigma_{* p}(\boldsymbol{X}), \sigma_{* p}(\boldsymbol{Y})\right)=\angle(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}), \tag{5.22}
\end{equation*}
$$

则称 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从曲面 $S_1$ 到曲面 $S_2$ 的保角对应．
在初等平面几何学中，所谓的相似三角形是指对应边成比例的三角形，然而相似三角形的特征是对应角相等。这就是说，判断两个角相等的问题可以转化为对应的三边边长是否成比例的问题．下面的定理实际上就体现了这个原理。

定理 5.4 假定正则参数曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 的第一基本形式分别是 $\mathrm{I}_1$和 $\mathrm{I}_2$ ，则 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从曲面 $S_1$ 到曲面 $S_2$ 的保角对应的充分必要条件，是在曲面 $S_1$ 上存在正的连续函数 $\lambda$ ，使得

$$
\begin{equation*}
\sigma^* \mathrm{I}_2=\lambda^2 \mathrm{I}_1 . \tag{5.23}
\end{equation*}
$$

特别地，如果 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从曲面 $S_1$ 到曲面 $S_2$ 的保角对应，则在曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 上能够取适当的参数系，都记成 $(u, v)$ ，使得在这样的参数系下这两个曲面的第一类基本量成比例，即存在正的连续函数 $\lambda$ ，使得

$$
\begin{align*}
& E_2(u, v)=\lambda^2(u, v) E_1(u, v), \\
& F_2(u, v)=\lambda^2(u, v) F_1(u, v),  \tag{5.24}\\
& G_2(u, v)=\lambda^2(u, v) G_1(u, v) .
\end{align*}
$$

证明 充分性是明显的．如果（5．23）成立，则对于任意的 $p \in S_1$ ， $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y} \in T_p S_1$ 都有（参看（3．15）和（5．12）式）

$$
\begin{equation*}
\cos \angle(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})=\frac{\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{Y}}{|\boldsymbol{X}||\boldsymbol{Y}|}=\frac{\mathrm{I}_1(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})}{\sqrt{\mathrm{I}_1(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X})} \sqrt{\mathrm{I}_1(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Y})}}, \tag{5.25}
\end{equation*}
$$

$$
\begin{align*}
\cos \angle\left(\sigma_{* p}(\boldsymbol{X}), \sigma_{* p}(\boldsymbol{Y})\right) & =\frac{\mathrm{I}_2\left(\sigma_{* p}(\boldsymbol{X}), \sigma_{* p}(\boldsymbol{Y})\right)}{\sqrt{\mathrm{I}_2\left(\sigma_{* p}(\boldsymbol{X}), \sigma_{* p}(\boldsymbol{X})\right)} \sqrt{\mathrm{I}_2\left(\sigma_{* p}(\boldsymbol{Y}), \sigma_{* p}(\boldsymbol{Y})\right)}} \\
& =\frac{\sigma^* \mathrm{I}_2(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})}{\sqrt{\sigma^* \mathrm{I}_2(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X})} \sqrt{\sigma^* \mathrm{I}_2(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Y})}} \tag{5.26}
\end{align*}
$$

但是根据条件（5．23）有

$$
\begin{aligned}
& \sigma^* \mathrm{I}_2(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})=\lambda^2 \mathrm{I}_1(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}), \\
& \sigma^* \mathrm{I}_2(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X})=\lambda^2 \mathrm{I}_1(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{X}), \\
& \sigma^* \mathrm{I}_2(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Y})=\lambda^2 \mathrm{I}_1(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{Y}),
\end{aligned}
$$

因此由（5．25），（5．26）式得到

$$
\angle\left(\sigma_{* p}(\boldsymbol{X}), \sigma_{* p}(\boldsymbol{Y})\right)=\angle(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}) .
$$

反过来，假定 $\sigma: S_1 \rightarrow S_2$ 是从曲面 $S_1$ 到曲面 $S_2$ 的保角对应，则根据定义 $\sigma$ 必定是一一对应，故根据定理 5.1 在曲面 $S_1$ 和 $S_2$ 上能够取适用参数系，都记成 $(u, v)$ ，使得在这样的参数系下 $\sigma$ 是有相同参数值的点之间的对应，即

$$
\sigma\left(r_1(u, v)\right)=r_2(u, v),
$$

其中 $r_1(u, v), r_2(u, v)$ 分别是曲面 $S_1, S_2$ 的参数方程．因此

$$
\sigma_*\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial u}\right)=\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial u}, \quad \sigma_*\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial v}\right)=\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial v},
$$

并且

$$
\sigma_*\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial v}\right)=\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial v} .
$$

根据条件（5．22）则有

$$
\begin{aligned}
& \cos \angle\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial u}, \frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial v}\right)=\cos \angle\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial u}, \frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial v}\right) \\
& \cos \angle\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial v}, \frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial u}\right)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& =\cos \angle\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial v}, \frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial u}\right) \\
\cos \angle\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial u}+\right. & \left.\frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial v}, \frac{\partial \boldsymbol{r}_1(u, v)}{\partial v}\right) \\
& =\cos \angle\left(\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial u}+\frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial v}, \frac{\partial \boldsymbol{r}_2(u, v)}{\partial v}\right)
\end{aligned}\\
&\text { 用（3．17）式代入得到 }\\
&\begin{aligned}
\frac{F_1}{\sqrt{E_1 G_1}}= & \frac{F_2}{\sqrt{E_2 G_2}}, \\
\frac{E_1+F_1}{\sqrt{E_1+2 F_1+G_1} \sqrt{E_1}}= & \frac{E_2+F_2}{\sqrt{E_2+2 F_2+G_2} \sqrt{E_2}}, \\
\frac{F_1+G_1}{\sqrt{E_1+2 F_1+G_1} \sqrt{G_1}}= & \frac{F_2+G_2}{\sqrt{E_2+2 F_2+G_2} \sqrt{G_2}} .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

将（5．28），（5．29）两式相除得到

$$
\frac{\sqrt{E_1}+\frac{F_1}{\sqrt{E_1}}}{\sqrt{G_1}+\frac{F_1}{\sqrt{G_1}}}=\frac{\sqrt{E_2}+\frac{F_2}{\sqrt{E_2}}}{\sqrt{G_2}+\frac{F_2}{\sqrt{G_2}}} .
$$

将上式展开，并且用（5．27）式则得

$$
\begin{gathered}
\sqrt{E_1 G_2}+\frac{F_1 F_2}{\sqrt{E_1 G_2}}=\sqrt{E_2 G_1}+\frac{F_1 F_2}{\sqrt{E_2 G_1}} \\
\left(\sqrt{E_1 G_2}-\sqrt{E_2 G_1}\right)\left(1-\frac{F_1}{\sqrt{E_1 G_1}} \frac{F_2}{\sqrt{E_2 G_2}}\right)=0
\end{gathered}
$$

因此再用（5．27）式得到

$$
\begin{aligned}
& \left(\sqrt{E_1 G_2}-\sqrt{E_2 G_1}\right)\left(1-\frac{F_1^2}{E_1 G_1}\right) \\
& \quad=\left(\sqrt{E_1 G_2}-\sqrt{E_2 G_1}\right)\left(1-\cos ^2 \angle\left(\frac{\partial r_1(u, v)}{\partial u}, \frac{\partial r_1(u, v)}{\partial v}\right)\right)=0
\end{aligned}
$$

但是 $S_1$ 是正则参数曲面，切向量 $\frac{\partial r_1(u, v)}{\partial u}, \frac{\partial r_1(u, v)}{\partial v}$ 不共线，故

$$
\cos ^2 \angle\left(\frac{\partial r_1(u, v)}{\partial u}, \frac{\partial r_1(u, v)}{\partial v}\right) \neq 1,
$$

所以

$$
E_1 G_2=E_2 G_1,
$$

代入（5．27）式则得

$$
\frac{F_2}{F_1}=\frac{E_2}{E_1}=\frac{G_2}{G_1}=\lambda^2 .
$$

证毕．

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