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3.6 可展曲面(1)

§3．6 可展曲面
在 §3．1的例5已经研究过一般的直纹面．本节要研究一类特殊的直纹面，它们恰好是和平面在局部上能够建立保长对应的曲面．

根据 §3．1，一般的直纹面的参数方程可以写成 $r=a(u)+v l(u)$,其中 $l(u) \neq 0$ ．柱面、锥面和一条空间曲线的切线面都是特殊的直纹面（参看图 3．8），它们的方程是

![图片](/uploads/2026-06/856a01.jpg)
 
 柱面：$\quad \boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}(u)+v \boldsymbol{l}$ ，其中 $\boldsymbol{l}$ 是非零常向量（图 3．8（a））．
锥面：$\quad \boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}+v \boldsymbol{l}(u)$ ，其中 $\boldsymbol{a}$ 是常向量（图 3．8（b））．
切线面：$\quad \boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}(u)+v \boldsymbol{a}^{\prime}(u)$（图3．8（c））．
通过直接计算知道，这些曲面的一个共同特征是：当点沿着直母线运动时曲面的切平面是保持不变的，即这种曲面的切平面构成依赖单个参数的平面族。我们以切线面为例求它的切平面族，其余两种情形留给读者自己计算．由切线面的方程得到

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{r}_u=\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(u), \\
\boldsymbol{r}_v=\boldsymbol{a}^{\prime}(u),
\end{gathered}
$$

所以

$$
r_u \times r_v=-v \boldsymbol{a}^{\prime}(u) \times \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(u), \quad \boldsymbol{n}= \pm \frac{\boldsymbol{a}^{\prime}(u) \times \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(u)}{\left|\boldsymbol{a}^{\prime}(u) \times \boldsymbol{a}^{\prime \prime}(u)\right|} .
$$

因为切线面的单位法向量场 $n$ 只依赖参数 $u$ ，故切线面的法向量沿着直母线（ $u=$ 常数）保持不变，而且直母线又落在切线面的切平面上，因此当点沿着直母线运动时切线面的切平面是保持不变的．

定义 6.1 设 $S$ 是直纹面．如果曲面 $S$ 的切平面沿每一条直母线是不变的，则称该直纹面是 可展曲面．

前面的讨论说明，柱面、锥面和一条空间曲线的切线面都是可展曲面．下面的命题给出了一个直纹面是可展曲面的条件．

定理 6.1 设直纹面 $S$ 的参数方程是 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}(u)+v \boldsymbol{l}(u)$ ，则 $S$ 是可展曲面的充分必要条件是，向量函数 $a(u), l(u)$ 满足方程

$$
\begin{equation*}
\left(a^{\prime}(u), l(u), l^{\prime}(u)\right)=0 . \tag{6.1}
\end{equation*}
$$

证明 对直纹面 $S$ 的参数方程求导数得到

$$
\boldsymbol{r}_u=\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v l^{\prime}(u), \quad \boldsymbol{r}_v=\boldsymbol{l}(u),
$$

因此曲面 $S$ 的法向量是

$$
r_u \times r_v=\left(a^{\prime}(u)+v l^{\prime}(u)\right) \times l(u) .
$$

如果 $S$ 是可展曲面，则在直母线上的任意两个不同点 $\left(u, v_1\right)$ 和 $\left(u, v_2\right)$ ，其中 $v_1 \neq v_2$ ，曲面 $S$ 的法向量应该互相平行，即

$$
\left(a^{\prime}(u)+v_1 l^{\prime}(u)\right) \times l(u) / /\left(a^{\prime}(u)+v_2 l^{\prime}(u)\right) \times l(u) .
$$

根据向量的双重向量积的公式

$$
(a \times b) \times c=(a \cdot c) b-(b \cdot c) a,
$$

我们有

$$
\begin{aligned}
0 & =\left(\left(\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v_1 \boldsymbol{l}^{\prime}(u)\right) \times \boldsymbol{l}(u)\right) \times\left(\left(\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v_2 \boldsymbol{l}^{\prime}(u)\right) \times \boldsymbol{l}(u)\right) \\
& =\left(\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v_1 \boldsymbol{l}^{\prime}(u)\right) \cdot\left(\left(\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v_2 \boldsymbol{l}^{\prime}(u)\right) \times \boldsymbol{l}(u)\right) \boldsymbol{l}(u) \\
& =\left(\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v_1 \boldsymbol{l}^{\prime}(u), \boldsymbol{a}^{\prime}(u)+v_2 \boldsymbol{l}^{\prime}(u), \boldsymbol{l}(u)\right) \boldsymbol{l}(u) \\
& =\left(v_1-v_2\right)\left(\boldsymbol{a}^{\prime}(u), \boldsymbol{l}(u), \boldsymbol{l}^{\prime}(u)\right) \boldsymbol{l}(u)
\end{aligned}
$$

由于 $\left(v_1-v_2\right) \boldsymbol{l}(u) \neq 0$ ，所以上式末端的混合积为零，即（6．1）式成立．上面的论证过程是可逆的，因此（6．1）式也是直纹面 $S$ 为可展曲面的充分条件．证毕．

在直纹面上可能会有两个不同的连续单参数直线族，那么是否会出现这样的情况：对其中一个连续单参数直线族，条件（6．1）成立，而对另一个连续单参数直线族，条件（6．1）却不成立？结论是：这种情况是不会出现的．原因是存在两个不同的连续单参数直线族的曲面只有单叶双曲面、双曲抛物面和平面这三种情况（参看：D．希尔伯特， S．康福森著．王联芳译．直观几何（上册）．北京：人民教育出版社， 1959 年．第 16 页）．直接验证可知，前两者都不是可展曲面．另外，直纹面在 §3．1 所提及的准线的变换和直母线方向向量的变换下，条件 （6．1）显然是不变的．因此要判断一个直纹面是否为可展曲面，只要就它的一种参数表示进行检验就可以了。

定理6．2 可展曲面在局部上是柱面、锥面和一条空间曲线的切线面，或者是用这三种曲面以充分连续可微的方式沿直母线拼接的结果．

证明 设 $S$ 是可展曲面，它的参数方程是 $r=a(u)+v l(u)$ ，并且 $a(u), l(u)$ 满足条件（6．1）．

如果 $l(u) \times l^{\prime}(u) \equiv 0$ ，则由第一章的定理 2．2，向量 $l(u)$ 有确定的方向，因此直母线互相平行，$S$ 是一个柱面．

当 $l(u) \times l^{\prime}(u) \not \equiv 0$ 时，可以假设在 $u$ 的一个小区间内 $l(u) \times l^{\prime}(u)$恒不为零，于是向量 $l(u)$ 和 $l^{\prime}(u)$ 在该区间内处处线性无关．那么条件（6．1）意味着向量 $a^{\prime}(u)$ 和 $l(u) 、 l^{\prime}(u)$ 共面，因而是它们的线性组合，不妨设为

$$
\begin{equation*}
a^{\prime}(u)=\alpha(u) l(u)+\beta(u) l^{\prime}(u) . \tag{6.2}
\end{equation*}
$$

现在让准线作变换

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{b}(u)=\boldsymbol{a}(u)+\lambda(u) l(u), \tag{6.3}
\end{equation*}
$$

要求 $b^{\prime}(u) / / l(u)$ ．对（6．3）式求导、并且用（6．2）式代入得到

$$
\begin{aligned}
b^{\prime}(u) & =a^{\prime}(u)+\lambda^{\prime}(u) l(u)+\lambda(u) l^{\prime}(u) \\
& =\left(\alpha(u)+\lambda^{\prime}(u)\right) l(u)+(\beta(u)+\lambda(u)) l^{\prime}(u) .
\end{aligned}
$$

取 $\lambda(u)=-\beta(u)$ ，则

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{b}(u)=\boldsymbol{a}(u)-\beta(u) l(u), \quad \boldsymbol{b}^{\prime}(u)=\left(\alpha(u)-\beta^{\prime}(u)\right) l(u) . \tag{6.4}
\end{equation*}
$$

如果 $\alpha(u)-\beta^{\prime}(u) \equiv 0$ ，则 $b^{\prime}(u) \equiv 0$ ，于是 $b(u)=b_0$ 是常向量．此时，

$$
a(u)-\beta(u) l(u)=b_0,
$$

即直纹面 $S$ 的直母线都通过一个定点 $b_0$ ，所以该直纹面是锥面

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}_0+(v+\beta(u)) \boldsymbol{l}(u) . \tag{6.5}
\end{equation*}
$$

当 $\alpha(u)-\beta^{\prime}(u) \not \equiv 0$ 时，不妨设在 $u$ 的一个小区间内 $\alpha(u)-\beta^{\prime}(u)$恒不为零，即向量函数 $b^{\prime}(u)$ 恒不为零，故 $r=b(u)$ 是一条正则曲线．此时，曲面 $S$ 的参数方程成为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}(u)+(v+\beta(u)) \boldsymbol{l}(u)=\boldsymbol{b}(u)+\frac{v+\beta(u)}{\alpha(u)-\beta^{\prime}(u)} \boldsymbol{b}^{\prime}(u) \tag{6.6}
\end{equation*}
$$

这说明曲面 $S$ 是正则参数曲线 $r=b(u)$ 的切线面．
容易看出，在函数 $l(u) \times l^{\prime}(u)$ ，或 $\alpha(u)-\beta^{\prime}(u)$ 的例外零点，正好是柱面、锥面和曲线的切线面沿直母线的拼接之处．证毕．

可展曲面的另一个特征是它和平面在局部上可以建立保长对应。在直观上，柱面和锥面都能够在不作伸缩的情况下展开成平面，正好体现了上面所述的特征。它的逆命题也成立，留待第五章再来证明．

定理 6.3 可展曲面在局部上可以和平面建立保长对应。
证明 我们只要证明柱面、锥面和曲线的切线面都可以和平面建立保长对应．

（1）柱面．设其参数方程为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}(u)+v \boldsymbol{l}_0, \tag{6.7}
\end{equation*}
$$

不妨设 $\left|l_0\right|=1$ ．作准线的变换

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{b}(u)=\boldsymbol{a}(u)+\lambda(u) l_0, \tag{6.8}
\end{equation*}
$$

使得 $b^{\prime}(u) \perp l_0$ ．为此对（6．8）式求导得到

$$
\boldsymbol{b}^{\prime}(u)=\boldsymbol{a}^{\prime}(u)+\lambda^{\prime}(u) l_0,
$$

所以

$$
0=\boldsymbol{b}^{\prime}(u) \cdot l_0=\boldsymbol{a}^{\prime}(u) \cdot l_0+\lambda^{\prime}(u),
$$

故只要取

$$
\lambda(u)=-a(u) \cdot l_0 .
$$

此时，该柱面的方程成为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{b}(u)+(v-\lambda(u)) \boldsymbol{l}_0 . \tag{6.9}
\end{equation*}
$$

作参数变换

$$
\begin{equation*}
\tilde{u}=\tilde{u}(u)=\int\left|\boldsymbol{b}^{\prime}(u)\right| \mathrm{d} u, \quad \tilde{v}=v+\lambda(u), \tag{6.10}
\end{equation*}
$$

则柱面的方程成为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\tilde{\boldsymbol{b}}(\tilde{u})+\tilde{v} \boldsymbol{l}_0, \tag{6.11}
\end{equation*}
$$

其中

$$
\tilde{\boldsymbol{b}}(\tilde{u}(u))=\boldsymbol{b}(u),
$$

因此

$$
\tilde{\boldsymbol{b}}^{\prime}(\tilde{u}) \cdot \frac{\partial \tilde{u}}{\partial u}=\tilde{\boldsymbol{b}}^{\prime}(\tilde{u}) \cdot\left|\boldsymbol{b}^{\prime}(u)\right|=\boldsymbol{b}^{\prime}(u),
$$

故

$$
\left|\tilde{\boldsymbol{b}}^{\prime}(\tilde{u})\right|=1, \quad\left|l_0\right|=1, \quad \text { 并且 } \tilde{\boldsymbol{b}}^{\prime}(\tilde{u}) \cdot l_0=0 .
$$

经计算得到曲面的第一基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=\mathrm{d} \tilde{u}^2+\mathrm{d} \tilde{v}^2 . \tag{6.12}
\end{equation*}
$$

这正好是平面在笛卡儿直角坐标系下的第一基本形式，所以柱面能够和平面建立保长对应，该对应由（6．10）式给出．
（2）锥面．设它的参数方程为

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}_0+v \boldsymbol{l}(u), \tag{6.13}
\end{equation*}
$$

其中 $a_0$ 是常向量，并且假设 $l(u)$ 是单位向量，即 $|l(u)|=1$ ．作参数变换

$$
\begin{equation*}
\tilde{u}=\tilde{u}(u)=\int\left|l^{\prime}(u)\right| \mathrm{d} u, \quad \tilde{v}=v, \tag{6.14}
\end{equation*}
$$

则曲面的参数方程成为

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{a}_0+\tilde{v} \tilde{l}(\tilde{u}),
$$

其中

$$
\tilde{l}(\tilde{u}(u))=l(u),
$$

故

$$
\tilde{l}^{\prime}(\tilde{u}) \cdot \frac{\mathrm{d} \tilde{u}(u)}{\mathrm{d} u}=\tilde{l}^{\prime}(\tilde{u}) \cdot\left|l^{\prime}(u)\right|=l^{\prime}(u),
$$

于是 $|\tilde{l}(\tilde{u})|=1$ ，并且 $\left|\tilde{l}^{\prime}(\tilde{u})\right|=1$ ，即 $\tilde{u}$ 是单位球面上的曲线 $r=\tilde{l}(\tilde{u})$的弧长参数．这样，锥面的第一基本形式成为

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=\tilde{v}^2 \mathrm{~d} \tilde{u}^2+\mathrm{d} \tilde{v}^2 . \tag{6.15}
\end{equation*}
$$

命

$$
\begin{equation*}
x=\tilde{v} \cos \tilde{u}, \quad y=\tilde{v} \sin \tilde{u}, \tag{6.16}
\end{equation*}
$$

则得

$$
\mathrm{I}=\mathrm{d} x^2+\mathrm{d} y^2,
$$

因此锥面（6．13）和平面是保长的，该保长对应由（6．16）式给出．
（3）切线面．设 $C: r=r(s)$ 是 $E^3$ 中一条正则参数曲线，$s$ 是它的弧长参数，故它的切线面的参数方程是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(s)+t \boldsymbol{r}^{\prime}(s)=\boldsymbol{r}(s)+t \boldsymbol{\alpha}(s), \tag{6.17}
\end{equation*}
$$

这里 $\{\boldsymbol{r}(s) ; \boldsymbol{\alpha}(s), \boldsymbol{\beta}(s), \boldsymbol{\gamma}(s)\}$ 是曲线 $C$ 的 Frenet 标架．因此

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_s=\boldsymbol{r}^{\prime}(s)+t \kappa(s) \boldsymbol{\beta}(s), \quad \boldsymbol{r}_t=\boldsymbol{\alpha}(s), \tag{6.18}
\end{equation*}
$$

其中 $\kappa(s)$ 是曲线的曲率．所以

$$
E=1+t^2 \kappa^2, \quad F=1, \quad G=1,
$$

切线面的第一基本形式是

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=\left(1+t^2 \kappa^2\right) \mathrm{d} s^2+2 \mathrm{~d} s \mathrm{~d} t+\mathrm{d} t^2 \tag{6.19}
\end{equation*}
$$

注意到在切线面的第一基本形式中不含有曲线 $C$ 的挠率，这就是说，如果 $C, C_1$ 是空间 $E^3$ 中任意两条有相同的弧长参数和相同的曲率函数的正则参数曲线，则它们的切线面必有相同的第一基本形式，因此这两个切线面必定是保长的．根据曲线论基本定理（第二章的定理 5．3），可以作一条平面曲线 $C_1$ ，使它以 $s$ 为弧长参数，以 $\kappa(s)$ 为曲率函数，而挠率为零，那么它的切线面是平面的一部分．由此可见，曲线 $C$ 的切线面能够和平面在局部上建立保长对应．证毕．

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