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4.1 第二基本形式

第四章 曲面的第二基本形式

在上一章，我们介绍了正则参数曲面的基本概念，并且初步研究了正则参数曲面上与度量有关的概念和性质，特别是定义了曲面的第一基本形式，证明了一个重要的结果，即：在曲面上总是存在正交参数曲线网。此外，我们还研究了可展曲面的特征性质和局部的分类．本章我们将研究描写正则参数曲面形状的方法，并且介绍曲面的各种曲率（包括法曲率、主曲率等）的概念。
§4．1 第二基本形式

设 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 是一张正则参数曲面．曲面 $S$ 在任意一点 $\left(u_0, v_0\right)$ 处的切平面 $\Pi$ 的单位法向量是

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{n}=\left.\frac{\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v}{\left|\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v\right|}\right|_{\left(u_0, v_0\right)} \tag{1.1}
\end{equation*}
$$

在直观上，曲面 $S$ 在点 $\left(u_0, v_0\right)$ 处弯曲的状况可以用该点附近的点到切平面 $\Pi$ 的有向距离 $\delta$ 来刻画（参看图 4．1），若曲面 $S$ 在点 $\left(u_0, v_0\right)$ 处

![图片](/uploads/2026-06/b520fb.jpg)
 
 弯曲得越厉害，则 $|\delta|$ 的增加的速率越大，即 $\delta$ 的绝对值与邻近点到点 $\left(u_0, v_0\right)$ 的距离之比反映了曲面在该邻近点方向的弯曲程度．$\delta$ 的符号说明曲面 $S$ 上点 $\left(u_0, v_0\right)$ 的邻近点落在点 $\left(u_0, v_0\right)$ 的切平面 $\Pi$ 的哪一侧。

设（ $u_0, v_0$ ）的邻近点是（ $u_0+\Delta u, v_0+\Delta v$ ），它到切平面 $\Pi$ 的有向距离是

$$
\begin{equation*}
\delta(\Delta u, \Delta v)=\left(\boldsymbol{r}\left(u_0+\Delta u, v_0+\Delta v\right)-\boldsymbol{r}\left(u_0, v_0\right)\right) \cdot \boldsymbol{n} . \tag{1.2}
\end{equation*}
$$

根据 Taylor 展开式我们有

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{r}\left(u_0+\Delta u, v_0+\Delta v\right)-\boldsymbol{r}\left(u_0, v_0\right) \\
&=\left(\boldsymbol{r}_u \Delta u+\boldsymbol{r}_v \Delta v\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{r}_{u u}(\Delta u)^2+2 \boldsymbol{r}_{u v} \Delta u \Delta v+\boldsymbol{r}_{v v}(\Delta v)^2\right) \\
&+\boldsymbol{o}\left((\Delta u)^2+(\Delta v)^2\right)
\end{aligned}
$$

其中向量函数 $\boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_{u u}$ 等都在点 $\left(u_0, v_0\right)$ 处取值，并且

$$
\lim _{(\Delta u)^2+(\Delta v)^2 \rightarrow 0} \frac{\boldsymbol{o}\left((\Delta u)^2+(\Delta v)^2\right)}{(\Delta u)^2+(\Delta v)^2}=0 .
$$

因此

$$
\begin{align*}
& \delta(\Delta u, \Delta v) \\
& \quad=\frac{1}{2}\left(L(\Delta u)^2+2 M \Delta u \Delta v+N(\Delta v)^2\right)+o\left((\Delta u)^2+(\Delta v)^2\right) \tag{1.3}
\end{align*}
$$

其中

$$
\begin{align*}
L & =\boldsymbol{r}_{u u}\left(u_0, v_0\right) \cdot \boldsymbol{n}\left(u_0, v_0\right), \\
M & =\boldsymbol{r}_{u v}\left(u_0, v_0\right) \cdot \boldsymbol{n}\left(u_0, v_0\right),  \tag{1.4}\\
N & =\boldsymbol{r}_{v v}\left(u_0, v_0\right) \cdot \boldsymbol{n}\left(u_0, v_0\right) .
\end{align*}
$$

由于 $\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{n}=0$ ，因此

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{r}_{u u} \cdot \boldsymbol{n}+\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_u=0 \\
& \boldsymbol{r}_{u v} \cdot \boldsymbol{n}+\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_v=0 \\
& \boldsymbol{r}_{v u} \cdot \boldsymbol{n}+\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{v}} \cdot \boldsymbol{n}_u=0 \\
& \boldsymbol{r}_{v v} \cdot \boldsymbol{n}+\boldsymbol{r}_{\boldsymbol{v}} \cdot \boldsymbol{n}_{\boldsymbol{v}}=0
\end{aligned}
$$

所以 $L, M, N$ 还能表示成

$$
\begin{equation*}
L=-\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_u, \quad M=-\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_v=-\boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{n}_u, \quad N=-\boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{n}_v . \tag{1.5}
\end{equation*}
$$

在（1．3）式中，有向距离 $\delta(\Delta u, \Delta v)$ 的主要部分是二次微分式

$$
\frac{1}{2}\left(L(\Delta u)^2+2 M \Delta u \Delta v+N(\Delta v)^2\right)
$$

这启示我们考虑二次微分式

$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}=\mathrm{d}^2 \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}=-\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{n}=L(\mathrm{~d} u)^2+2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2 . \tag{1.6}
\end{equation*}
$$

下面我们首先要说明，它和第一基本形式 I 有类似的特性，即 II 与曲面上保持定向的容许参数变换是无关的，因而它是给定了定向的曲面上的二次微分式，称为曲面的 第二基本形式，其系数 $L, M, N$ 称为曲面的 第二类基本量。

为此假定曲面 $S$ 有容许的参数变换

$$
\begin{equation*}
u=u(\tilde{u}, \tilde{v}), \quad v=v(\tilde{u}, \tilde{v}) \tag{1.7}
\end{equation*}
$$

并且

$$
\begin{equation*}
\frac{\partial(u, v)}{\partial(\tilde{u}, \tilde{v})}>0, \tag{1.8}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_{\tilde{u}}=\boldsymbol{r}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}}+\boldsymbol{r}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}, \quad \boldsymbol{r}_{\tilde{v}}=\boldsymbol{r}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}}+\boldsymbol{r}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}, \tag{1.9}
\end{equation*}
$$

故

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{r}_{\tilde{u}} \times \boldsymbol{r}_{\tilde{v}}=\frac{\partial(u, v)}{\partial(\tilde{u}, \tilde{v})} \boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v, \quad \tilde{\boldsymbol{n}}=\boldsymbol{n} . \tag{1.10}
\end{equation*}
$$

与（1．9）式类似，我们有

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{n}_{\tilde{u}}=\boldsymbol{n}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{u}}+\boldsymbol{n}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}}, \quad \boldsymbol{n}_{\tilde{v}}=\boldsymbol{n}_u \frac{\partial u}{\partial \tilde{v}}+\boldsymbol{n}_v \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}} . \tag{1.11}
\end{equation*}
$$

现在，（1．9）式和（1．11）式分别能够写成矩阵形式

$$
\begin{align*}
& \binom{r_{\tilde{u}}}{r_{\tilde{v}}}=J \cdot\binom{r_u}{r_v}, \\
& \binom{n_{\tilde{u}}}{n_{\tilde{v}}}=J \cdot\binom{n_u}{n_v}, \tag{1.12}
\end{align*}
$$

其中

$$
J=\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial u}{\partial \tilde{u}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{u}} \\
\frac{\partial u}{\partial \tilde{v}} & \frac{\partial v}{\partial \tilde{v}}
\end{array}\right) .
$$

将（1．12）式代入（1．5）式得到

$$
\begin{align*}
& \left(\begin{array}{cc}
\tilde{L} & \tilde{M} \\
\tilde{M} & \tilde{N}
\end{array}\right)=-\binom{\boldsymbol{r}_{\tilde{u}}}{\boldsymbol{r}_{\tilde{v}}} \cdot\left(\boldsymbol{n}_{\tilde{u}}, \boldsymbol{n}_{\tilde{v}}\right) \\
& \quad=-J \cdot\binom{\boldsymbol{r}_u}{\boldsymbol{r}_v} \cdot\left(\boldsymbol{n}_u, \boldsymbol{n}_v\right) \cdot J^{\mathrm{T}}=J\left(\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right) J^{\mathrm{T}} \tag{1.13}
\end{align*}
$$

由此可见，$L, M, N$ 在保持定向的容许参数变换下的变换规律与第一类基本量 $E, F, G$ 的变换规律是一样的．很明显，根据函数微分的公式，我们有

$$
\begin{equation*}
(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)=(\mathrm{d} \tilde{u}, \mathrm{~d} \tilde{v}) \cdot J \tag{1.14}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{aligned}
L(\mathrm{~d} u)^2 & +2 M \mathrm{~d} u \mathrm{~d} v+N(\mathrm{~d} v)^2 \\
& =(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)\left(\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right)\binom{\mathrm{d} u}{\mathrm{~d} v} \\
& =(\mathrm{d} \tilde{u}, \mathrm{~d} \tilde{v}) \cdot J\left(\begin{array}{cc}
L & M \\
M & N
\end{array}\right) J^{\mathrm{T}}\binom{\mathrm{~d} \tilde{u}}{\mathrm{~d} \tilde{v}} \\
& =(\mathrm{d} \tilde{u}, \mathrm{~d} \tilde{v})\left(\begin{array}{cc}
\tilde{L} & \tilde{M} \\
\tilde{M} & \tilde{N}
\end{array}\right)\binom{\mathrm{d} \tilde{u}}{\mathrm{~d} \tilde{v}} \\
& =\tilde{L}(\mathrm{~d} \tilde{u})^2+2 \tilde{M} \mathrm{~d} \tilde{u} \mathrm{~d} \tilde{v}+\tilde{N}(\mathrm{~d} \tilde{v})^2 .
\end{aligned}
$$

这就证明了 II 与曲面 $S$ 上保持定向的容许参数变换是无关的．
实际上，（1．6）式告诉我们

$$
\mathbb{I}=-\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{n},
$$

并且在保持定向的容许参数变换下，单位法向量 $n$ 是保持不变的（参看（1．10）式）．然而 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}, \mathrm{d} \boldsymbol{n}$ 分别是向量函数 $\boldsymbol{r}, \boldsymbol{n}$ 的一次微分，并且具有一次微分形式的不变性，所以 $\mathrm{d} r \cdot \mathrm{~d} n$ 在保持定向的容许参数变换下是不变的．上面的讨论还告诉我们，若参数变换翻转曲面的定向，则 $\tilde{n}=-n$ ，于是第二基本形式就恰好改变它的符号．第二基本形式的直接的几何意义是：它是有向距离 $\delta(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 在

$$
(\Delta u)^2+(\Delta v)^2 \rightarrow 0
$$

时作为无穷小的主要部分的两倍，即

$$
\mathbb{I} \approx 2 \delta(\mathrm{~d} u, \mathrm{~d} v) .
$$

例题 求平面和圆柱面的第二基本形式．
解 设 $S_1$ 是 $E^3$ 中的 $O x y$ 平面，所以它的参数方程是

$$
\boldsymbol{r}=(u, v, 0),
$$

它的单位法向量是

$$
\boldsymbol{n}=(0,0,1),
$$

所以

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=(\mathrm{d} u)^2+(\mathrm{d} v)^2, \quad \mathbb{I}=-\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{n}=0 . \tag{1.15}
\end{equation*}
$$

设圆柱面 $S_2$ 的方程是

$$
\boldsymbol{r}=\left(a \cos \frac{u}{a}, a \sin \frac{u}{a}, v\right),
$$

故

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{r}_u=\left(-\sin \frac{u}{a}, \cos \frac{u}{a}, 0\right), \quad \boldsymbol{r}_v=(0,0,1), \\
\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v=\left(\cos \frac{u}{a}, \sin \frac{u}{a}, 0\right)=\boldsymbol{n}, \\
\boldsymbol{r}_{u u}=\left(-\frac{1}{a} \cos \frac{u}{a},-\frac{1}{a} \sin \frac{u}{a}, 0\right), \quad \boldsymbol{r}_{u v}=\boldsymbol{r}_{v v}=0 .
\end{gathered}
$$

因此

$$
\begin{array}{lll}
E=\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{r}_u=1, & F=\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{r}_v=0, & G=\boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{r}_v=1 \\
L=\boldsymbol{r}_{u u} \cdot \boldsymbol{n}=-\frac{1}{a}, & M=\boldsymbol{r}_{u v} \cdot \boldsymbol{n}=0, & N=\boldsymbol{r}_{v v} \cdot \boldsymbol{n}=0
\end{array}
$$

所以

$$
\begin{equation*}
\mathrm{I}=(\mathrm{d} u)^2+(\mathrm{d} v)^2, \quad \mathbb{I}=-\frac{1}{a}(\mathrm{~d} u)^2 . \tag{1.16}
\end{equation*}
$$

上面的例题告诉我们，尽管圆柱面和平面有相同的第一基本形式，因而它们在局部上可以建立保长对应，但是它们的第二基本形式却是不同的，这反映了它们的外观形状是不同的．

下面我们要叙述两个定理，它们分别用第二基本形式来描述平面和球面的特征。

定理1．1 一块正则曲面是平面的一部分，当且仅当它的第二基本形式恒等于零．

证明 定理的必要性在例题中已经证明，现在只要证明充分性成立．假定正则曲面的参数方程是

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v),
$$

它的第二基本形式恒等于零，即

$$
\begin{align*}
L & =-\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_u=0, \\
M & =-\boldsymbol{r}_u \cdot \boldsymbol{n}_v=-\boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{n}_u=0,  \tag{1.17}\\
N & =-\boldsymbol{r}_v \cdot \boldsymbol{n}_v=0 .
\end{align*}
$$

我们要证明它的单位法向量 $n$ 是常向量场．因为 $n$ 是单位向量场，故有

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{n}_u \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{n}_v \cdot \boldsymbol{n}=0 . \tag{1.18}
\end{equation*}
$$

注意到 $\left\{r ; r_u, r_v, n\right\}$ 是空间 $E^3$ 中的标架，而（1．17）和（1．18）两式表明向量 $n_u, n_v$ 在标架向量 $r_u, r_v, n$ 上的正交投影都是零，所以 $n_u, n_v$都是零向量，即

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{n}=\boldsymbol{n}_u \mathrm{~d} u+\boldsymbol{n}_v \mathrm{~d} v=0, \quad \boldsymbol{n}=\text { 常向量场. }
$$

由于

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}=0,
$$

所以

$$
\mathrm{d}(\boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n})=\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}+\boldsymbol{r} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{n}=0, \quad \boldsymbol{r} \cdot \boldsymbol{n}=\text { 常数, }
$$

于是

$$
\boldsymbol{r}(u, v) \cdot \boldsymbol{n}=\boldsymbol{r}\left(u_0, v_0\right) \cdot \boldsymbol{n}, \quad\left(\boldsymbol{r}(u, v)-\boldsymbol{r}\left(u_0, v_0\right)\right) \cdot \boldsymbol{n}=0,
$$

这说明曲面 $S$ 落在经过点 $\boldsymbol{r}\left(u_0, v_0\right)$ 、以 $\boldsymbol{n}$ 为法向量的平面内．证毕．
定理1．2 一块正则曲面是球面的一部分，当且仅当在曲面上的每一点，它的第二基本形式是第一基本形式的非零倍数．

证明 设曲面 $S: \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v)$ 落在以 $\boldsymbol{r}_0$ 为中心、以常数 $R$ 为半径的球面上，则曲面的参数方程满足条件

$$
\begin{equation*}
\left(\boldsymbol{r}(u, v)-\boldsymbol{r}_0\right)^2=R^2 \tag{1.19}
\end{equation*}
$$

对（1．19）式求微分得到

$$
\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot\left(\boldsymbol{r}(u, v)-\boldsymbol{r}_0\right)=0,
$$

由此可见， $\boldsymbol{r}(u, v)-\boldsymbol{r}_0$ 是曲面的法向量，故

$$
\begin{equation*}
\boldsymbol{n}=\frac{1}{R}\left(\boldsymbol{r}(u, v)-\boldsymbol{r}_0\right) \tag{1.20}
\end{equation*}
$$

因此

$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}=-\mathrm{d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{n}=-\frac{1}{R} \mathrm{~d} \boldsymbol{r} \cdot \mathrm{~d} \boldsymbol{r}=-\frac{1}{R} \mathrm{I} \tag{1.21}
\end{equation*}
$$

反过来，假定有处处不为零的函数 $c(u, v)$ ，使得曲面的第二基本形式和第一基本形式满足关系式

$$
\begin{equation*}
\mathbb{I}=c(u, v) \cdot \mathbb{I} \tag{1.22}
\end{equation*}
$$

将上面的关系式展开便得到

$$
\begin{equation*}
(L-c E)(\mathrm{d} u)^2+2(M-c F) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v+(N-c G)(\mathrm{d} v)^2=0 \tag{1.23}
\end{equation*}
$$

对于任意一个固定点 $(u, v)$ ，上式是关于 $(\mathrm{d} u, \mathrm{~d} v)$ 的恒等式，因此

$$
\begin{align*}
& L(u, v)=c(u, v) E(u, v) \\
& M(u, v)=c(u, v) F(u, v)  \tag{1.24}\\
& N(u, v)=c(u, v) G(u, v)
\end{align*}
$$

根据第一类基本量和第二类基本量的定义，上面的方程组等价于

$$
\begin{align*}
& \left(n_u+c r_u\right) \cdot r_u=0 \\
& \left(n_u+c r_u\right) \cdot r_v=\left(n_v+c r_v\right) \cdot r_u=0  \tag{1.25}\\
& \left(n_v+c r_v\right) \cdot r_v=0
\end{align*}
$$

另一方面，$n$ 是单位法向量场，所以

$$
\begin{equation*}
\left(n_u+c r_u\right) \cdot n=\left(n_v+c r_v\right) \cdot n=0 . \tag{1.26}
\end{equation*}
$$

由于 $\left\{\boldsymbol{r} ; \boldsymbol{r}_u, \boldsymbol{r}_v, \boldsymbol{n}\right\}$ 是空间 $E^3$ 中的标架，而（1．25）和（1．26）两式表明向量 $n_u+c r_u, n_v+c r_v$ 在标架向量 $r_u, r_v, n$ 上的正交投影都是零，所以 $n_u+c r_u, n_v+c r_v$ 都是零向量，即

$$
\begin{equation*}
n_u+c r_u=0, \quad n_v+c r_v=0 . \tag{1.27}
\end{equation*}
$$

将（1．27）式分别对 $v, u$ 求导得到

$$
\boldsymbol{n}_{u v}+c_v \boldsymbol{r}_u+c \boldsymbol{r}_{u v}=0, \quad \boldsymbol{n}_{v u}+c_u \boldsymbol{r}_v+c \boldsymbol{r}_{v u}=0,
$$

比较这两个式子得到

$$
c_v r_u=c_u r_v .
$$

因为 $r_u, r_v$ 是线性无关的，上面的式子意味着

$$
c_u=c_v=0,
$$

即 $c(u, v)=c$ 是常数．从（1．27）式得到

$$
\mathrm{d}(\boldsymbol{n}+c \boldsymbol{r})=\left(\boldsymbol{n}_u+c \boldsymbol{r}_u\right) \mathrm{d} u+\left(\boldsymbol{n}_v+c \boldsymbol{r}_v\right) \mathrm{d} v=0,
$$

故 $n+c r$ 是定义在曲面 $S$ 上的常向量场．不妨设
$$
\boldsymbol{n}+c \boldsymbol{r}=c \boldsymbol{r}_0,
$$

于是

$$
\boldsymbol{r}(u, v)-\boldsymbol{r}_0=-\frac{1}{\boldsymbol{c}} \boldsymbol{n}(u, v), \quad\left(\boldsymbol{r}(u, v)-\boldsymbol{r}_0\right)^2=\frac{1}{\boldsymbol{c}^2},
$$

即曲面 $S$ 落在以点 $r_0$ 为中心、以 $\frac{1}{|c|}$ 为半径的球面上．证毕．
定理 1.2 的条件的意义是在曲面上的每一点，曲面沿各个方向的弯曲程度都是相同的．这个条件用下一节要介绍的法曲率的概念来表达将会变得更加清晰．定理1．2的结论是很强的，它的意思是：如果曲面上在每一个固定点沿各个方向的弯曲程度都是相同的，则它在各个点、沿各个方向的弯曲程度都是相同的．

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