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3.6 可展曲面(2)

可展曲面的切平面沿直母线是同一个，因此可展曲面的切平面构成依赖一个参数的平面族，而可展曲面本身可以看作与该平面族中每一个成员都相切的曲面。这个概念可以作一些推广。

定义 6.2 设 $\left\{S_\alpha\right\}$ 是依赖参数 $\alpha$ 的一族正则曲面。如果有一个正则曲面 $S$ ，使得 $S$ 上的每一点必定是曲面族 $\left\{S_\alpha\right\}$ 中的某个曲面 $S_\alpha$上的一点，并且曲面 $S$ 和 $S_\alpha$ 在该点有相同的切平面；反过来，曲面族 $\left\{S_\alpha\right\}$ 中的每一个成员必定与曲面 $S$ 在某一点有相同的切平面，则称曲面 $S$ 是单参数曲面族 $\left\{S_\alpha\right\}$ 的包络．

根据上述定义，可展曲面是单参数平面族的包络．下面简要地介绍一下如何求单参数曲面族的包络．假定单参数曲面族 $\left\{S_\alpha\right\}$ 由方程

$$
\begin{equation*}
F(x, y, z, \alpha)=0 \tag{6.20}
\end{equation*}
$$

给出．根据定义，$\left\{S_\alpha\right\}$ 的包络面 $S$ 上的点 $(x, y, z)$ 必定在某个 $S_\alpha$上，对应的 $\alpha$ 记成 $\alpha(x, y, z)$ ，于是点 $(x, y, z)$ 还满足方程

$$
\begin{equation*}
F(x, y, z, \alpha(x, y, z))=0, \tag{6.21}
\end{equation*}
$$

即上式对于包络面 $S$ 上的点 $(x, y, z)$ 是恒等式．现在来考察曲面 $S$ 和 $S_\alpha$ 相切的条件．在曲面 $S$ 上任意取一条曲线 $C: \boldsymbol{r}=(x(t), y(t), z(t))$ ，因此将它的方程代入（6．21）式得到

$$
F(x(t), y(t), z(t), \alpha(x(t), y(t), z(t)))=0 .
$$

将上面的恒等式对 $t$ 求导得到

$$
F_x \frac{\mathrm{~d} x(t)}{\mathrm{d} t}+F_y \frac{\mathrm{~d} y(t)}{\mathrm{d} t}+F_z \frac{\mathrm{~d} z(t)}{\mathrm{d} t}+F_\alpha \frac{\mathrm{d} \alpha(t)}{\mathrm{d} t}=0
$$

其中

$$
\alpha(t)=\alpha(x(t), y(t), z(t)) .
$$

由于曲面 $S_\alpha$ 的法向量是 $\left(F_x, F_y, F_z\right)$ ，而且曲面 $S$ 和 $S_\alpha$ 相切，所以

$$
F_x \frac{\mathrm{~d} x(t)}{\mathrm{d} t}+F_y \frac{\mathrm{~d} y(t)}{\mathrm{d} t}+F_z \frac{\mathrm{~d} z(t)}{\mathrm{d} t}=0
$$

于是对于包络面 $S$ 上的任意一条曲线 $C: \boldsymbol{r}=(x(t), y(t), \boldsymbol{z}(t))$ 都有

$$
F_\alpha \frac{\mathrm{d} \alpha(t)}{\mathrm{d} t}=0
$$

因为

$$
\frac{\mathrm{d} \alpha(t)}{\mathrm{d} t}=\alpha_x \frac{\mathrm{~d} x(t)}{\mathrm{d} t}+\alpha_y \frac{\mathrm{~d} y(t)}{\mathrm{d} t}+\alpha_z \frac{\mathrm{~d} z(t)}{\mathrm{d} t},
$$

所以当向量函数 $\left(\alpha_x, \alpha_y, \alpha_z\right)$ 处处不为零时在包络面 $S$ 上通过每一点 $(x, y, z)$ 都可以取曲线 $C$ ，使得 $\frac{\mathrm{d} \alpha(t)}{\mathrm{d} t} \neq 0$ ，因此包络面 $S$ 上的点 $(x, y, z)$ 除了满足恒等式（6．21）外，还满足恒等式

$$
\begin{equation*}
F_\alpha(x, y, z, \alpha(x, y, z))=0 . \tag{6.22}
\end{equation*}
$$

由此可见，单参数曲面族 $\left\{S_\alpha\right\}$ 的包络 $S$ 上的点 $(x, y, z)$ 满足方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
F(x, y, z, \alpha)=0  \tag{6.23}\\
F_\alpha(x, y, z, \alpha)=0
\end{array}\right.
$$

将方程组（6．23）中的参数 $\alpha$ 消去，得到判别曲面

$$
\begin{equation*}
\Phi(x, y, z)=0 . \tag{6.24}
\end{equation*}
$$

如果判别曲面是正则的，而且给定的曲面族在对应点也是正则的，则能够证明该判别曲面是单参数曲面族 $\left\{S_\alpha\right\}$ 的包络。事实上，对于固定的 $\alpha$ 而言，方程（6．23）的解是一条曲线，称为特征线，而判别曲面（6．24）恰好是由这些特征线生成的．这样，判别曲面上的点 $(x, y, z)$必定落在某条特征线上，将对应的参数记为 $\alpha(x, y, z)$ ，它们适合方程 （6．21）和（6．22），所以包络面落在判别曲面之内．反过来，能够证明判别曲面必属于包络面．

例题 求单参数平面族

$$
x \cos \alpha+y \sin \alpha-z \sin \alpha=1
$$

的包络．
解 命

$$
F(x, y, z, \alpha)=x \cos \alpha+y \sin \alpha-z \sin \alpha-1,
$$

则

$$
F_\alpha(x, y, z, \alpha)=-x \sin \alpha+y \cos \alpha-z \cos \alpha
$$

将方程组 $F=0, F_\alpha=0$ 中的参数 $\alpha$ 消去得到

$$
x^2+(y-z)^2=1
$$

这是一张柱面，属于可展曲面的一种．写成参数方程的形式是

$$
x=\cos u, \quad y=\sin u+v, \quad z=v .
$$

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