最后更新: 2026-06-03 14:41 查看: 7 次纠错评论(0) 课件开VIP

3.5 保长对应和保角对应(3)

关于保角对应有下面的重要定理：
定理 5.5 任意一个正则参数曲面 $S$ 的每一点 $p$ ，都有一个邻域 $U$ 可以和平面上的一个开区域建立保角对应。换言之，任意两个正则参数曲面在局部上都可以建立保角对应．
这是一个十分深刻的定理．在曲面的参数方程是解析的情形，首先是 Gauss 凭借着把实解析函数看作复解析函数的技巧，利用两个变量的一次微分形式的积分因子的存在性（参看附录 § 1 的定理 1．7）证明了这个定理．当曲面的参数方程是光滑的情形，证明比较复杂．另外，当曲面的参数方程有 2 阶以上的连续可微性时，定理仍然成立，陈省身曾经给出过一个比较简单的证明（参看 S．S．Chern，Selected Papers， New York：Springer Verlag，1981，p．217）．下面我们在曲面的参数方程是解析函数的假定下，给出定理 5.5 的简要证明．

定理 5.5 的证明 假定正则参数曲面 $S$ 的方程 $r=r(u, v)$ 是 $u, v$ 的解析函数，于是曲面的第一类基本量 $E, F, G$ 都是 $u, v$ 的解析函数。根据定理 4．2，可以假定 $(u, v)$ 给出曲面 $S$ 的正交参数曲线网，即 $F(u, v)=0$ ，于是曲面 $S$ 的第一基本形式成为

$$
\mathrm{I}=E(\mathrm{~d} u)^2+G(\mathrm{~d} v)^2=(\sqrt{E} \mathrm{~d} u+\sqrt{-1} \sqrt{G} \mathrm{~d} v)(\sqrt{E} \mathrm{~d} u-\sqrt{-1} \sqrt{G} \mathrm{~d} v) .
$$

命

$$
\begin{equation*}
\omega=\sqrt{E} \mathrm{~d} u+\sqrt{-1} \sqrt{G} \mathrm{~d} v \tag{5.30}
\end{equation*}
$$

这是系数为复数值解析函数的一次微分式．根据附录 §1 的定理 1．7，在每一点 $p \in S$ 的一个充分小的邻域 $U$ 内存在处处非零的复数值解析函数 $\lambda(u, v)$ ，使得 $\lambda(u, v) \omega$ 成为某个复数值函数 $z(u, v)$ 的全微分，即

$$
\begin{equation*}
\lambda(u, v)(\sqrt{E} \mathrm{~d} u+\sqrt{-1} \sqrt{G} \mathrm{~d} v)=\mathrm{d} z(u, v) . \tag{5.31}
\end{equation*}
$$

把函数 $z(u, v)$ 分解为实部和虚部，设

$$
\begin{equation*}
z(u, v)=x(u, v)+\sqrt{-1} y(u, v), \tag{5.32}
\end{equation*}
$$

则

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=\omega \bar{\omega}=\frac{1}{|\lambda|^2}\left(\mathrm{~d} x^2+\mathrm{d} y^2\right) \tag{5.33}
\end{equation*}
$$

因此曲面 $S$ 上点 $p$ 的一个邻域与平面上的一个邻域是保角的，保角对应由

$$
\begin{equation*}
x=x(u, v), \quad y=y(u, v) \tag{5.34}
\end{equation*}
$$

给出．证毕．
在曲面 $S$ 上能够使第一基本形式表示成（5．33）式的参数系 $(x, y)$称为 等温参数系．在曲面 $S$ 上存在等温参数系是一个十分重要的事实，它在实践中有很多应用．球面的球极投影建立了球面与平面的保角对应（参看习题 3.3 的第 2 题）。在绘制地图时为了保证各个国家的辖区形状不失真，通常使用两种保角对应．对于北极和南极地区，常用球极投影；对于极区以外的部分常用下面的例题所介绍的 Mercator投影。

例题2 试建立球面和圆柱面之间的保角对应。
解 设 $S$ 是半径为 $a$ 的球面，$\tilde{S}$ 是半径为 $a$ 的圆柱面，它们的参数方程分别为

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{r}=(a \cos v \cos u, a \cos v \sin u, a \sin v), \\
\boldsymbol{r}=(a \cos \tilde{u}, a \sin \tilde{u}, a \tilde{v}) .
\end{gathered}
$$

经直接计算得到它们的第一基本形式分别为

$$
\begin{gathered}
\mathrm{I}=a^2 \cos ^2 v(\mathrm{~d} u)^2+a^2(\mathrm{~d} v)^2=a^2 \cos ^2 v\left((\mathrm{~d} u)^2+\frac{1}{\cos ^2 v}(\mathrm{~d} v)^2\right) \\
\cdot \tilde{\mathrm{I}}=a^2 \mathrm{~d} \tilde{u}^2+a^2 \mathrm{~d} \tilde{v}^2=a^2\left(\mathrm{~d} \tilde{u}^2+\mathrm{d} \tilde{v}^2\right)
\end{gathered}
$$

命

$$
\tilde{u}=u, \quad \tilde{v}=\int_0^v \frac{\mathrm{~d} v}{\cos v}=\log \left|\tan \left(\frac{v}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|,
$$

则上面给出的映射 $\sigma: S \rightarrow \tilde{S}$ 是保角对应．上述映射称为 Mercator 投影。

很明显，圆柱面 $\tilde{S}$ 和平面是保长的，球面通过 Mercator 投影和平面建立保角对应，所以这种方法常用于描绘地图．

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